SS

cl, eu egard aux équations (2) et (.1),

p = ù . Of/ . ; •

Soit e le centre de la conique. La droite mit étant bissectrice de l'angle fmf, on a

np r’ ’

et. par suite,

r — r nf — nf ne

r r n/ -*- nf fr

Il vient donc aussi

ne

(?) f,' = Z.of/. — -

Tirons la droite me et prolongcons-la jusqu ?» sa rencontre en o' avec la droite i/o.

La droite gn coupe, en b, la droite me et, en g', la droite ni/'. Par le point y’ menons les droites g'e, g's respectivement parallèles, la première ii ff', la seconde à me. La droite g'e est coupée, en son milieu a, par me. Tirons la droite af.

Les droites nf, g'e étant parallèles et le point n divisant gg' en deux parties égales, le point f est le milieu de ge. Mais, d’un autre côté, le point a est le milieu de g'e. La droite af est donc parallèle à la droite gg'. Il suit de là qu’il y a égalité entre les deux segments fa, ng’ et, par conséquent aussi, entre les deux triangles semblables far, ng’s. Concluons que l’on a

fc — ns.

On a d’ailleurs, d’après la figure,

ne nb ub on'

ns ng' ng ni/

En remplaçant ns par fc, il vient

ne oo'

( ô'ifi )

et, substituant dans l'équation (!>),

(fi) p = 3. oo'.

Ce résultat peut s'énoncer comme il suit :

Soient o le centre de courbure qui correspond au point m d'une section conique, et c le centre de cette courbe. Si l’on élève en o une perpendiculaire sur la normale mo et qu 'on la prolonge jusqu'à sa rencontre en o' avec la droite me, le rayon de courbure qui correspond au point o de la développée est égal en grandeur au triple du segment oo'.

Parlons de la donnée qui nous est fournie par l'énoncé précédent et cherchons le rayon de courbure p" qui correspond , dans la développée seconde, au centre de courbure de la développée première.

Si l’on désigne par v " la vitesse du point o’ sur la droite oo', on a d’abord ,

Soit® l'angle omo’, En représentant par i le segment oo', on a, d'après ce qui précède,

p t= 3> , v' — p’w — 3iu> ,

oo

lg«=— :

mo

La vitesse du point ni dans la rotation établie autour du centre o est pie. Il s'ensuit que la vitesse de circulation de ce même point est exprimée par pw. cos «, lorsqu’on le considère comme restant sur la droite me et qu’on assujettit cette droite à tourner autour du point c. On déduit immédiatement de lit que la vitesse de circulation du point o', autour du centre c, a, pour expression ,

co

p.ir.

cos ».

D'un nuire cèlé, si l’on considère le point o' comme restant sur In droite no', il est animé, par rapport à cette droite, d'une vitesse de circulation qui résulte de deux composantes distinctes, l'une égale à v' — p'w=5iw, l’autre égale à À te. Cette vitesse est donc représentée par

iXtr *.

Elevons en o' deux perpendiculaires, l’une o’d sur u'c, l’autre o't sur n'o. Prenons, sur la première,

co'

o h = ote . — cos a, cm

et, par le point h, menons la droite hl parallèle à o'c.

Prenons, sur la seconde,

o't rr= 4>»e,

et, par le point I, menons il parallèle à o'o.

Soit / le point de rencontre des droites hl, II. D'après la règle du quadrilatère des vitesses, le segment o'I représente en direction, sens et grandeur la vitesse totale du point o'. Concluons que la vitesse cherchée v" est représentée par It.

Cela posé, on a, d’après la figure,

co'

o'd — o't sin * — 4/tc sin a æ o'Ii -4- hd — pxc — cos * Il e os a

cm

De là résulte

r fo'1 / 4i* co’\

U — v" = 4a tg et — p — p — I w ,

L cm J \ p cm!

* Il est aisé de voir que tes composantes ô/tr et ite sont toutes deux de même sens et qu'en conséquence elles s'ajoutent.

et, par suite, eu égard à l’équation (7),

Prolongeons oo d’une longueur égale ou", et tirons les droites co, mo". Soit A le point où la droite o'A, menée par le point o' parallèlement à co, vient couper la normale mo. Soit, en même temps, B lé point où la perpendiculaire, élevée en o" sur mo", vient couper cette même normale. On a, d’après la figure, d’une part,

co' co'

oA = mo — = p — , cm cm

et , d’autre part,

P oo" 4à*

mo p

Il vient donc, en substituant,

p" — 3 [oB — oA] = 3 . AB.

