III. Théorie générique de la machine à gaz chauds

Je crois devoir m'étendre un peu longuement sur ce genre de machines et sur sa théorie, parce qu'il s'agit d'un moteur qui a récemment fait époque dans la mécanique appliquée, qui dès l'abord s'est présenté comme devant remplacer désormais la machine à vapeur la plus perfectionnée, et qui, par les nombreuses déceptions auxquelles il a donné lieu jusqu'ici, a encore une fois donné gain de cause au public, si nombreux, toujours jprêt à applaudir à tous les prétendus échecs de la théorie. 11 me sera facile de prouver que, si déception il y a eu, ce n'est pas parce que la théorie ne pouvait prévoir les résultats de la pratique, mais que c'est bien au contraire parce que des théories, mal établies, ont promis plus que le moteur ne pouvait, tenir même théoriquement, et parce que d'autre part aucune de ces théories n'a su apprendre aux constructeurs à placer la nouvelle machine dans les conditions où elle pourra probablement rei\dre un jour des services utiles.

Au point de vue des principes de la théorie mécanique qui s'y trouvent appliqués, les machines à gaz peuvent se diviser en trois classes très distinctes. Je vais les définir et les analyser sommairement.

1° Dans celles de la première classe, le corps intermédiaire, le gaz, se trouve toujours en contact avec des corps à la même tem-

pérature que lui.

C'est la condition du plus grand rendement possible, mais nous

allons le voir aussi, c'est une condition irréalisable.

Concevons un poids de gaz n & la pressio& P, «t à la températare T renfermé dans un cylindre moteur dont les parois sont aussi à T;

(Condition a) «Laissons le piston reculer assez lentement pour que le gaz soit maintenu à la même température T par la cb^eur que lui cèdent les parois. »

Le gaz se détendra d'après la loi de Mariette et foumira un travail fo donné par Téquation :

A = P Vo log. ^ii-)

Vo étant le volume initial et Vi le volume Unal. La chaleur cédée par les parois sera :

PV.

qo =

A partir de ce moment :

(ConditioiFè) « Laissons le piston reculer assez vite pour que le gaz ne reçoive plus de chaleur des parois, tout en exerçant toiyours sur le piston une pression é^ale à la résistance de celui-ci. »

Vs étant le volume final jusqu'où on laisse le gaz se détendre, la température tombera de T à :

i=(AH-T) (^\ -A=(272o,85-hT) ^AJ -272o,85(3) Et le travail rendu aura pour valeur :

/i = Cin2(T-t) = Cin2(A-^T)( 1- (^) J (4)

Faisons passer le gaz à i"" dans un cylindre dont les parois soient tenues à i^, puis :

( Condition c ) « Refoulons-le assez lentement pour que les parois lui enlèvent sans cesse tout le calorique produit et le tiennent à i. »

Le gaz sera comprimé selon la loi de Mariette, et le travail dépensé sera r

f: = P' V, log. (^) (5)

P' étant la pression répondant à Vj , et Vs le volmne fioal.

La chaleur reçue par les parois sera :

A partir de cette période, continuons de refouler le gaz jusqu'à son volume initial, mais :

(Condition (2) « En faisant marcher le piston assez vite pour que le gaz ne cède aucune cbaleur aux parois, tout en opposant toujours au piston une résistance égale à la pression de celui^i. n

La température va s'élever de i à T : car nous voulons que le gaz* revienne sous tous les rapports à son état initial. Nous avons donc la relation :

Le travail dépensé pour la compression sera donc :

f, = Cin2(T-t) = Cins(AH-t)^A^ -A.) (8)

Et par conséquent égal à A .

Retranchant ( /"o -+- /"i ) de ( /o •+• /i ), il nous reste :

F. = P Vo log. (A ) ^ F' V. log. (.^) (9)

Mais puisque :

et on a :

> — i . . . xr V y — 1

'=«-'(1) -*~(4tV)=(1)

D'où

V, ~ Vo ■

V, Vo "'

Et par conséquent

F.=:(PVo-P'V,)l0g. D. (10)

Mais nous avons aussi :

Et

\ Ah-T/ Remplaçant en (10) P' et Vj par ces valeurs, il vient en définitive :

F. = PV,(.I^)log.D. (11)'

Divisant cette valeur par la quantité de chaleur dépensée ou par (2), il vient simplement :

