CHAPITRE Mil

COURBES A DOUBLE COUItBUHE.

Considérations géométriques sur lu génération des courbes dans l'espace.

127. Considérons le double mouvement d’un point g et d’une droite D, le point glissant sur la droite et la droite tournant autour du point, tous deux incessamment.

Soit m le lieu occupé par le point p à un instant quelconque déterminé. Lorsque le point sort du lieu ni, la directrice D tourne autour de ce lieu et ‘les ulesscs de ses différents points • sont toutes dirigées dans un seul et même plan. Soit P ce plan. Cela revient à dire que la droite D tourne autour du point p dans le plan P. H s'ensuit que ee plan remplit par rapport à ectte droite un rôle tout à fait analogue à celui qu’elle remplit rllcincme par rapport au point p. Eu égard à celte analogie, nous désignerons le plan P sous le nom de Plan directeur.

Le plan directeur étant assujetti à passer constamment par la directrice, deux cas sont possibles, selon qu’il reste fixe ou qu’il change incessamment de direction.

Dans le premier cas, le point u se meut dans un seul et même plan. Sa trace est donc plaue.

Dans le second cas, le plan directeur tourne autour de la directrice en même temps que la directrice tourne autour du point a, et comme ces deux rotations sont, en général, incessantes, il s’ensuit qu’il n’est aucune partie de la trace du point p qui puisse demeurer plane. A la courbure qui subsisterait seule, si l’on supprimait la rotation du plan directeur, s'ajoute, en chaque point, une sorte de torsion désignée sous le. nom de deuxième courbure.

De là vient la dénomination de courbes à double courbure donnée

aux courbes qui ne sont planes sur aucune partie de leur étendue.

Soit u In vitesse du point f* au sortir dü lieu ni. A cette vitesse du point f* correspondent deux vitesses angulaires simultanées, l’une io , l’autre ir' ; la première est celle de In directrice U autour du point u, la seconde, celle du plan directeur P autour de la directrice D. * .

La vitesse v est dirigée suivant lu droite U. Elle dépend de la position que cette droite affecte à l’instant (pie l’on considère. Les rotations établies, l’une autour du point u, l’autre autour de la droite D, ne modifient en rien sa détermination actuelle.

La rotation w est établie autour du point p dans le plan P. Elle dépend, quant à sa direction, de la position que ce plan affecte à l’instant que l’on considère. L'état de mouvement qu’elle communique aux différents points de la directrice I) n’est modifié en rien par la rotation du plan P autour de cette droite.

La rotation «>' est établie autour de la directrice D. Elle est sans effet par rapport aux différents points de cette droite. Les vitesses qu’elle communique aux autres points du plan P sont toutes normales à ce plan et respectivement proportionnelles aux perpendiculaires abaissées de ces points sur la directrice.

Considéré par rapport à la courbe à double courbure engendrée ou décrite par le point u, le plan P prend le nom de jtlun oscillateur. De tous les plans menés pur la directrice il est évidemment celui qui se rapproche le plus de la courbe dans le voisinage du point tu, lieu actuel du point u.

La taugculc en in coïncide avec la position correspondante de la directrice. Le plan mené par le point m perpendiculairement à cette droite prend lo nom de plan normal. Ce plan est le lieu des normales menées par le point m. Parmi ces normales il en est une qui se distingue des autres, c’est la normale située dans le plan oscillateur. On la désigne sous le nom de normale prhicijmle.

Concevons que le point p soit lié à la normale principale, et qu’il sorte du lieu m en entraînant cette droite avec lui. Deux états de mouvement simultanés et distincts animent la normale

principale. Le premier csl identiquement le même que si le plan oscillateur demeurait lixe dans la position qu’il affecte au point ni et que, d’ailleurs, rien ne fût changé, ni dans la vitesse r du point p, ni dans la rotation te de sa directrice. Il détermine la courbure proprement dite dans les mêmes conditions et de la même manière que pour le cas des courbes planes. Le second résulte exclusivement de la rotation «>' élablii^autour delà directrice du point n. Il détermine ce qu’on nomme la deuxième courbure. Son effet, relativement à la normale principale, est de la faire tourner autour du point g dans le plan normal et d’imprimer ainsi, à scs différents points, des vitesses perpendiculaires à celles qui résultent de la rotation établie, dans le premier état, autour du centre du cercle oscillateur.

