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(.») F(x-+-/i) — 5 .(x-t-/i) = — Ni(l — ’(x -+- bu) — *'"’,(x-+- lui)],

les diiïércnccs F,+ l (x) — />M (x), F',+’1 (x) — •/ 1 (x), étant i-galcs et lie s’annulant pas.

Il suit de là (pic les différences F (x -i- h) — f(.r-i-li), et F (x -+-/i) — ^(x+li), supposées milles un point m, deviennent en meme temps toutes deux positives ou toutes deux négatives au sortir de ce point. Ce résultat implique la conséquence suivante :

Entre deux courbes dont le contact est d'un certain ordre on n’en peut faire passer aucune ayant arec elles un contact d'ordre inférieur.

Cette conséquence étant générale cl pouvant s’établir à priori pour un système quelconque de coordonnées, il en résulte implicitement que, si les conditions formulées ci-dessus comme celles

du contint de l’ordre », sont remplies pour l'un de ces systèmes, elles le sont en même temps pour tous les autres.

On remarquera que les courbes susceptibles de contracter avec une courbe donnée un contact de l'ordre » doivent, en general, comprendre dans leurs équations n -+- 1 constantes arbitraires. Les plus simples sont représentées par l’équation algébrique

(4) y = o -v- bx ex1 -+• etc. -+- pxn.

Si , d’ailleurs ,

est l'équation de la courbe donnée, et qu’on désigne par x' l’abscisse du point de contact, on a la courbe cherchée eu posant, d'une part ,

et, d’autre part,

— xr ) c (x — x y clc. />(x ~ x )",

rv) n*) rw