O.QOS
0>hJ
lèles ou concourantes suivant qu'on opère la traduction géométrique du
MAURICE D OCAGNE
déterminant directement ou après une transformation honiographique), l'autre par deux échelles rectilignes (parallèles ou non suivant les mêmes conditions) et ime échelle curviligne.
A titre d'exemples, voici le nomogramme à points alignés de l'équation des moments d'inertie des rectangles (*) {/ig. 22), mise sous la forme
logb -+- 3\ogh = log liil,
et celui (^g*. 2 3) de Téquation de Kepler (^), mise sous la forme
^sina = a.
Enfin, comme exemple de nomogramme à trois échelles curvilignes,
Fig. 23.
correspondant à la forme (III) la plus générale, nous donnerons celui (//g^. 24) de l'équation
qui se rencontre dans le calcul des murs de soutènement ('), et qui peut
(>) T.dejy., p. 154.
(') T. de N,j p. 193. Le retour des graduations (a) et (fx) sur elles-mêmes tîentà Tapplication d^un artifice indiqué à cet endroit.
(*) T. de N.f li. 198. La construction de ce nomogramme offre un escemple particulièrement intéressant de Temploi de la transformation homographique sous sa forme la plus générale.
s'écrire :
1) (2/?+i)(/;-Hi)
On peut remarquer que le type général d'équation (III) comporte six fonctions arbitraires (obtenues en divisant chaque ligne du déterminant par
Fig. 2I.
un de ses éléments non nuls), et que, si les fonctions d'une même ligne sont liées linéairement, l'échelle correspondante du nomogramme est rectiligne (*).
lo. Équations à quatre variables. — IjC raisonnement fait au n** 13, pour montrer que chaque type canonique de nomogramme à trois éléments cotés peut être approprié à une équation quelconque à trois va-
(*) M. Soreau a, dans le Mémoire déjà cité, fondé sur celte remarque une classification des équations représentables en points alignés. En vue de phisd^uniformité entre les nomogrammes à simple ou à double alignement, nous avons légèrement modifié sa conception en appelant genre nomographique d'une lelle équation Texcès du nombre des fonctions linéairement indépendantes qui la composent sur le nombre des variables. Cet excès, qui varie de o à 3, est, dans tous les cas, égal au nombre des échelles curvilignes du nomogramme correspondant {BuL de la Soc, math, y 2* série, t. XXVI, 1902, p. 71). Nous avons épuisé l'étude des équations de genre o dans un Mémoire spécial (Acta mathematica, t. XXI, 1897, p. 3oi) qui a fourni la matière d'une section (II, B) du Chapitre VI de notre Traité. Dans cette étude, voulant mettre en évidence les types à échelle régulière (échelle a? = a), nous avons réduit les fonctions //(«/) aux «/, mais les résultats obtenus subsistent intégralement dans le cas général moyennant la substitution aux échelles («/) des échelles //(a/).
4^ ' MAURICE n'oCAGNE.
riables ne subsiste plus pour le cas des nomogrammes à quatre éléments cotés. Autrement dit, à partir de /2 = 4, il n'y a pas de mode de représentation nomographique applicable à inie équation quelconque à n variables. Les équations correspondant à tel ou tel type de nomogramme à /i éléments cotés, pour n^\^ présentent donc certains caractères fonctionnels plus ou moins particuliers, en sorte qu'ici l'introduction des éléments mobiles peut n'avoir pas seulement pour effet de conduire à des solutions plus simples que celles obtenues au moyen d'un seul plan (*), mais encore de permettre de résoudre nomographiquemerit des équations non représentables sur un seul plan^ ce qui est évidemment d'un plus haut intérêt.
Pour en donner innnédiatement un exemple, supposons qu'une équation à quatre variables soit de la forme
/(a,, aJF((X3, aO^-(p(a,, a,)$(a3, a,) +(j.(a,, ^^^(a,, a,) =o.
Elle exprime le contact du point à deux cotes
avec la droite à deux cotes
a?F(a3, aJ-Hj$((X3,a,)-+-¥ra3, a,) = o.
Or, une droite à deux cotes, non représentable de façon permanente sur un plan, peut, ainsi qu'on l'a vu au n° 10, être déterminée à l'aide d'une droite mobile, grâce à ses deux systèmes d'enveloppes. On obtient ainsi le type de nomogramme représenté par la figure 25. Sa partie fixe comprend les systèmes de lignes (a,), («..2)5 (0^3)» (^4)? tracés sur un même plan, les deux premiers définissant le réseau des points à deux
(*) Ce cas se présentera pourtant aussi lorsque les éléments mobiles seront simplement substitués à des éléments condensés du plan fixe. Ex. : abaques hexagonaux.
cotes (a,, a^l, et les deux autres constituant les deux systèmes dVnveloppes des droites (a,, a^). Cette partie fixe est complétée par une droite mobile, etTemploi du nomogramme résulte de cette traduction géométrique de réquation ci-dessus : lorsque la droite mobile est tangente à la
ri g. a.).
fois à la ligne (a,) et à la ligne (0.4), elle passe par le point (a,, a^).