" Si , toutes choses eyales d'ailleurs, le |ioint l tombait ù droite du point t, l'équation (8) ne cesserait pas de subsister |tourvu qu’on y changeât le signe de la quantité p". Celte circonstance correspond au cas oit le rayon p’ serait croissant dans le déplacement que l’on considère, les positions relatives des jx>ints m, c, o' restant d’ailleurs les mîmes.

On reconnaît aisément que, dans le cas de l’ellipse, les points c et o' sont tous deux d’un même côté du point ni , tandis que, dans le cas de l'hypcrliolr, ils sont situés , l’un à gauche, l'autre à droite de ce même |»oint. On voit aussi , pour le cas de l’ellipse, qu’au lieu d'être plus rapproché du point m que le point o\ le |>oiut c peut s’en éloigner davantage. De là résulte un changement de signe portant sur la quantité cm, dans le cas de l'hypcrliole, et sur la quantité co', lorsqu'il s’agit de l'ellipse, et que le point o' si’ trouve placé entre lis points m et c. Rien d’ailleurs n’est modifié dans les déductions ultérieures. On observera seulement que le trinôme 4p',s-9p, — 5pp" devient négatif dans le cas de l'hyperbole et qu’en conséquence il faut changer son signe.

Ce résultat peut s'énoncer comme il suit :

Soit o le centre (le courbure qui correspond ou point m d'une section conique; c le centre de cette section; o' le point de tu droite me qui se projette en o; o" le point de la droite oo' situé de l'autre côté du jwint o' à la distance o"o' = o'o. .SV, après avoir tiré les deux droites eo, mo”, on mène par le ; toi ut o' une parallèle à la première, et par le point o" une perpendiculaire à la seconde, puis qu'on prolonge ces deux dernières droites jusqu'à leurs rencontres en A et B avec la normale mo , le ragon de courbure, qui correspond dans la deuxième développée au centre de courbure de la première, est égal en grandeur au triple du segment AB.

Abordons et résolvons maintenant le problème proposé. Un eonnait, par hypothèse, le point ni, le centre de courbure o, les rayons de courbure (o, o', o". On sait, en outre, de quel côté de la normale mo est situé le centre de courbure de la première développée.

Cela posé, voici comment on peut procéder.

On élève en o, sur la normale mo, une perpendiculaire située du côté opposé à celui du centre de courbure qui correspond au point o dans la première développée. On prend sur cette perpendiculaire les deux points o’, o", déterminés l’un et l’autre par l’équation de condition

On élève en o", sur la droite mo", une perpendiculaire que l’on prolonge jusqu’à sa rencontre en B avec la normale mo.

A partir du point B, on porte sur la normale mo, dans le sens B m , une longueur BA égale au tiers du rayon de courbure o

J.e point A se trouvant ainsi déterminé, on lire la droite Ao' et, par le point o, l’on mène une parallèle a cette droite. Le point c où cette parallèle vient couper la droite m o' est le centre de la conique cherchée.

Selon que le centre c se trouve placé, par rapport au point m ,

«lu même côté que le point o', ou qu’au contraire il est situé du côté oppose, la conique cherchée est une ellipse ou une hyperbole.

Lorsque le point A tombe en m, ou, ee qui revient au même, lorsque le segment »iB est précisément égal au tiers du rayon de courbure p", In conique cherchée est une parabole.

En résume, on a une ellipse, une hyperbole, ou une parabole, selon que le segment mBcst supérieur, inférieur ou égal au tiers du rayon de courbure p".

Nous venons de voir comment on obtient le centre de la conique cherchée; comment aussi l'on reconnaît si cette conique est une parabole, une ellipse ou une hyperbole. Pour compléter la solution géométrique il uc reste plus qu'à montrer comment la construction s’achève dans chacun des trois cas qui peuvent se présenter.

Considérons, en premier lieu, le cas de la parabole.

Le segment désigné par oq ne diffère, en ce cas , du segment oo' p.g que par la position. Il s'ensuit qu'il est égal nu tiers du „ rayon p.

