HH

ce qui le fait rentrer dans le type (3, )^p.

Au point de vue des applications, la seule variété de ce type utile à considérer est celle où la ligne L est droite. Si on la prend pour axe des Xj et si l'on appelle \ l'abscisse du pivot situé sur cet axe, on voit que les deux alignements se traduisent par les équations

Jz T8 T8 Ja T4 t-»

(*) r. de N., p. 2i3.

MAUniCE D OCAGNE.

entre lesquelles il faut éliminer X pour avoir l'équation représentée. Le résultat de cette élimination peut s'écrire

/îy ?i> V' ^'^^**^ toujours des fonctions de la seule variable a^.

On peut lui donner une autre forme en s'appuyant sur cette ingénieuse remarque de M. Soreau (*) : si la ligne \j est considérée comme une ligne de terre, les droites àf et A'"" peuvent être prises pour traces d'un plan contenant à la fois les points (aj, (a^), (ol^) et (a^). Or, si Ton appelle jr et z les coordonnées normales à Taxe L des j;, respectivement dans les plans 7i' et t^\ on a, pour les coordonnées homogènes de ces quatre points,

•* Jîf

^' —Jk >

Lors donc qu'on exprime que ces quatre points sont dans un même

(') Celte remarque se trouve dans Timportatit Mémoire de cet auteur, paru en igoi dans le Bulletin ci? la Société des Ingénieurs civils sous le titre : Contribution à la théorie et aux applications de la Nomographie, Mémoire que nous avons déjà cité plusieurs fois. La mise sous forme d^un déterminant du quatrième ordre de Téquation générale représentable par double alignement, avec une ligne des pivots rectiligne, a permis à M. Soreau de développer, pour les équations de ce type, une intéressante théorie analytique qui prolonge, en quelque sorte, pour la quatrième dimension, la théorie des équations représentables par simple alignement. Nous renvoyons, pour cette théorie, au Mémoire cité qui contient encore d'autres remarques intéressantes sur divers points de la Nomographie, ainsi qu'un grand nombre d'applications inédites, destinées principalement aux. Ingénieurs. Nous avons d'ailleurs donné dans le Bulletin des Sciences mathématiques (2* série, t. XXVI, 1902, p. 67) une analyse critique du Mémoire de M. Soreau, envisagé au point de vue mathématique. C'est même au cours de cette analyse que nous avons été conduit à proposer la notion du genre nomographique, définie plus haut à propos des nomogrammes à simple alignement, et qui s'étend aussi aux nomogrammes à double alignement. Parmi ceux-ci, ce sont encore ceux ne comportant que des échelles rectilignes qui sont de genre o.

plan, on a

qui est l'équation représentée.

Parmi les équations de ce type une forme fréquente est la suivante :

pour laquelle, en prenant comme axe des pivots Taxe des j, on constitue

Fig. 3o.

O.oooi

respectivement les systèmes (a,), (o-j), (a,) et (a,) au moyen des for mules

(a,) ar=i, (a,) x=^

J — J il

Voici comme exemple {^fig. 3o) le nomogramme de l'équation de

58 MAURICE d'oCAGNE.

M. Bazin pour l'écoulement de Teau dans les canaux (*) : qui, lorsqu'on Técrit

rentre dans le type précédent.

Si la ligne rectijigne des pivots est rejetée à l'infini par une transformation homographique (^), on obtient un nomogramme à alignements parallèles rentrant dans un type déjà rencontré plus haut ('), et qui, au nouveau point de vue d'où nous le considérons, aura pour notation

(a,)«A' («.JmA' .[ooJmAM (aJ^HA" (ajH.A" foc]«A") """'*

18. Résolution des équations algébriques par les images logarithmiques. — Comme exemple de nomogramme à trois plans superposés nous citerons encore la méthode de résolution des équations algébriques, fondée sur l'emploi des images logarithmiques, qui a été proposée par M. Mehmke.

Supposons une équation algébrique mise sous la forme

/(z:) = cp(z),

f et 9 étant des polynômes en z et, après avoir construit les images logarithmiques de ces polynômes, définies au n° 10, prenons les points communs à ces images. FiCS abscisses de ces points communs satisferont à l'équation .

(') T. de A^., p. 23i.

(*) Sur l'emploi de ceUe transformation dans le sens du double alignement, nous renvoyons an Mémoire de M. Soreau (p. 3ao et suiv. ).

(') Note au bas de la page 32. ^ous avons d'ailleurs déjà remarqué (noie au bas de la page 5i) qu'il y a équivalence entre l-es nomogrammes à parallèles et ceux à équerre.

Les racines z cherchées seront ensuite données, en fonction de ces abscisses, par la formule

ou

logz = X.

