I : = CJj,, — /j 1 2„ ï 2«-f-2 C7?nn5j,i-H
et si, pour abréger, on pose
■, m -k- 1 . jp p
l’équation (a) prendra définitivement la forme
l) I = 7J5-2 n ~ ^2«-h2^2/iîS'2n+2 >
et sous cette forme elle permet de réduire s>2„ en fraction continue
TS5 jn
L’expression de F2« donne
F, = — d’où 1 -+- l( 2
et, par suite, s» est racine de l’équation du second degré
La solution
donnerait
Les coefficients du développement de sin2"am — | augmenteraient indéfiniment avec n. On doit donc adopter l’autre solution
i -i- /i% d’où pn — i.
Adoptant la valeur de 1+ k 2 pour celle de ®2„+2, correspondant à une valeur très-grande de in + 2, on remontera de proche én proche au moyen de l’équation (b), et l’on obtiendra ainsi toutes les valeurs des quantités zs, par suite celles des quantités p, et, comme 011 connaît X(9 et on en conclura toutes les quantités X.
23. Si la valeur 1 + k 2 de ne paraît pas assez approchée, on
peut remarquer que, si l’on pose
fln aura pour limite l’unité. D’autre part, l’équation (b) devient , . * r. , 7.., 4'2 ( k y (2/t + i)2 ^
( c ) * — fin I 1 « / 1 \ Il ) 1 ( \ \ f M+2 1
d’où il suit que f2n diffère de l’unité d’une quantité du deuxième ordre par rapport à l-- Posons
fin — 1 I -+" J 2 ni
et négligeons les termes dont l’ordre dépasse le second, nous aurons
J in n ./ *11 + 2
Si l’on admet que
on aura, aux termes près du troisième ordre,
yu)
Posant encore
fin 1 +
'fini
B. BAILLAUD.
substituant dans l’équation (c), négligeant les termes dont l’ordre dépasse le troisième, et supposant
f in+i—J in >
on obtiendra f2n aux termes près du quatrième ordre, et ainsi de suite.
24. Si l’on n’a besoin des puissances de sinam | que pour des
valeurs peu considérables de n , il suffira de modifier l’emploi de l’équation récurrente (a), de façon à calculer d’abord les coefficients des
développements des premières puissances de sinam — 2, pour en déduire ceux des puissances plus élevées. On posera
L’équation (a) deviendra
la') o = — 2 n ( 2 n -t- i ) h '
i -h /rs) — 4 é
Ik
— m{in
Opérant comme au n° 21, on posera
Ik
puis
72/ï vJ2n P2rt> P-2n I 2 q xJ2/i— 2>
/I 2 Tl r“ J
et l’équation récurrente (a') deviendra
( b' ) I = P2/1 p-7n—2 P m P'in—i‘
On traitera cette équation comme celle du n°21, avec cette seule différence qu’on en tirera p2„ en fonction de /32„2, et que les valeurs initiales sont connues exactement
d’où
f* 0 = 0, Po = O,
Il y a exception dans le cas où i = o. Alors
7° — ^TTi f4 0 P <1 - — q — 3 j( 2 ^(2) '
25. Des procédés tout à fait identiques aux précédents s’appliquent
au développement des puissances impaires desinam-^- S, et à ceux
des puissances de cosam — 2 etde Aam— S. Nousnenousyarrêterons pas. Il nous suffira de dire que l’on part des formes suivantes :
sin 3at + . . . ,
sin2"-^1
am
si n je +
4 vV
TT
cos2"
am
Y2n cos
2 AT -f-
cos2n+'
am
