IV. ~ Surface minima passant par les quatre côtés
d'un quadrilatère gauche.
43. Le contour sphérique est un quadrilatère dont les angles sont «TT, /Stt, 771, Sn. En supposant que les sommets correspondent aux valeurs a, ft, c, d de la variable r, on aura, d'après la théorie générale,
dV dt où
Pour appliquer la méthode exposée au n° 34, il suiFit de faire (p[t) = i etx(^) = A(/); on trouve alors que l'équation du second ordre en k est la suivante :
Considérons, avec Riemann, le cas particulier où les côtés du quadrilatère gauche sont quatre arêtes d'un tétraèdre régulier; le quadrila-
70 NIEWENGLOWSKl.
tère sphérique correspondant est alors régulier et ses angles sont
égaux à 2 TT, de sorle qu'on doit faire a = |3 = 7 — (?=5- Mais cette
hypothèse ne simplifie pas beaucoup l'équation précédente^ et, dans ce cas particulier, Riemann arrive à la solution par une autre voie.
Plaçons le pôle |x — o au centre du quadrilatère sphérique et faisons passer le méridien origine par le milieu de Tun des côtés; on peut calculer la valeur de jui en chacun des quatre sommets. D'abord les
arguments sont =t ^ et ±: -^> et les modules sont égaux; il suffit donc
de considérer un de ces sommets, par exemple celui dont l'argument
est égal à 7* Mais l'arc qui va de l'origine au sommet est un côté d'un
triangle rectangle isoscèle dont les angles à la base sont égaux à t; donc, en désignant par c la longueur de cet arc, on a
lang ^ == y^lang i^~— -45*»j lang^^i-^ + 45» j
Les valeurs de fi aux quatre sommets sont donc
/:x — lang-c * et |jLr=iang-e * .
Les carrés de ces valeurs sont donnés par les formules
/x2— lang2-e », /:x2 = lang» - e "*" , qui ne fournissent que deux valeurs distinctes :
Si l'on calcule les inverses de ces valeurs, on trouve
fxô"---— (2-1- v^)/,
Ff
de sorte que
Remarquons maintenant que, quand on tourne autour du point /j.,,
Targument de i^ — i^-i éprouve une variation égalea^w; il en est de
même de l'argument de ji- — fi-s quand on tourne autour de /x,. Pour cette raison, Riemann pose
et il en résultera que pour fx=zi=fjL, on aura t^==u pour ii=±fi^ on aura /* = — i, de sorte que les valeurs i, — i, i, — i de ^ correspondent aux sommets.
Posons
on a
d'où
et, par suite»
Mais
donc
>--iV3
X = 1V3 ( I -h am 4- am^ + ...),
Or le premier membre peut s'écrire
s étant un infiniment petit, de sorte que, dans le voisinage jui, on a
73 NIEWENGLOWSKI.
A étant une constante et m un infiniment petit. Supposons que t=z\ corresponde à fx^; alors on peut écrire
et, par suite, l'argument de/ — i éprouve une variation égale à ±:7r si Ton tourne autour de [x^.
On ferait un raisonnement analogue pour les autres sommets du quadrilatère. Pour les sommets correspondant à / — zte, on posera
0) ^ zzz n.
et Ton partira de
d'où
et, comme ii\'^\ii^ = — 2i\jZy la conclusion sera encore la même.
H résulte de là que l'on aura, pour l'expression de -jj en fonction
de /,
rfU C
dt "" vV^-Ol^^-f-i)'
Il suffit, pour s'en assurer, de se rappeler le raisonnement fait au n°30.
/ rfU \ 2
On peut de là tirer l'expression de ( t-t — j . On a, en effet,
.û^logi^A/ "Kdl) Wlog/xj Mais
rfX
dlogfA
donc
Op Téquation
donne
on a ensuite
d'où
puis
(i — «V (i-wv (i — wV
En substituant et réduisant, il vient
Or
— lîû»'
de sorte que
Or, de fjL* -t- fx""* = aX on tire
4X^ -h 12 = jui* -4- p-* -4- 14,
et, par suite,
' dV V C
^fji* H- a-* -h i4
formule donnée par Riemann.