Si donc on trace sur le plan les parallèles à 0/ définies par cette dernière équation, dans laquelle on ferait varier c, on voit que les racines cherchées seront les cotes de celles de ces parallèles qui passeront par les points communs aux images des polynomes^et cp. Or, d'après ce que nous avons vu au n^ 10, si y et cp sont des binômes en> z, leurs iniages logarithmiques pourront être obtenues par translation de transparents sur lesquels, pour chacune d'elles, on n'aura besoin de tracer qu'une seule courbe. De là, la méthode de M. Mehmke :

Le plan fixe 7i porte deux axes Ox et Oy pourvus chacun dune graduation logarithmique ^ des parallèles (z) au second étant en outre menées par les points de disfision du premier. Sur ce plan fixe on applique deux plans transparents ri et T^\ munis d'axes Ox^ y' et O" jé' y" ^ de même orientation que Oxy^ et portant respectivement Vun V image logarithmique V

du binôme a?"* -h a?" avec les index D\ et D]^, de coefficients angulaires m' et n'y que l'on fait passer respectivement par les points (p) et (q) de la graduation de O/, l'autre l'image logarithmique V du binôme x""' et x"' avec les index ï)\ et D^, de coefficients rrl' etri\ que V on fait passer respectivement par les points (r) et {s) de la graduation de Oy.

LéCS cotes des parallèles {z) passant par les points communs auo^ deux images logarithmiques sont les racines de Inéquation

pz'^'-^ qz" — rz^'-h ^z"'.

D'ailleurs, en vertu d'une remarqua faite au n"" 10, les cotes de la graduation de 0/ étant essentiellement positives, on devra considérer à part

60 MAURICE d'oCAGNE.

les images logarithmiques des binômes correspondant aux diverses combinaisons de signes possibles dans les deux membres.

En tenant compte de la seconde Remarque terminant le n*" 16, on voit qu'uii tel nomogramme peut être dénoté

Il appartient donc au type (3, ) .

En particulier, pour Téquation complète du 3* degré qui peut s'écrire

pz-\- q^=^ rz -\- sz ,

on devra avoir sur Tun des transparents les images de la figure i8, sur Vautre celles de la figure i8 bis.

Si Tun des binômes se réduit à un monôme, on peut toujours faire en sorte que son coefficient soit réduit à l'unité; par suite, son image logarithmique, qui est alors une droite, reste fixe et peut être tracée sur le plan Tî. On peut même tracer d'avance sur ce plan les droites correspondant aux diverses valeurs de l'exposant \l. On aura ainsi un nomogramme à deux plans superposés seulement, permettant de résoudre toutes les équations trinômes, évidemment réductibles à la forme

z^^pz-^- q^

moyennant que le transj)arent porte les images représentées par la figure i8.

Ce nomogramme est représenté par la figure 3 1 , le transparent étant mis en place pour la résolution de Téquation

I/image de 2 + 1 coupant la radiante (x = 3 sur la parallèle 2 = 2,4» cette dernière valeur est Li racine positive de l'équation proposée.

EXPOSÉ DES PRINCIPES FONDAMKFJTAUX UE L\ HOMOGRAPHIE 6l

La notation de ce n oui o}^ ranime sera

(;,)-.D'„ (ï)-d;, Y.-O'V", {^=)mI',

ce qui le rattache encore au type (3, ).

M. Mehmke a d'ailleurs donné a sa méthode une plus large extension. Si, sur le plan tï', au lieu de l'image du seul binôme V"-h.x;"', on trace le système de lignes à une cote, constitué par les images (X') des trinômes

^ -i-x'-hyx' ((/étant un nouvel exposant constant) ainsi que l'index D^ de coefficient angulaire v', on voit facilement, en répétant le calcul du n" 10, que si, ime fois le plan t:' fixé sur le planTC, l'index D'^ coupe la graduation logarithmique de Oy au point coté (m), l'image (V) du plan tï' donne sur le plan "K l' image du polynôme pz" -\- qz" -\- Xz" , tel queT. = \' u. Traçant de même sur le plan 7i" le syslème des images (fi") des trinomes x'"' -i- x"' -+- [^''x"' et l'index D'^, on voit que les plans tt' et Tt'' appliqués sur le plan iz permettront cette fois de résoudre les équations

pz'^'-\- qz"' -\-'kz°' ■= rz'"' -\- sz"' -^ ix.z" ,

ce qui étend la méthode jusqu'à l'équation complète du 5' degré. Il faut

62 MAUKIGE d'oCAGNE.

remarquer toutefois que les paramètres/?, q^ X, r, s^ \l lus sur une échelle logarithmique sont essentiellement positifs et, par suite, qu'il faut autant de transparents distincts que Ton doit considérer de combinaisons de signes parmi les coefficients de l'équation. Dans le cas précédent, les images uniques correspondant à ces diverses combinaisons de signes pouvaient coexister sur le même transparent; il n'en va plus de mêmelorsqu*à chaque combinaison correspond tout un système de lignes cotées.