P PP
’ Dans le cas de la surface A' on a évidemment ~ — o, ce qui réduit l'equalion (7) a l'rquation (5).
Observons que lu différentielle ^i— y-, prise dans l'hypothèse r — cons‘% correspond au cas où la droite 1) reste fixe, et qu’en, conséquence, elle a pour expression la valeur fournie par le second membre de l'équation (’i). Observons, en outre, que la différentielle car est précisément la vitesse angulaire désignée plus haut par u. Cela posé, il est visible que l’équation (fl) revient identiquement à l’équation (7).
Considérons les sections normales rectangulaires faites dans la surface A, l'une suivant In droite D, l’autre suivant la tangente en m à la ligne S. Si l’on désigne par r' le rayon de courbure de la première et par r celui de seconde, on a, d’abord et évidemment,
11 vient ensuite, conformément au théorème de Meunier (voir n* 178, page 443),
stn s
On déduit de là,
w.sins 1
p.tfi rr’
La quantité ^ n’étant autre chose que le module représenté par Nj au n° 176, on a, d'oprcs la formule (H) de ce même numéro, page 430,
On sait, d’ailleurs, que les quantités H, IV sont les rayons de courbure principaux qui correspondent au point m de la surface A.
Fu égard aux égalités (10) et (11), l’équation (7) devient cor 9 T cos* 6 1 "1
«*>• • • • *-r=l-r+M'Vx-
Elle ne fuit doue que reproduire l'équation (6), en lu généralisant, c'est-à-dire en la rendant applicable non plus seulement au cas de la surface réglée A', mais bien à celui d’une surface quelconque A.
220. La formule à laquelle nous venons de parvenir peut s'étendre aisément du cas traité ci-dessus au cas général de deux systèmes de courbes quelconques tracées sur la surface A, sous la seule condition que les courbes de l’un de ces systèmes soient les trajectoires orthogonales des autres.
/ Soit mm' la position actuelle d’une ligne géodésique G assujettie
Fy s- à rester sur lu surface A et à couper reetangulai renient la courbe S, tandis que le point m glisse sui-
S"T 1 vaut cette courbe.
»L p Imaginons qu'on ait tracé sur la surface A une k > suite continue de courbes quelconques toutes perpendiculaires à la ligne S. Désignons par Z, les trajectoires orthogonales de ces courbes, et, comme tout à l’heure, par Z celles qui correspondent à l'ensemble des positions de la ligne G.
Prenons sur la ligne G un point quelconque n. Par ce point passent en meme temps deux trajectoires orthogonales désignées respectivement, l’une par la lettre z, l’autre parla lettre Z,. Selon que le point », tout en restant sur la ligne G, est assujetti a décrire l’une ou l’autre de ees trajectoires, sa vitesse actuelle est représentée par np ou par nr, ees droites étant dirigées chacune suivant In tangente qui lui correspond. Lorsque le point n décrit la trajectoire Z, il reste fixe sur la ligne géodésique G, et sa vitesse np est dirigée perpendiculairement à cette ligne. Lorsqu’il décrit la trnjceloirc Z, sa vitesse nr se compose de la vitesse np et d’une autre vitesse dirigée suivant, la tangente en n à In ligne G.
Tirons la droite pr, et désignons par y l’angle rnp; par A l are vin; par m lu vitesse np. Il est visible que la vitesse nr a pour composantes orthogonales, d’une part, la vitesse np ou u , d’autre part, la vitesse pr ou rfi, la caractéristique d s'appliquant aux vitesses qui résultent du glissement du point m sur la ligne S. De
là résulte , en général.
(«)• • • • et, par suite,
dy
eus’ y.il . — -
Soit \V — — - le module de la vitesse angulaire nvee laquelle
fi
la directriec du point n sur la ligne £ tourne autour de ee point dans le plan tangent rnp. Cette vitesse avant pour expression correspondante le produit u . , il s’ensuit que la vitesse angu-
laire simultanée de la directrice du point n sur la ligne ïj est représentée par la somme
cos 0
ti -* dy.
Désignons par—— le module de cette dernière vitesse angulaire. "Pour obtenir ee module, il faut diviser l’expression précédente par la vitesse nr, ou, ce qui revient au même, par le rapport — — . On trouve ainsi
* po* y
eos 9, T eos 9 dy 1
,°i L p ii J
<-os y ,
et , différenciant par rapport à la caractéristique J ",
.eos 9, T
Pi L
f eos 9
. dy~
f cos b d\ ~1