La notation de ce nomogramme, si Ton représente par A' la droite mobile, sera
Il appartient donc au type (3,)^.
Le cas particulier le plus intéressant est celui où les enveloppes (a,) et (a^) se réduisent à des points, auquel cas on retombe sur la méthode des points alignés^ l'un des trois systèmes étant ici à deux cotes. Pour obtenir le type des équations correspondantes, il suffit, dans le type (III) du numéro précédent [ainsi que dans (I) et (II) qui en sont des cas particuliers], de remplacer les fonctions de a, par des fonctions de 0.3 et a^.
Si l'on fiiit ce remplacement dans le type (I), les points (a,, aj sont condensés (suivant ce qui a été vu à la fin du n° 1) sur un support rectiligne. On trouve très fréquemment des équations du type (II) transformé, c'est-à-dire
/.(«•,)F(a3,aj4-/,(aJ$(a3,a,) + Y(a3, aJ = o,
MAURICE D OCAGNE
qui s'écrit sons forme de déterminant
fiCS points (gCj, a^) sont dès lors déterminés par les équations
entre lesquelles il faut successivement éliminer a^ et a, pour former les équations des systèmes (oCj,) et (a^) constituant le réseau (a,, a^).
Comme exemple, nous citerons le nomogramme à points alignés de réquation complète du troisième degré
où les coefficients /i, p^ q sont supposés quelconques (*). Ici, les systèmes (/?)?(^)et(z,/î) sont définis par
z""-^ nz i -f- z
D^ailieurs, l'expression de ce dernier x ne contenant que 2, on voit immédiatement que le système (z) du réseau (z, n) est formé par des
(') 7^. ^6 iVv p* 333. La transformation de Tschirnhausen permettant d^amener toute équation du septième degré à la forme
•+'nz'-{'pz'-\-çz -i-I=z:0,
la méthode ci-dessus est applicable à toutes les équations algébriques jusqu^au septième degré, inclusivement, comme nous Tavons fait remarquer à Toccasion de la question soulevée par M. Hilbert, et dont il a été fait mention plus haut {Comptes rendus, t. CXXXI, 1900, p, 522).
EXPOSE DES PRINCIPES FONDAMENTAUX DE I.A HOMOGRAPHIE. ^g
droites parallèles à Oj. Le nomogramme correspondant est celui de la
Klg. 2*"'-
figure 26, sur laquelle sont marquées en pointillé les positions de l'index
répondant aux équations
MAURICE D OCAGNE
Z^'+- tÀZ — 6 =
et
pour lesquelles on a
et
Le type (4J comporte une variété ponctuelle intéressante aussi à considérer à part, et qui a été étudiée spécialement par M. Goedseels. On peut y supposer les quatre éléments constants constitués au moyen d'une même courbe autre qu'une droite ou un cercle, et notamment au moyen d'un
Fig. 37.
th
ic^») este
couple de droites. Si ces droites sont rectangulaires, on a un nomogramme
EXPOSÉ DES PRINCIPES FONDAMENTAUX DE LA NOMOGRAPHIE. 5l
a équerre ( * ), dont la notation est
K)-I>', (a,)-D^ (a3)H.D;, ((xOk.d;.
L'équation correspondante sera évidemment de la forme
En voici imexemple (Jig. 27) emprunté àM, Goedseels (^). Il se rapporte à r équation
a^= a2(ioosina3 4-cosa3)sina3COsa,
qui se rencontre dans les levers tachéométriques.
16. Structure générale d'un nomogramme à m plans. — Si, au lieu de deux, on considère m plans superposés, on peut immédiatement décomposer le nomogramme ainsi constitué en une suite de m — i nomogrammes à deux plans rentrant dans les dix-neuf types canoniques ci-dessus définis. En effet, on peut commencer par fixer le plan t! par rapport au plan tî, au moyen de trois contacts, puis le plan t^^ par rapport à l'ensemble {tzt!) des plans tz eii^ rendus solidaires, au moyen de trois nouveaux contacts, et ainsi de suite jusqu'au plan tî^'""*^ que trois derniers contacts fixeront par rapport à l'ensemble [izt! . . . tî^"'"'^^).
Les m plans étant ainsi fixés les uns par rapport aux autres, au moyen de ces 3 (m — i) contacts de position, on constatera l'existence d'un contact de résolution entre deux éléments de Tensemble (tttc'. . . 71;^'""*^).
Chacun des 6m — 4 éléments intervenant dans ces 3m — 2 contacts étant muni d'un nombre quelconque de cotes, on engendrera ainsi le nomogramme le plus général c\ue l'on puisse concevoir.
