COS2 O

Il s’ensuit que la somme considérée est minimum pour

r= a cos 41.

sin/ = sin»#, f ~~ r — u,

Alors

et, par suite,

cos- = sin- et E2 = E2 2 2

De plus la troisième relation citée donne

tang2 — = tang + — ) >

d’où

sin2 — 1- cos 2 2

tang ~ '

On voit que, pour le minimum, chacune des quantités E? et Ej est moindre que et que ces quantités sont d’autant plus petites que Tel-

lipse est plus excentrique. Les mêmes conclusions s’appliquent visiblement aux quantités Eg et E2.

11. Ce résultat conduit à rechercher pour quelles positions du point r, les quantités E2 et E2 sont moindres que

Il faut d’abord que u soit un angle aigu, à cause de la valeur de E, . La relation

cos2 — <i~

est satisfaite toutes les fois que l’angle f est obtus.

Si, au foyer de l’ellipse d’où parlent les rayons vecteurs, on mène une perpendiculaire au grand axe, elle rencontre l’ellipse en un point dont la distance au foyer est a{i — e2). L’arc d’ellipse compris entre ce point et le sommet du petit axe est le lieu des points considérés.

12. Dans le cas où l’on emploie les formules des nos 6 et 7, il est intéressant de rechercher encore quels doivent être les points de séparation pour que la somme £2 + s'2 soit minimum. Comme

r, -t- r, — 2 a ( 1 — e) 4 ae

r, et r2 étant indépendants l’un de l’autre, la somme considérée sera minimum quand on aura

r, = r2 = a \/ 1 — e1— a cos^.

Ce résultat ne différant de celui du n° 10 que par la situation du point r2, la plupart des calculs indiqués à cette occasion s’appliquent ici; on trouve

. , , . , «2 , fl

sin2 — = cos2— = sm2— = cos2 — 5

de sorte que

e2 — e'2 et e2 4- s'2 = 2 sin2—1 = 1 — lang — •

Les points de division qui correspondent au minimum de la somme £2 -+- s'2 sont donc les mêmes que dans le cas du partage de l’ellipse en. quatre parties, et les valeurs minima de c2 -h e'2 et de E2 + E^ sont

B. BAILLAUI) .

égales. Il ne faudrait pas en conclure que l’on ne gagne rien à employer les formules du n° 8. Celles-ci ne diffèrent de celles des nos 6 et 7 que par un changement d’argument qui ne modifie vraiment pas les formules et par la substitution

de sorte que, dans le cas du minimum, le module E2 des formules du n° 8 est réellement la moitié de celui des formules des nÜS 6 et 7.

13. 1! peut être nécessaire d’augmenter beaucoup, dans une portion peu étendue de l’orbite, la convergence des développements. On y parvient aisément en ne représentant que cette partie de l’ellipse. Soient r3 et /•, les rayons vecteurs de deux points situés d’un même côté de l’axe. Supposons, pour fixer les idées, que le point rt soit dans la première moitié de l’ellipse, et le point r3 entre le point i\ et le périhélie.

Les formules du n° 8 permettent de représenter l’arc compris entre le périhélie et le point r{ au moyen d’une variable y variant de zéro

à é- Si l’on veut ne représenter que l’arc r3r{, il suffit d’exclure les

points voisins du périhélie, et, pour représenter l’arc compris entre le périhélie et r ,, on exclura les points compris entrer, et r3. On est ainsi conduit à poser

sinj = A sin z, cos/ = Icosii,

avec la relation

h et l étant les sinus et cosinus de l’anomalie y relative au point /;3.

En faisant varier z de zéro à on représentera l’arc compris entre

le périhélie et r3, et, en faisant varier u de zéro à on représentera

l’arc r3r,. Les termes périodiques de r, rcos/, ... seront multipliés par des puissances de / ou de h ; si l’arc r3r, est suffisamment petit, / sera très-petit, de sorte qu’on aura notablement augmenté la convergence.

On trouvera dans le Mémoire cité de Hansen les formules relatives à ces anomalies a, que Hansen nomme anomalies intermédiaires. Nous remarquerons seulement qu’elles donnent le moyen de partager l’el-

lipse en autant de parties qu’on voudra et d’augmenter en quelque sorte indéfiniment la convergence des développements en séries.

14. La théorie exposée dans les paragraphes précédents est entièrement conforme aux idées de Hansen. L’introduction des fonctions elliptiques permet d’augmenter encore la convergence des développements.

Supposons qu’on ail partagé l’orbite de la comète en deux parties, et que les points de division soient symétriques par rapport au grand axe. L’anomalie partielle relative a la partie inférieure est alors définie par l’équation

sin - = nr s sin#,

où

£ = sin — ?

et l’on a

r — a ( i — e ) 4- 2 ae e2 sin2 #, r cos f = a(i — e) — 2«s2 sin2#,

r sin f — iaz\J i — e2 sin# \Ji — £2 sin2#,

, (i — e 4- 2e£2sin2#) 2£ cos# ,

ndt — — dx,

s! i — £2sin2#

et les formules relatives à la partie supérieure sont

où

et

cos — — d sin#,

= i — e 4- 2ê£'! sin 2#,

cos f = — i 4- 2e'2 sin2#,

sin/ = 2e' sin# ^ i — e'2 sin2#,

, r2 2e'cos#

ndt — — - — - - ■

a2\/ 1 — e2 \J i — e'2 sin2#

dx.

l8 B. BAILLAUD.