TT TT

Posons

sin/i am — £ — 2 l\n) sin ^ -{- 2l[n) sin 2^ + 2 2(n) sin 3? -+- ... ,

cos/iam ^ £ — r‘n)+ 2r[n) COS^ + 2r["; COS 2; + . . . .

B. BAILLÀUD.

On a

— (/2sinnam

7 n2(i 4- hH) sin/i am £

7 n ( n H- i) /r2sin [n 4- 2) am — £ — 7 n ( n — 1) /»2sin (h

2 am

ircos/i am — £

7 «2 (1 4- h''1) cos n am — £

{ « (n 4- 1) /i2cos (m 4- 2 ) am 2— £ — 7 n [n — 1) /i2sin ( n — 2) am — £

On en conclut les relations récurrentes

in(u-i) /.-* 4- 4 «2 f 1 4- /,

2‘“UiR(n4-i]K;"+,) = o,

4«-2)1 I 1 ir|M)4- i»(n + I)*,I,(M = 0,

relations que l’on pourra traiter absolument comme celles des numéros précédents.

L’identité de forme de ces deux relations montre que

de sorte que le rapport

pi» T 2) fW’ A i 1

ÏT3

est indépendant de n, ou, plus exactement, n’a que deux valeurs applicables, l’une quand n est pair, l’autre quand n est impair.

Les développements connus de sinam — § et de cosam — \ et de leur carrés montrent que les deux indices d’un quelconque des coefficients ^ et T sont a la fois pairs ou impairs, et l’on trouve, en faisant n — 1 ou n = 2,

2, ’ 1— q11 2-li+i '+ </2

1 1”} I + T1' ri::;

formules qui seront de la plus haute importance dans le calchl des coefficients 2 et r, puisqu’elles permettent de déduire presque immédiatement les coefficients 2 des coefficients r.

Nous terminerons là les indications relatives au développement des sinus et cosinus des multiples de am ^ £ et des puissances des fonctions elliptiques élémentaires de £. Dans son beau Mémoire ( Studien au f dem Gebiete der Storungstheorie, Mémoires de l’ Académie impériale des Sciences de Saint-Pétersbourg, t. XVI, 1871), M. Gylden indique de nombreuses méthodes pouvant conduire à la formation des coefficients de ces développements. Ses travaux sur ce sujet intéressent à la fois les géomètres et les astronomes. Nous avons essayé de réunir, dans ce travail, ce qui nous a paru le plus immédiatement utile à ces derniers. Nous allons actuellement essayer d’éclaircir la méthode, en en commençant l’application à un cas particulier.

27. L’objet principal de cette élude étant la comparaison de la méthode de M. Gylden à celle de Hansen, nous avons choisi comme exemple la détermination des perturbations que la Terre exerce sur la comète d’Encke, ainsi que l’avait fait Hansen lui-même dans son Mémoire couronné ( Mémoire sur le calcul des perturbations qu éprouvent les comètes ). Cherchant surtout dans ce calcul un élément d’appréciation, nous ne nous sommes pas préoccupé de pousser le calcul jusqu’au bout, mais seulement de former le développement du carré de la distance des deux astres. Pour cette raison aussi, nous avons adopté pour les éléments de l’orbite de la comète et de celle de la Terre les éléments dont Hansen s’était servi, savoir :

T = 1208", 1466, loga = 0,3466760, a'

ra, = i8ï«>48' 55', 8, cj'

= o , 0167796, = 1 oo1' o' 1 3", o ,

B. BAILLAUD.

T désignant la durée de la révolution sidérale de la comète, Q la longitude de son nœud ascendant sur l’écliptique, sr, l’arc compris entre le nœud ascendant et le périhélie, «l’inclinaison de l’orbite sur l’écliptique, a le demi-grand axe de l’orbite de la Terre, ë son excentricité, rs' la longitude de son périhélie. Nous avons divisé l’orbite de la comète en deux parties, les points de séparation étant symétriques par rapport à son grand axe, et déterminés par cette condition que leur distance au Soleil soit égale à i. Enfin nous n’avons développé les calculs que pour la partie inférieure de l’orbite.

28. Désignant par a, l’anomalie excentrique du premier point de séparation, par u celle d’un point quelconque de la partie inférieure de l’orbite et par co l’anomalie partielle, on a (n° 14)

sm - = rn e sin — w mod. e ,