IV

74 NIEWENGLOWSKI.

On peut exprimer les coordonnées ^, >?. Ç en fonction de la variable &>; il suffit pour cela de chercher X, Y, Z. Or on a

Mais

/ rfu y . c

par suite

rfZ=-' ''^

En prenant m pour variable indépendante, on trouve immédiatement

dm

ou, en désignant par a une des racines cubiques imaginaires de Tunilé.

On a

J ^m[i — am] [i — a'^m]

par conséquent,

On a encore

I — moL'

I — ni

et, par suite,

Y ., r dm

/II) (I — am)

La queslion est donc entiëremenl résolue, car on a, pour S, yi, Ç,

J \//w[i — a/ii)(i — a-zn) J ^m'[\

dm!

— am')[i-'a^m')

J \/m(i — #n)(i — a-/w) J \ni'[i — m') (i — am'

7} = ta I r ■ 4- L «2 I -

J ^m[i ~ /w) (i — am) J vm'{i — m') (i — a^m'

4i. A la fin de son Mémoire, Biemann étudie la surface niinima engendrée par un cercle mobile dont le plan reste toujours parallèle a un plan donné. J*ai repris cette queslion et j'indiquerai seulement les résultats auxquels je suis parvenu, en suivant la marche indiquée par M. 0. Bonnet.

Ou trouve d'abord que le centre du cercle générateur doit décrire une courbe plane; en prenant le plan do cette courbe pour plan desÇ)?, on a, pour déterminer les coordonnées d'un point de la surface, les équations

y, = A^(Ç)sin/, H=||-^.

L'équation de la surface est la suivante :

a et h étant deux cpnstantes. (Les notations sont celles de la Théorie des fonctions elliptiques ^ de MM. Briot et Bouquet, 2* éd.) En employant les variables^, j et en posant

on trouve

y — i r smxjdxj i ( " siny< dx\

2 \/2 J ^C-h ai sinxi ^^^J \/C — ai sin/i

yj = — n (VC + ai sin^Ti -h ^C — aisin/J.

En posant

s\ïix^=z rj m = i et sinri= i->