Supposant que la source de froid, que le milieu où nous vivons soit à 0® et que la source de chaleur soit à 272<>,85 = T, il vient :

C'est-à-dire que, dans ces conditions, une moitié de chaleur est utilisée en travail et que l'autre est transportée de la source de chaleur sur celle de froid. Et il est évident que de cette dernière moitié rien ne peut plus être utilisé par nous.

n est de plus tout aussi évident que les conditions, a, b, cet d sont absolument irréalisables et que par conséquent les machines de cette classe le sont aussi,

29 Dans les machines de la 2* classe, le corps intermédiaire, le gaz, est chauffé et refroidi à volume constant, et il est détendu et comprimé de nouveau sans recevoir de chaleur externe et sans en perdre à l'extérieur.

Soit un poids n de gaz à la température t : portons le à T ; puis laissons-le se détendre jusqu'à ce que sa température soit redevenue t : c'est, évidemment en soi-même , la condition du rendement

maximum, puisque toute la chaleur fournie est utilisée en travail extérieur.

La dépense de chaleur sera

•?o = nCi(T-.0. (1)

Le travail produit sera

/ô = Ctnî(T-i). (2)

La détente nécessaire sera

Vo et Vi étant le volume initial et final.

Refroidissons le gaz de t à i.

La condition nécessaire ici c'est que i soit tel que quand ensuite nous ramenons le volume de Vi à Vo, la température s'élève de i à t.

n résulte de ce seul énoncé qu'aucune partie de la chaleur enlevée, ou

çi = Cin(«-i) (4)

nepeutplits être employée ultérieurement à réchauffer le gaz : cette chaleur est transportée du corps chaud au corps froid. Nous avons, pour remplir la condition énoncée :

t = (A-Ht)(A.y"-*-A. (5)

D'où il résulte en comparant à (3) :

(A-HT)(A-Ki)==(AH-t)' (6)

et par conséquent :

Le travail dépensé à comprimer le gaz est :

/i = Cin2(«-t> (8)

Retranchant de fo, il reste

p. = Cin 2(T-^t-2t). (9)

Divisant par la dépense de chaleur (1), on a :

Mettons à la place de t la valeur qui nous donne pour RunmaxlmlUD;ilvient:

Posant comme exemple i = o et T = 272,^5, on trouve :

C'est-à-dire que le rendement maximum de cette fliachine est au plus de 30 p *>/o et que 70 p <>/o de chaleur sont simîrtement transportés de la source de chaleur au condenseur. 11 est de plus visible que, quant à la seconde des conditions indiquées au début, cette machine est aussi irréalisable que celle de la i« classe.

n est en effet impossible d'empêcher que le gaz ne reçoive de chaleur des parois pendant sa détente et ne leur en cède pendant la compression, et dès ce moment, à part même toutes les autres causes de pertes de travail qui sont très considérables dans ce genre de moteur, il est impossible d'atteindre le résultat maximum».

3® Enfin, dans les machines de la 3« classe, le gaz est chauffé et refroidi à pression constante.

Je supposerai : 1° qu'un poids n d'un gaz, à la température t, el à la pression de n, est pris par une pompe foulante (ou alimentaire) et poussé dans un réservoir où il a la pression constante N et où il s'échauffe de i à T ;

2» que ce gaz ainsi dilaté va agir dans un cylindre moteur, d'abord en pleine pression, puis par expansion pour repasser ensnite dao&un rafpraichissoir , où il se trouve à la pression constante n'" et où il est ramené à la température i.

Ainsi conçue et devenue réalisable, la machine à gaz est analogue en tous points à la machine à vapeur, et n'en ùiSkre qicn^en ce que le corps sur lequel agit le cak)riqQe, an lieu de changer d'état, reste sous la même forme physique.

Dans les limites de pression et de température où la machine est appelée à fonctionner, nous pouvons sans erreur théorique sensible, admettre: 1^ Que le gaz quelconque employé se comporte selon les lois de Mariette et de Gay-Lussac ; 2» Que sa capacité caloriflque est

constante. Pourvu que^ comme physiciens, nous nous rappelions que ceci n'est qu'une approximation et non l'expression absolue de la YériAé. Les équations de la théorie générique prennentdansce& conditions la Tonne la plus simple et la plus élégante.

Occupons-nous d'abord du travail négatif consommé par la pompe alimentaire du moteur : travail ici beaucoup plus considérable que dans la machine k vapeur.

