INTRODUCTION

Les deux première* parties de ret ouvrage ont été publiées en |8fil. Dans l une sont exposés les prineipes généraux de la cinématique pure, dans l'autre, et comme déductions de cès principes, les règles de la différentiation. La troisième partie a pour objet les applications du calcul différentiel à l'analyse et à In géométrie. Elle se divise en deux séries distinctes.

La première série comprend les applications à l’analyse; elle s’écarte, en général, des errements ordinaires, cl notamment dans les points suivants :

I" Les différentielles empruntent à leur définition géométrique un sens précis qui les assimile aux autres variables, et ne leur laisse ainsi rien de mystérieux ni d'obscur;

2° Les signes uuxqueis on reconnaît le cours des fonctions et leurs valeurs muxinia ou minima se déterminent par la considération directe des différentielles;

ô” L'égalité établir entre l'accroissement de la fonction et le produit de l'accroissement de la variable par la valeur moyenne de la fonction dérivée ouvre une voie nouvelle cl facile. Elle permet d'attribuer, dès l’abord, un sens précis aux quadratures, et d’effectuer, sous forme d'identités, les développements des différences de tous les ordres;

4" Un chapitre spécial traite de la continuité dans ses rapports avec la convergence des séries de Tavlor et de Maclaurin. Il est complété par deux notes placées à la suite de la première série.

La deuxième série comprend les applications du calcul diffé-

rcntiel à la géométrie. Elle no présente, pour ainsi dire, aucun point qui no soil traite directement, par voie géométrique, et qui ne doive à l’emploi de ce procédé un certain degré d’élucidation. La simplicité des déductions se prêtait ici a plus de développements et d’extension que n’en comportent, en général, les traités élémentaires. Nous en avons profité pour faire ressortir, autant qu’il dépendait de nous, les avantages et les ressources que notre méthode peut ofTrir sans autre auxiliaire que la géométrie et la cinématique.

Les sept premiers chapitres traitent des lignes planes, le huitième des lignes à double courbure, les cinq suivants des surfaces, le dernier de la mesure des lignes, des aires et des solides.

Nous avons déjà dit et fait voir qu’en géométrie plane notre méthode met à 1a portée des commençants la théorie des contacts de tous les ordres et leur offre, comme moyens de solution, les procédés simples et rigoureux de la géométrie élémentaire ■. Le complément exigé pour généraliser et faciliter au besoin les applications se trouve dans les sept premiers chapitres. Le huitième étend aux lignes à double courbure les théories établies d’abord pour les courbes planes. On n’y rencontre aucune difficulté particulière. La définition géométrique du plan oscillateur suffit pour aplanir la voie déjà ouverte, et l’on n’a plus qu’à poursuivre.

Le chapitre IX s’applique à la génération des surfaces et à la détermination du plan tangent. On y voit pourquoi ce plan contient, en général, tonies les tangentes. On le voit, disons-nous, parce que le fait surgit de lui-même, comme conséquence directe de la génération continue des surfaces, et qu'il s’établit géométriquement avec évidence et rigueur.

Le chapitre X est relatif à la courbure des surfaces. On sait et l'on démontre par le calcul qu’il existe généralement en chaque point d une surface ileu.r sections principale* rectangulaires. Pourquoi ces sections sont-elles à ongle droit l’une sur l’autre? Pourquoi leur nombre se réduit-il à deux? Tout esprit curieux d’aller au fond des choses, et de saisir dans les faits leur raison d’être se

* Voir l'introduction placée en tête des deux parties publiées en 1801

pose nnturcllemcnt ccs questions. On peut y répondre, avec nous, sans sortir de la voie purement géométrique. La propriété du plan tangent sert de point de départ : les autres s’en déduisent d’une façon tout élémentaire. C’est ainsi que nous avons pu reproduire sans ealeul les principaux tliéorèmcs concernant la courbure des surfaces et y ajouter quelques résultats nouveaux.

Le chapitre XI donne les applications générales du chapitre X.

Le chapitre XII a pour objet la théorie géométrique des lignes géodésiques. Après avoir développé cette théorie, nous l’appliquons à plusieurs cas, les uns généraux, les autres particuliers. Nous citerons, pour exemple, la question des lignes et des surfaces minima. Le procédé suivi met en évidence la raison fondamentale qui détermine la nature de ccs lignes et de ces surfaces. C’est là, comme ailleurs, un des avantages principaux de notre méthode. Elle élucide les queslious qu'elle résout.

Le chapitre XIII contient la théorie géométrique des surfaces qui peuvent'S’appliqucr les unes sur les autres sans déchirure ni duplicature. Il permet de transporter dans les cléments des questions réservées jusqu’ici au domaine des mathématiques supérieures.

Le chapitre XIV est le dernier. Il traite des rectifications et des quadratures dans l’espace ainsi que des cubatures. La marche suivie nous a conduit d'elle-méme a quelques énoncés nouveaux , tels que celui-ci par exemple :

Toute aire engendrée par une ligne, tout solide engendré par une surface a pour différentielle le produit de la grandeur génératrice par su vitesse moyenne de circulation.

Ce théorème comprend celui de Guldin comme cas particulier. C’est à lui que nous devons d’avoir pu résoudre par voie géométrique la question des lignes et des surfaces minima mentionnée ci-dessus.

Les formules du chapitre XIV’ comportent une extension générale au cas où les grandeurs à déterminer sont données comme limites de certaines sommes. C’est par là que nous terminons, de

manière à frayer la voie pour toute la série des applications auv phénomènes naturels.

Les parties suivantes auront pour objet les éléments du calcul intégral, du calcul des différences et du calcul des variations. Nous compléterons le tout en montrant comment on peut passer de notre méthode aux autres, les embrasser toutes dans une même conception rationnelle, et, sans en exclure aucune, combiner leur emploi de façon à remplir le mieux possible l’objet qu’on se propose en chaque cas particulier.

DO