AA' -+- BB' -+- CC' = O

Reprenons la droite D et supposons-la quelconque. Si l’on désigne, par «, l’angle qu’elle fait avec la normale au plan P, il vient, en général, conformément à la formule (4) du n" 129,

Aa C

eos a = — - ■ ■ ■ — •

Condition: s analytiques du mouvement d'une droite dans • l’espace.

151. Lorsqu’une droite se meut, on n’altère pas les vitesses de ses différents points en établissant autour de la droite une rotation quelconque. S’agit-il, seulement, des positions qu’une droite mobile, considérée comme ligne indéfinie, prend successivement dans l'espace? S’agit-il, en même temps, des équations de cette droite? On ne change, en rien, ni ces positions, ni ces équations, en assujettissant la droite à glisser, comme on veut, sur elle- meme. Celle observation ne doit pas être perdue de vue dans les différents cas d’application.

Etant donnée une droite qui se meut dans l'espace, désignonsla par D' et plaçons-nous à l’instant précis on elle sort d’un des lieux qu’elle occupe successivement. Soient

(I) T — az+lt, y — bz-t-i,

les équations du lieu occupé par la droite D à l’instant que l’on

considère. Les paramètres, a, I), h , i dépendent, en général, d’une seule et même variable, et chaque valeur de cette variable détermine une position correspondante de la droite mobile.

Prenons dans l’espace un plan quelconque P, supposé fixe, et ayant, pour équation ,

Ai + By + G z — o.

En désignant, par a, l'angle que la normale à ce plan fait avec la droite D, on a , en général ,

Au -i- B6 + C

cos a — — — — — — — — — .

^(a’ + è'+lXA’+B' + C1)

De là résulte, pour le cas particulier où le plan P est pris parallèle à la droite D,

(2) Au -f- Bft +- C = o,

et, par suite, da

Posons

A da -+- B dl>

l/(«* + 6* + I ) (A! +Wr-TcTj

(3) A da B (lb = o.

Les équations (2) et (3) suffisent à la détermination du plan P. La première exprime que ce plan est parallèle à la droite D : la seconde, que la vitesse angulaire (la est nulle à l’origine du déplacement considéré, c’est-à-dire que la droite D sort du lieu qu’elle occupe, sans prendre, d'abord, aucune inclinaison par rapport à ce plan.

Ce résultat peut s’énoncer comme il suit :

Lorsqu'une droite sort du lieu qu elle occupe , r’est, d’abord, en restant parallèle à un plan déterminé.

On Toit, d’ailleurs. qu’on représentant, par A.r I \>j -+- C; — o,

l'équation île ee plan, el par

j' — iiz -t- li , >J — bz i ,

les équations correspondantes de la droite mobile, on a, pour lixer la direction du plan dont il s'agit, les deux équations simultanées

(5) A ila -t- Mb = o.

I/équation (4) exprimant qu'il y a parallélisme entre le plan P et la droite D, on observera qu’il suditdcla différencier, par rapport aux deux variables a et 6 , pour exprimer que le parallélisme subsiste à l’origine du déplacement de la droite mobile, cl obtenir ainsi l'équation (5). Ce procédé plus rapide et plus simple n’est pas moins rigoureux que le précédent.

132. Lorsque 1a droite I) sort du lieu qu’elle occupe, deux cas sont possibles, selon qu’elle tourne autour de son point central supposé fixe , ou que ec point n’étant pas dépourvu de toute vitesse de circulation,, une pareille hypothèse est inadmissible.

Considérons, d’abord, le premier de ces cas, el observons que, si le point centrai avait une vitesse quelconque dirigée toute entière suivant la droite 1), il sullirnit, pour annuler cette vitesse, de l’imprimer, en sens contraire, à tous les points de la droite mobile.

Cela posé, si nous différencions les équations (I) du n“ 131, en y considérant les variables x, »/, z comme étant les coordonnées du point central, nous devons égaler a zéro chacune des trois composantes ilx, di/, dz. On trouve, ainsi, que l'ordonnée r du point

central doit satisfaire, en même temps, aux deux équations (1). . . . zdu + dh — o, sdh + di — o*.

Il faut donc que l’on ait nécessairement

ou, ce qui revient au même,

(3). ..... db . tilt — du . di — o.

Les équations (2) et (3) expriment lu condition analytique qui doit être satisfaite pour que l'étal de mouvement de la droite D soit réductible à une rotation simple autour de son point central.

Cette condition reconnue nécessaire est, en même temps, suflisante. Cela résulte, évidemment, des considérations qui précèdent. Veut-on, d'ailleurs, le démontrer sans s’appuyer sur ces considérations? On y parvient aisément, comme il suit :

Reprenons les équations de la droite I)

(t) x — az -t- h , if “ bz -+- i ,

elles donnent , en général, pour équations différentielles correspondantes,

(o). . dx — ntl z -t- ztln -4- dit , dy = bdz -4- zdb -t- di.

Supposons que l’équation (2) subsiste, et considérons , en particulier, le point de la droite 1) qui correspond à l'ordonnée

dit

du db

* On parvient à ces mêmes équations on s'en tenant aux déductions suivantes :

- Lorsque la droite mobile sort du lieu quelle occupe , en tournant autour d'un de ses points , ce |(oiul peu/ être considéré comme fixe à l'origine du déplacement que l'on considère, il faut donc que ses coordonnées satisfassent au\ équations diflïwntielles de la droite, lorsqu'on y |>ose dx — o , dij — o

dz — o.

( âiti )

Eu egard aux équations (!>}, on a, pour ce point,

(7) dx = adz , dy = bdz ,

et, comme on peut poser dz = o, puisqu'il suflit pour cela d’imprimer à la limite D un certain glissement sur ellc--niênic, on voit qu'il vient, en même temps,

dz — o , dx — o , dy = o.

Il suit de là que le point, déterminé par l’équation (6) , peut être considéré comme fixe et, dès lors, c'est par rotation simple autour de ce point que commence le déplacement -de la droite au sortir du lieu qu’elle occupe.

On parvient au incme résultat en mettant en évidence ce qu’expriment les équations (7), a savoir, que la vitesse du point déterminé par l'équation (G) sur la droite D, est dirigée tout entière suivant celte droite. En effet, si l’on désigne, par V, cette vitesse, et, par a', b', y, les angles qu’elle fait avec les axes OX, OY, OZ, on a , d’abord ,

V = Vdx" -r- dy* -+- dzi = dz Va? -v- 6S -♦- 1 .

II vient, ensuite, eu égard à ce que les différentielles d*,dy, dz sont les trois composantes de la vitesse V,

dx a du b

cos r — — = — i cos Ç = — = — ’

V Vu' + h* +■ I V VaU-l?+i

, dz I

' V i ? +■ ïr I

et ces cosinus sont, précisément, ceux des angles que la droite D fait avec les mêmes axes.

De là résulte l’énoneé suivant :

ha condition nécessaire et influante , pour que l'état de mouvement d'une droite mobile soit réductible à une rotation simple

autour île sou point' rentrai , est exprimée analytii/uement par Vèquation

(S) (U) . tilt — (la . (li = o.

Il s'cnsuil que les vitesses simultanées des différents points de lu droite mobile sont toutes situées dans un seul cl même plan. La réciproque est d’ailleurs évidente. .Nous verrons, plus loin, comment l'équation (8) devient celle des surfaces développables, en exprimant que le plan tangent est le meme en tous les points d’une même génératrice rectiligne.