1 28. Les détails dans lesquels nous venons d’entrer constituent , dans leur ensemble, la base géométrique de la théorie générale des courbes à double courbure. Ils mettent, d’ailleurs, en évidence les résultats suivants :

La courbe à double courbure esl la trace d'un point qui se meut sur une droite et dans un plan mobiles, le point glissant sur la droite tandis que lu droite tourne autour du point et le plan autour de la droite , tous trois incessamment.

Soit n le point décrivant, D la directrice de ce point, I’ le plun mobile.

Le plan P prend le nom de clan directeur , ou celui de i>la.n oscillateur , suivunt qu'on le considère par rapport « la directrice du point décrivant, ou pur rapport à la courbe décrite.

La directrice du point n est, relativement au plan mobile P, la droite qu'on désigne, en général, sous le nom de caractéristique.

La courbe décrite pur le point n est l’enveloppe des positions successives de la droite, D.

Le point g étant supposé fixe sur la normale principale et celle-ci se muuvunl avec ce point , le centre du cercle oscillateur

«**/ /e jminl de lu normale principale dont la vitesse résulte exclusivement de la rotation établie autour de la directrice du point u. Il sc distingue, généralement , du point central, celui-ci étant le point de lu normale principale dont la vitesse est la plus petite en grandeur absolue.

Transportons, en un même point m , lu vitesse e du point fi et la Fig. 60 vitesse u du centre du cercle oscillateur. Rcpré-

„ sentons la première par tnt, la seconde par mn.

i L’angle nmt est droit. Tirons l'hypoténuse ni, et désignons, par p, le pied de la perpendiculaire abaissée du point m sur cette hypoténuse.

La vitesse du point rentrai est représentée par la perpendiculaire mp.

Le point central est situé sur le segment compris entre le point décrivant et le centre du cercle oscillateur, de manière à diviser ce segment comme le point p divise l’hypoténuse In.

Désignons, pari/, la vitesse du point central ; par p, le rayon de première courbure; par e, la distance comprise entre le point central et le centre du cercle oscillateur. Ou trouve aisément

V M* -I- Vi.

Formules élémentaires île la géométrie « trois dimensions.

12'.). Nous admettrons, dans ce qui suit, que les lignes considé- Fig. 61. rées sont rapportées à (rois axes coordonnés rcctanji gulnircs OX, OY, OZ.

I T Soit, d’abord , une droite quelconque L), ayant, pour /q—x équations,

x = nz -4- h , i/ = k+ i,

Sur la droite F), prenons une longueur uni égale a l’unité, et projetons cette longueur sur chacun des trois axes OX, OY, OZ.

En désignant, par v, L’angle que la droite D fait avec l'axe OX , la projection , sur ccl axe , de la longueur mn est cos a.

On a, de meme, cos 6 et cos y* pour projections de la longueur mu sur les axes OY, OZ,ç et y étant les angles que la droite D fait avec ces axes. De lit résulte, en premier lieu,

( I ) cos* « -4- cos* 6 cos1 y = 1 .

On > oit d'ailleurs aisément que les paramètres a et 6 ont respectivement, pour valeurs,

ros a eos 6

cos y eos y

De là, et eu égard à l’équation (I), résidte en second lieu,

eos a ^

‘-4-tr'-e I

cos C

— ) eos y = —

Soit une seconde droite I)’, avant, pour équations, x — a'z -i h', y = b'z »',

et faisant, «ver les axes OX.OY.OZ, des angles représentés respectivement para', 6', y'.

