COS 1 H

L o il J

y.oj

Plaçons-nous dans l'hypothèse où le point n étant d'abord en ni les lignes £, r, coïncident primitivement avec la ligne S. Il faut

’ Ou sc rappelle que la caractéristique $ exprime les vitesses avec lesquelles varient tes quantités que l’on considère , lorsqu'on passe d'on point à un autre sur une même ligne géodésique fi.

poser 7— o, et l'on peut remplacer la vitesse, u par In vitesse », ou , ee qui revient un même, par lu différentielle dx qui est identique à la vitesse ». I.n combinaison des équations (2) et (4) donne, en conséquence.

Substituons à In vitesse

eos b

In valeur fournie par l’équa-

On a , généralement.

dy

S .dy

ily.S

l)e là résulte, pour le cas oti les lignes Z et 2, coïncident originairement avec la ligne S, (la quantité dy s'annulant eu vertu de l'équation (3)),

dy S .dy S-dy

u u du .

L'équation (2) donne d. — pour valeur à substituer à dy. Exprimons u en * “

fonction de », au moyen de l'équation (t) du n° 224, page 344. Il vient, en général ,

De là résulte, pour le cas dont il s’agit, les quantités y, > , f s’annulant toutes trois, et l'équation (I) impliquant , comme conséquence . l’annulation de la quantité d),

dy ss d .

tl

d * ^ dl

v du

On voit, par ces détails, comment on a, en toute rigueur.

dy t.dy du

u du ds

lion (12) du n° 225, page Jii'.l, cl, apres celle substitution, remplaçons les quantités »„ o, par leurs valeurs initiales 0, o. Un trouve ainsi

( eos 0 r eosa « Il

’y^LT ' kr J d'

ii ■

du

L'équation (0) résout la question proposée pour le eas général de (leu s systèmes quelconques de courbes tracées sur une surface, sous la seule condition que les courbes de l’un de ces systèmes soient les trajectoires orthogonales des autres. Le premier membre exprime la vitesse avec laquelle la courbure géodésique varie dans un même système lorsqu’on passe d une courbe ù une autre suivant la trajectoire orthogonale qui correspond au point que l’on considère. Le seeond membre fournit la valeur développée de cette même vitesse.

• On observera que dans les cas traités précédemment, la quantité preste constamment nulle, ainsi que l'angle y. Il en résulte que le dernier terme du seeond membre de l’équation (G) s’évanouit, et l’on retrouve ainsi I cquation (-12) du n° 225. Dans le eas général, on a d'abord, conformément à la règle du n“ ô.'i de la deuxième partie,

il.d.

dx

ds

dx

dm

Il vient ensuite, comme on le voit aisément \

ds ds

* On a. généralement,

rlX

dï

S.dx

rts

-h dX.i

De là résulte, |iour le eas dont il s’agit, tes quantités y et dx s’annulant à la foi9en vertu de l'équation (O,

. dx S.dXr

ds ds

Il suit de lit que l'équation (ti) peut prendre In forme suivante, sous laquelle elle n été donnée par M. Ossinn Bonnet *,

eus h r eo$*6 I "]

ds

ds

Il est visible, d'ailleurs, que si In quantité J- avait même valeur pour tous les points île In ligne S, ee qui nous ramènerait aux eas traités précédemment, la différentielle d .Jy serait identiquement nulle et fernit ainsi disparaître le terme qui lui correspond.

22 7. Les formules (I) et (2) du n" 224 ne ressent pas de subsister, lorsque In droite D s’arrête au point n et se continue au delà par une courbe qui In touche en ee même point. Cette simple observation implique évidemment In conséquence suivante.

La formule (5), qui se déduit de la formule (2) en posant ; —n, s’applique, en même temps et de In mente manière, au cas traifé dans le n" 224, page 342, et nu cas plus général où I on remplace la droite D par une courbe quelconque qui la touche en m , c'estm à-dire qui soit assujettie à rester normale en m à la ligne S.

Cela posé, si nous nous reportons aux données du n° 22li et que nous remplacions v par du dans la formule (3) du n” 224, nous avons, comme tout à l’heure,

eos 9

[eos* 9 I T