Reprenons la formule générale

eus » n

( t ) I — à — - cos y.

Le point n étant supposé fixe sur la droite I), désignons par 2 le lieu de ses positions successives. Toutes choses sont égales de port et d’autre, en ce sens que les lignes S et I sont deux trajectoires orthogonales d’une même surface réglée A' On peut dès lors substituer l’une de ces lignes à l'antre et réciproquement. l)e lù résulte, par inversion de l'équation (I),

cos <>' Il

(2) I i — eos

‘ Les formules (i) et (3) reproduisent , sous une forme différente, les équations données par M. Ossian Bonnet , aux pages 33 et 37 du mémoire déjà cite.

" (ietle surtoce est déterminée par l’ensemble des positions que prend la droite D lorsqu'on l'assujettit à rester tangente à la surface A et qu'ou la fait passer successivement ou simultanément par tous les points de la ligne S.

les quantités e' et o avant respectivement, par rapport à la ligne l, les mêmes significations que les quantités 0 et p par rapport à la ligne S.

Multipliées, membre à membre, les équations (I) et ('2) donnent, après réduction ,

eos 8' cos 8 eos 8' cos S sin* y

La ligne S étant supposée fixe, appliquons l’équation (3) au cas où lu ligne £ sort du lieu qu’elle occupe en restant sur lu surface A’. Cela micut à passer, sur cette surface, de la trajectoire orthogonale S à celle qui lui succède immédiatement. Cela revient, eu d autres termes, à différencier l’équation (3) par rapport à la caractéristique à, comme nous l’avons fait tout à l’heure, c’est-à-dire en ne considérant comme variables que les quuntitéss',/, > et -..Un trouve ainsi

sin-.-cos» sin’v

2— *r+ ~ T-oi.

[cos b" 1 eos b' eos b' eos b

p j p pp

Sans rien changer à ce qui précède, imaginons que la ligne £ coïncide originairement avec la ligne S. Pour appliquer l'équation (4) à ce cas, il suflil de poser ) = o et, par suite, e’ = 8, />’=/>,

o = o. De là résulte, en observant que le rapport — dont les

deux termes s'annulent a pour limite le rapport—*,

CO S 8 \ T cos* fi

La quantité -j; est évidemment celle que nous avons désignée par N, dans le n° 205, page 4117, et pour laquelle nous avons

* Chacune des quantités sin f et À s'anuulanl à la lois, oïl sait, couluriueincnl au principe ex|K>sé dans la 2m' partie (n° !), page 104), que leur rapport a pour limite celui qui s'établit entre les dilTémi licites cos f. if et J> lorsqu'on attribue la râleur /.cm a chacune des deux variables f et >.

trouvé, soit directement, soit comme conséquence immédiate de l'équation (14) du n° 17(> *, page 451),

L'équation (;i) peut, en «onséqueucc, s’écrire comme il suit.

cos fl

tcos* 8 1 *1

H et R' étant les rayons de courbure principaux qtii correspondent au point m de la surface réglée A'.

Reprenons la ligne I au sortir du lieu S et imaginonsqu’au lieu de décrire la surface A', elle soit assujettie, toutes choses égules d’ailleurs , à décrire la surface A. Au- lieu de décrire la génératrice rectiligne qui lui correspond dans la surface A', le point n de la ligne I décrit la ligne géodésiqitc tracée sur la surface A perpendiculairement à la ligne S. Au lieu d’être fixe, la directrice de ce point tourne avec une certaine vitesse «. 11 s’ensuit que la courbure géodésique varie, comme tout à l’heure, avec la vitesse

eus* b

cl, eu outre, avec la vitesse angulaire relative

o\ cos fl P

la caractéristique a ne s’appliquant ici qu'à la variation partielle subie par l'angle 9, eu égard à la rotation de la directrice du point in. Cela revient à substituer la vitesse angulaire « à 1a quantité JO dans le résultat de la différentiation. On tromc ainsi

o ios 8 si U b

* Voir au besoin la foi mute (H) du u“203, page 407, et lu remarque luiulcdu n" 224, page 343.

De In résulte, par voie de simple addition,

cos 6

f" eos* 0

sin 8

Fig. FF.

l’équation (7) subsistant avce le sens de I équation (b), non plus seulement pour le eas de b» surface réglée. A' *, mais bien pour le eas général d’une surface quelconque A.

Veut-on procéder autrement? Soient mn la posi- * / lion actuelle de la droite I); mo celle de la normale

y principale <{ui correspond au point m de la ligne S;

ma une droite fixe située dans le plan normal nmo.

L équation (5) ne s’applique pas seulement au cas où les génératrices rectilignes de la surface A' restent (ixes, elle s’applique, en même temps, à celui où ces génératrices sortent des lieux qu’elles occupent , en tournant chacune autour de In tangente qui lui correspond sur la ligne S. Désignons par 8" l’angle amo cl pare l’angle umn , c’est-à-dire l’excès de l’angle 8" sur l’angle 8. On a

cos J cos (8 — r) cos 8' . suit

= -- cos £. r -+- sin f.