Le point q se trouve ainsi déterminé. On snil, d’ailleurs, que le foyer f est situé sur la droite tnq, au milieu de l’intervalle compris entre le point m et la projection g du centre de courbure o.

Projetons le point g en n sur la normale mo. La droite fn est l’axe principal de la parabole.

On connaît ainsi le point m, le foyer f, l’axe principal fn. Tout est donc déterminé dans les conditions les plus simples. Considérons, en second lieu, le cas de l’ellipse.

Soit p la perpendiculaire abaissée du centre c sur la tangente Fig. 5S. en m- 0° n> conformément à l’équation (10) du n" 108, page 280, *

Delà résulte la détermination du demi-diamètre n'.

' Le produit du rat/nn rie courbure par la perpendiculaire abaissée du

Sur In normale mo prenons une longueur mm' égale nu demidiomètre et, sur le milieu du segment tn'c, élevonsaune perpen* diculnire.

Soit u le point où cette perpendiculaire vient rencontrer la tangenteen m. Du point « comme centre, nvec in longueur ur=unï prise pour rayon , décrivons la demi-cireonfcrcnec lem T, et tirons les cordes le , l'c.

I, angle Irt' est droit et l’on n, par construction ,

ml . vit' — mm' = a *.

Concluons, conformément au théorème rappelé dans la note du n° 108, page 281, que les axes principaux de l’ellipse cherchée sont dirigés respectivement, l’un suivant cl', l’autre suivant cl *.

Sur mo, pris pour diamètre, décrivons In demi-circonférence mgo, et, par le point « situé à la rencontre de la normale mo avec l’axe et', élevons sur mo une perpendiculaire. Le point, où celte perpendiculaire vient couper la dcmi-circonlércnee mgo, est évidemment celui que nous avons désigné ci-dessus pnr g. Il en résulte que le foyer de l’ellipse cherchée sc trouve en f, n In rencontre des droites mg et cl'.

On connaît ainsi le point m, le foyer f et le centre r. Tout est donc déterminé dans les conditions les plus simples.

Rkmxrqi'E. — On sait, conformément au dernier théorème énoncé dans la note du n" 108, page 284, que In projection du segment mm' sur le rayon vecteur fin est égale ail demi-axe principal b **.

centre sur ta tangente est égal au carré du demi-diamètre parallèle à cette même tangente.

‘ l.e produit des segments interceptés sur une même tangente, entre le point de contact et deux axes quelconques conjugués , est constant. Il a , pour expression équivalente , le carré du demi-axe parallèle à la tangente, ou, ce qui revient au même, le produit du rayon de courbure par la perpendiculaire abaissée du centre sur la tangente. ^

” Si ron porte sur la normale une longueur égale au demi-axe qui lui

Oa sait aussi que la projection de la normale mn sur ee même rayon vecteur a, pour expression générale,

a étant le demi-axe principal dirigé suivant la droite des fovers. Considérons, en dernier lien, le cas de l'hyperbole.

Fin 9. On a, comme pour l’ellipse,

Sur la droite me déterminons le point m' d’après la condition

mm'. me — n'* = p.p.

Soit m le point où la perpendiculaire élevée sur me, par le • milieu du segment m'e, vient couper la tangente en m. Du point u comme centre, avec la longueur nc — nm' prise pour rayon, décrivons la demi-circonférence tcm’t' cl lirons les droites te, t'e.

Il est visible, comme tout à l’heure, (pie les axes principaux de l’hyperbole cherchée sont dirigés respectivement, l’un suivante!', l’autre suivant et. La construction s'achève ensuite de la mémo manière que pour le eas de l’ellipse.

Veut-on procéder par voie de calcul? En désignant, pari', le demi-axe cm et, par a', son conjugué, l’équation (8), où l'on peut remplacer co par la différence m o' — me, donne d’abord

vio' . p

est perpendiculaire, et qu'on projette cette longueur sur le rayon l'éclair mène par f un des fqpers , lu projection es I constamment égale au demiaxe b.

puis, substituant h / et à mo leurs valeurs respectives

-y vy -+- y

-+- 9p* — ôfl/'

On a, d’ailleurs.

/> = b' cos « :