Cette pompe, disons-nous , prend le gaz à n" et à i<* dans le rafraichissoir pour l'amener à N" et le pousser dans la chaudière. Admettons que les oriDces, conduites, etc.^ soient assea spacieux pour que la pression pendant l'aspiration reste sensiblement n dans le cylindre ; le piston est pendant cette période poussé en avant sous cette pression et fournit un travail positif de 10333. V n^— , si V est le volume d'une cylindrée. Le piston reculant ensuite, le gaz est refoulé, et avant de pénétrer dans le générateur, il faut qu'il atteigne la pression N"* : comme nous taisons abstraction de l'action des parois, comme par suite toute la chaleur produite par la compression reste dans le gaz, celui-ci obéit à la loi :

n'=n {2\ Cl =n f^\ (1)

7 étant le rapport des capacités à volume constant et à presaion constante, V, le volume occupé à chaque instant par le gaz, et n' la pression produite.

Le travail négatif dû à la compression a donc pour expression :

rv

V ^^ 10333 vVv*"^ — V*""^ )

\ étant le voliune du gaz parvenu a la pression Ni

L^ volume Yi , étant ensuite poussé dans le générateur sous la pression Ni^ il se dépense encore un travail négatif dont l'expression est 10333 Vi N. Faisant la somme de ces diverses quantités de travail positif et négatif, et réduisant, nous trouvons simplement :

. yn 10333 V // V \^\ , \

Puisque d'après Féquation (1), la jpression ne dépend que du volume et non de la température initiale, il est clair qu'en désignaot par W le volume du cylindre moteur et par w le volume engendré par la course du piston sous la pression N, on aura d*abord:

= -rr- et par suite identiquement et toute réduction faite :

w; Vi

p ynl0333W/ /^V-* ^ \

pour le travail positif fourni par le cylindre moteur.

Faisant la somme de F et de /"et posant D = — = il vient :

^^ynl0333(W-V)/>-i^ N

Désignons par t la température du gaz à la fin de la détente dans le cylindre moteur. On a évidemment :

w=vfl±2i)

V 1 -f- ai / D'où il résulte d'abord :

^ gyn 10333 V(t-i) / >-* A (y-i)(H-ai) ^ ;

Soit T la température à laquelle le gaz est porté dans le générateur, on a d'après l'équation (53) :

d'où il résulte, en faisant toutes les réductions : 7nl0333Vr

|^((A^TMA.^)m-)(l"-i.^,)

En différentiant cette équation par rapport à D, et posant d4^o, on trouve qu'eUe est susceptible d'un maximum, c'eslrà-dire qu'A y a une détente qui, toutes choses égales, donne la plus grande force possible. Cette détente est : *

latroiuisaat cette nieur dans Téquatioa d-dessus, eUe devient :

ynV 10333 / /T^T ,V

équation qui est d'un usage des plus faciles.

Telle est l'expression du travail disponible fourni par un gaz dont la pression est n, et la température i, dans le rafraichissoir, et dont la température est T dans le générateur.

Quelle est la chaleur fournie au gaz pour obtenir ce travail ?

Soient n le poids du volume de gaz Y, G la capacité calorifique à pression constante, et t' la température après la compression de V à V dans le petit cylindre. On a :

Mais t'=: (A + i) D - A

d'où: Q=nC ((A-f-T) — (A-i-i)D^ )

Désignant par a la densité du gaz à (y> et à 1""- , on a évidemment :

i-hat

d'où il résulte, en remplaçant aussi D^~~^ par sa valeur :

Divisant le travail * par la dépense de chaleur Q et posant-^= R, il vient :

j> a y 10333 /TTT/ A±II V^^ll^Ël/^^ /^)

C ^ n n f a 10333 \ Remarquons que y = "TT- et que G = Gi h-( — — — )

d'où:

y GrAï-Hal0333

et par conséquent enfin très simplement : *

Équation qui nous apprend que le rendement théorique ne dépend

nullement de la nature du gaz ou de sa pression, mais seulement des deux températures i et T.

