B. BAILLAIT

et l’on obtiendra successivement les quatre régionsen faisant varier y de zéro à 90 degrés, de 90 à 180 degrés, de i3o à 270 degrés, de 270 à 060 degrés.

Nous désignerons par E , , E2< E3, E, les valeurs de z ou de z dans ces quatre régions, par 4>(, <î>2 , <I>3, O., celles de y et de 9'. Les formules sont alors les suivantes :

Première région :

. , . . Jr — ai 1 — e) . u, .11 .

= Ei= \ =: sin , sin - = E, sm*r,

y 2 ae 2 2

r — a{\ — e + -f eEJ) — aeYL\ cos 2/ -f-jaeE1 2 * cos4/,

r cos f = a[i — e — f E2) + a E? cos 2/ — ~a EJ cos 4 /,

/■sin/ = aE, \/i — e* (1 — cos 2/) \J 1 — E2 sin'/,

, r 2E1 sin 2r n dl— - J

Deuxième région ;

a sj 1 — EJ sin4/

dy.

1 — e) — - = cos — ■> cos - = E2sm2r,

1er,

1 — e -h |eEj — eE2 cos2/ -4- -j-eE2 cos 4/,

cos/=:fEJ2 — 1 — E, co s 2/ +|E2cos4/, sin f — E,(i — cos 2/) \J 1 — E2 sin4/,

ndl = —

/■2 2E, sin2r ,

--- — - — dy.

«2y/i — e2 yi — E2sin4/

Troisième région :

cos — j cos - =— E3sin’K,

= 1 — e + f E2 — eE3 COS2/ -f- jeE2 cos4/,

cos/= jE2 — 1 — E2cos2/4-jE2cos4/, sin/= E3(cos2/ — 1) ^1 — E2sin4/,

dt =

r2 2E3sin2/

a}\J\ — e2) 1 — E2 sin4/

dy.

Quatrième région :

r2 — fl i — r) . u j . u

— = sin — 5 sin - = E4sin2r,

2 lie 2 2

r = a[ \ — e 4-{eEJ) — ne EJ cos2/ 4- \ae EJ cos4/> rcosf = a( i — e —{EJ) 4- «EJcos2/ — {«EJ cos4/.

r si n/ = «E, ^ i — e2 (cos 2/ — i ) 1 — EJ sin4/, r 2E4 sin2r

ndt =

a \j \ — E4 sin1/

dy.

9. Dans les valeurs de r, rcos/, r sin/, ndt données dans les nos 6 et 7, les termes périodiques sont multipliés par s2 et s'2. Il est manifeste que, si ces nombres s2 et s'2 sont très-petits, les développements des

quantités rsin/, ndt , en séries procédant suivant les multiples

de x, convergeront rapidement. D’autre part, les valeurs de s 2 et s'2 données par les formules (5) et (5 bis ) montrent clairement que les quantités E2, E2,... sont moindres que les quantités £2, s'2, de sorte que les formules du n° 8 devront être employées quand celles des nos 6 et 7 ne conduiront pas à des développements assez convergents.

10. Il est intéressant d’examiner comment varient les quantités E2, E2 quand le point r{ occupe sur l’ellipse toutes les positions possibles. On reconnaît de suite qu’à mesure que ce point s’éloigne du périhélie E, augmente et E2 diminue. Il est donc impossible de faire décroître ces deux quantités en même temps; il peut être utile de rechercher le minimum de la somme E2 4- E2.

Si l’on pose

e = sin41,

on a les formules bien connues

d’où l’on lire