(') Un tel nomogramme est évidemment transformable en un nomogramme à parallèles mobiles (note au bas de la page 82) par une rotation de 90^ de la droite D'^ et des systèmes (a,) et (a^).
T. de N., p. 239.
52 3IAURICE d'oCAGNE.
Voyons maintenant comment pourra être classé un tel nomogramme. Chaque ensemble successif de trois contacts de position, joint, par convention, au contact de résolution, définit un type de nomogramme à deux plans rentrant dans le Tableau du n"" 12. En inscrivant les uns à la suite des autres les numéros correspondant aux types ainsi successivement obtenus, on aura la désignation du nomogramme à m plans considéré. En d'autres termes, si Ton écrit les uns au-dessous des autres les triples de contacts de position, et, sur le côté, le contact de résolution, de la façon que voici :
F'k.F* F' «F Fk.F" , , .,
^r'-'^^M^"'"*^ Mr^-'^K.ar'"*^ m-'^-'^^m^'""*^ 11 ^2 33
on placera les unes à la suite des autres les désignations des nomogrammes à deux plans obtenus en rattachant successivement le contact N^»h N^."*"*^ à chacune des m — i lignes du Tableau contigu.
Pour rendre la chose plus claire, appliquons ces généralités à un exemple emprunté à M. Lallemand (*), et qui concerne l'équation
relative à la correction des mires, dans les nivellements de précision, les variables étant e, ;jl^, \l^^ H, et H^.
Le nomogramme {fig* 28) se compose :
1° Du plan fixe tu sur lequel sont marqués deux points fixes O,, O^, deux échelles ({Jt*<), (u^a) et une droite D (constituée par le bord d'une règle);
(') r. de N,, p. 370.
'x"" De deux plans tu' et 7c'^ mobiles respectivement autour des points O, et Ojj, portant chacun un index, i! et i" ^ et un système de courbes cotées, (H,y et (H,f;
3" Enfin d'un plan t:!\ dont une droite D"' glisse le long de D et qui
Fig. 28.
porte un système (e)"' de droites parallèles, dont celle de cote o sera désignée par {o^.
Le mode d'emploi est le suivant : Les plans r! et 71''' étant fixés (au
54 MAURICE d'oCAGNE.
moyen des punaises P' et P'^), de façon que leurs index i' et i" soient respectivement en face des points \l^ et {x^, on fait glisser le plan t!" le long de la droite D jusqu'à ce que la droite (o)''^ soit tangente à la courbe (H^)'. Alors la droite {t)"' est celle qui est tangente à la courbe {^^Y . La notation de ce nomogramme est donc
D HD'" (H//H.(of
Chacun des trois nomograranies composants est, comme on voit, du type (3j). Le nomogramme complet sera donc considéré comme appartenant au type (S^, 83, 3jj) que, pour plus de simplicité, on pourra
écrire (SJ .
Remarques. — i® 11 pourra se faire qu'un même élément mobile intervienne, sur im nomogramme, dans plusieurs positions successives. Pour rattacher ce nomogramme à la classification générale, on devra considérer ■ces diverses positions comme obtenues au moyen d'autant de plans différents superposés les uns aux autres (*).
2° Un point intervenant dans un des contacts, pouvant, dans l'ensemble des m plans fixés les uns par rapport aux autres, être déterminé par l'intersection de deux lignes appartenant à des plans différents, ce point sera désigné par les lettres représentatives de ces deux lignes mises entre crochets.
17. Nomogramme s a double alignement. — Parmi les nomogrammes
(^) C^est ainsi que les abaques hexagonaux munis d^échelles binaires, qui permettent, au moyen de /i — 3 glissements du transparent à index (7', de N,, p. 817), de représenter des équations de la forme
/i(«i> Pi)"H/î(as, Pi)"H...-H//.(««, P/i) = o, doivent être considérés comme des nomogrammes à /i — 2 plans superposés.
à trois plans superposés la classe la plus importante peut-être pour les applications est formée par les nomogrammes à double alignement (*), dont la figure 29 donne le type général dans le cas de quatre variables. Les alignements pris entre les points (aj et {cf.^) d'une part, (a,) et (aj
Fig. 39.
(aj)! (ou)
de l'autre, doivent concourir en un point de la ligne L, dite des pivots. Appelant [L] le point quelconque de cette ligne, oii concourent les deux alignements, c'est-à-dire le pivot autour duquel on fait tourner l'index mobile servant à la lecture pour l'amener à coïncider successivement avec les deux alignements A' et A'', ces deux alignements étant supposés réalisés au moyen de droites appartenant à deux plans t! et t^^ superposés, on voit que le nomogramme pourra se dénoter
(aJi-iA' (a,) M A''
(ajHHA' (a,) «A''