L'expérience m'a démontré qu'avec la vapeur surchaufiée, le graissage et le bon entretien d'une machine ne sont possibles que si l'on dépasse peu 250<> pour la température de la vapeur. A plus forte raison eu est-il ainsi pour une machine à gaz. D'uo autre côté» ce n'est qu'exceptionnellement qu'on peut refroidir la vapeur à. 30*. Posons donc i = 30, et T = 250«>. Il vient :

En d'autres termes, notre machine rend au maximum 23.9 p <>/o. Mais, dira-t-on, il existe entre ce moteur et la machine à vapeur une singulière différence. Dans la dernière on ne dispose que d'eau de condensation à une température de i'. Ici, au contraire, nous disposons d'air à t que nous refroidissons a i*», et qui nous rend par suite {t — i)\ L'emploi le plus naturel qu'on puisse faire, à. ce qu'il semble, de celte chaleur, c'est de l'employer à échauffer le gaz avant son entrée dans le générateur.

Une remarque importante se présente ici. Par la compression, le gaz prend dans la pompe foulante une température :

t' =-(AH-i)D "*— A.

Dans le cylindre moteur, le gaz se refroidit de T à ^ et l'on a :

Or en posant -,>-* , / ^'^'^ il vient t^ = t, c'est-à-

dire que dans un moteur dont la détente est réglée de manière à donner le maximum d'effet , la température que la compression produit dans le petit cylindre est précisément la même que celle du gaz après l'expansion dans le grand cylindre. Oa ne |6ut donc point se servir de la chaleur du gaz sortant du cylindre moteur pour échauffer celui qui entre dans le générateur. Je suis loîii de

dire que dans rinâu8Uie an ne puisse utiliser la température t'>t: mais ce qui est sûr, c'est que, comme puissance dynamique immédiate, die est perdue pour notre mactilne. A ma connaissance d*a moins, dans la plupart des théories de machines à air chaud, on n*a point tenu compte de cette perte théorique, ou pour parler heaucoup plus correctement, on a cru qu'elle est annulée par remploi des Tami$ respiraiewrs, et qu'ainsi la machine peut arriver à rendre réeH^MQt iOOp<»/o, ahstraction faite des frottemrats, etc. Ceci me conduit naturellement à une réflexion générale qui concerne les trois genres de machines que je viens d'examiner, et qui frappera le lecteur.

Les respirateurs ou tamis métalliques, employés dans ïes machines à gaz pour s'emparer du calorique restant dans le gaz après lé travail et pour le lui restituer ensuite avant le travail, ces respirateurs, dis-je, sont au point de vue de la physique expérimeQtale une des inventions les plus remarquables qu'on puisse citer. Mais leur utilité dynamique est absolument nulle, en ce sens que là où leur emploi conduit à une économie de chaleur, il constate tout simplement Texisteiee d'uft défaut graves dans la manière dont on a réglé la détente de la machine, défaut par suite duquel eeUen^i ne peut plus rendre le maxîiBum d'effet a^sigi^ par la théorie générique. En un mot, l'emploi des respirateurs qu'on a tant admirés (et avec raison sous Uft rapport) constate, k>rsq[u'ii est réeUement utile, un vice dans ta machine et ne peut & au,cun titre être regardé comaie un moyen d'élever le rendement possible du moteur.

Théoriquement la dernière inacfaine à gaz que je viens d'analyser rend encore notablemeat plus quek machine à vapeur surchauffée ; mais nous allons voir bientôt qu'une feule de causes réduisent en réalité ce rendement et le font descendre de beaucoup au dessous de ceiui de la machine à vapeur, considérée aussi au point de vue de l'expérience. Cependant la supériorité des machines de ce troisième genre sur celles des deux genres précédents, quipourta/nt théorique^ ment rendent plm qu^elle^ est manifeste, au point de vue pratique.

L'inconvénient des machines à gaz construites jusqu'ici» c'est d'avoir des dimensions colossales par rapport à une macinne à vapeur donnant le même travail théorique, Colloque je viens d'analyser peut-être mise entièrement à l'abri de cet inconvénient. Eo effet, comme c'est toujours le môme gaz qui sert dans cette machine en passant alternativement du générateur ou condenseur et vice versa, nous pouvons dans l'équation ($) faire n aussi grand qu'il nous platt, c'est-à-dire comprimer le gaz dans le condenseur même à 5"- ou 6"- de pression. Pour une même température T et i, on a

* = anV

Et par suite en augmentant n nous diminuons V et par conséquent tout le volume de la machine : il est facile de s'assurer que pour n = 5*** , les dimensions d'une machine à air deviennent très acceptables.