Si l’on désigne, par u, l’angle des droites I), I cl que l’on prenne, a partir du point m, sur une parallèle à la droite D', une longueur »»»' égale à l’unité, il vient

nn' wï[l — cos «J, et, comine ou a, d ailleurs,

nn = tcos a cos «T + [cos t — cos 6' Js -+- [cos y - cos y * l ® cos x cos a cos 6 cos Ç* — cos y cos y ]9

il en résulte évidemment

(4). . eos u = eos a eos «' eos 6 eos 6' -t- ros y cos y

aa' -+- bb' -i 1

Supposons les droites D, D' rectangulaires. L’équation (4) donne, pour relation correspondante à cette hypothèse,

(’*)■ ■ ,os * eos % -+- cos é eos b' -+- eos y cos y' = u

ou, ce qui revient au même,

(®) »a’ -+- bb' -t- l=o.

IÔO. Soit un plan P, ayant, pour équation,

(*■) Ax -t- Wij h- Cz = 1).

Désignons, par p, un point mobile assujetti à glisser dans le plan P; par m , le lieu du point p à l’instant que l’on considère; par n, un point quelconque de la perpendiculaire élevée en m sur

le plan P; par I , ir, v, les coordonnées du point u; par R, la distance du point lixe n au point mobile n. On a, généralement,

x , y, g étant les coordonnées du point y , et satisfaisant, en conséquence, à l’équation (1).

Lorsque le point y sort du lieu m, c’est suivant une certaine direction et avec un certain degré de rapidité. Quelle que «oit la \ il esse ninsi déterminée; quelles que soient scs trois composantes ils, dy, dz; cette \ilcssc est dirigée perpendiculairement à la droite ny, et l’on a, par conséquent,

Supposons que le point y se déplace parallèlement au plan des xi. Différenciées, dans cette hypothèse, les équations (I) et (2) donnent

Ar/x Cri: = », (/ — x) r/x -4- (c — ;) ilz = »,

et, par suite,

Ou trouverait, de même, eu supposant que le point y sorte du lieu m parallèlement au |>lan des yz,

Les équations (3) et (4) s'appliquent, indifféremment, à toutes les positions qu’on peut nssigner nu point n sur la normale en m au plan P. Il s’ensuit quelles sont les équations de rette même normale.

Voici d'ailleurs les conséquences :

Soit I) une droite quelconque, ayant , pour équations,

x = az -4- li , y — hz -+- t.

Veut-on que eette. droite soit perpendiculaire au plan P? il faut que l’on ait, conformément & ce qui précède,

Veut-on que la droite l)soil parallèle au plan P? Il faut que la normale à ec plan lui soit perpendiculaire. Cette dernière condition exige que l'on ait , conformément ù la formule (ti) du n" 129,

(ti) An -t-B6 + C = o. *

Telle est donc aussi la condition du parallélisme entre le plan P et la droite I).

Soient i, tx, v les angles que la normale au plan P fait avec les axes OX, OY, OZ. On n, conformément aux formules (ô) du n" 129,

) cos i = — — , eos a

-, eos v — -

|/A*+na-4-c* i/A'+ir+c* y' xi -b ip+c*

Etant donné un second plan P', ayant, pour équation,

A'x -+- B tj ■+• C'r = D',

désignons, par y, l’angle des plans P, P'. On sait que l’angle de deux plans est celui que font entre elles leurs normales respccli-

• Autrement et directement. Le point /u glissant dans le plan P, les com- |Hisantes de sa vitesse satisfont à l’équation

\dx -f- ftdy Ois — O.

Supposons la droite I) parallèle à la direction suivie par le point ft. On u

ll.T

tiy

<lz flz

Delà résulte, en substituant,

Ao-t- R'j-t-C = 0.

vos. IV In résulte, eu égard à ce qui précède et eonfonnéiucut h In furmule (4) du n° 1 2!) ,