a? = \/'aw.a:*+ a «--«[ i -I \, ^ etc

y la* a8o« /

Si Ton s,*en sert pour calculer le rapport

i.i.3...i8.i.i.3...ii X.3.3.. .Sa.i.a.S. ..8 '

qui exprime la probabilité, au jeu de piquet, que le joueur ea premier relèvera les quatre as, on trouvera d'abord, en réduisant; à Tunité la série comprise entre parenthèses, o,oi38o7 : l'erreur

est seulement -— ; de là vraie valeur. £n conservant le terme 9

335 xix

on trouvera, jusqu'au chiffre des dix-millionièmes inclusivement,

l'expression exacte 0,01 37653.

série de n**' i , a , 3, . . . . lo, ainsi qu'on le voit sur la figure. On lance au hasard une bille qui va frapper la bande en un point ; et si ce point tombe , par exemple, dans l'espace numéroté 7, on dira qu'on a amené le point 7. La bille étant lancée. de cette manière deux fois de suite , la différence des points amenés pourra varier de o à 9 inclusivement : on demande la probabilité d'obtenir une différence qui ne soit pas moindre que 3. Le nombre des chances ou des combinaisons de points qui peuvent se présenter, sans qu'on ait (par hypothèse) aucune raison de supposer que Tune se présentera plutôt que l'autre, est le carré de 10 ou 100 : sur quoi il y en a 44 ^}^^ donnent une différence de points moindre que 3. En conséquence la probabilité demandée est exprimée par la fraction 0,56.

Supposons la même bande À B divisée en cent parties par des traits menés à la distance d'un centimètre : chacun des deux points amenés pourra varier de i à 100, et la probabilité que leur différence ne sera pas inférieure à 3o, deviendra 0,497*

Si la bande était divisée en mille parties par des traits menés à la distance d'un millimètre, chacun des deux points amenés pourrait varier de 1 à 1000, et la probabilité que leur différence ne serait pas moindre que 3oo, deviendrait 0,4907.

Eu suivant toujours la même progression, les valeurs des probabilités deviendraient successivement

0,49007; 0,490007; etc.;

et Ton voit que ces valeurs tendraient sans cesse à se rapprocher de la fraction 0,49, dont elles ne diffère-

90 CHAPlTRi: II.

raient bientôt que par une fraction d'une extrême petitesse.

Posons maintenant la question d'une autre manière^ et y sans imaginer de traits de division sur la bande, supposons qu'à chaque fois on mesure la distance de Textrétnité A au point oh. la bille vient la frapper, et qu'on demande la probabilité que la différence des deut longueurs ainsi obtenues ne tombera pas au-dessous des trois dixièmes de la longueur de la bande.

11 est clair que, dans cette ùianière de poser la question, le nombre des points à combiner, et à plus forte raison celui des combinaisons ou des chances est infini : car diaque jet de la bille peut donner, pour la distance du point de choc à Textrëmité de la bande, une infinité de yalem^s comprises entre zéro et un mètre. Mais il est clair aussi qu'en divisant la bande successivement en dix, en cent, en vUsàUlf en dix mille parties numérotées, nous nous somnNM^ plus en plus rapprochés du cas que nous envisageons acCUèltement ; puisque cela revient à négliger, dans la mesure de chacune des distances , d'abord les centimètres, puis les millimètres, les dixièmes et enfin les centièmes de millimètre.

Or, on fait connaître en mathématiques des procédés généraux de calcul , à l'aide desquels on détermine les limites dont certains rapports s'approchent de plus en plus, lorsqu'on fait varier les termes de ces rapports par degrés de plus en plus petits ('); et dans la que^ion

(') Le rapprochemeDt des principes mathématiques du calcul des probabilités, et de-ceux du calcul infinitésimal , met en relief des analogies qull est bon d'indiquer au lecteur instruit dans Fan et dans l'autre. La probaMIité mathématique est un rapport

D£S GHAirC£S. 31

présente, l'application de ces règles donne, pour la probabilité cherchée, précisément la fraction 0,49*

15. C'est ainsi que le calcul de la probabilité mathématique, qui ne se présentait d'abord que ^comme Une branche de la syntactique ou de la théorie des combinaisons, devient plus vaste que la syntactique même : en ce sens qu'il s'applique à des cas ou il n^y aurait lieu, ni de former les combinaisons une à une, ni d'en calculer le nombre, parce que ce nombre est illimité.

La transformation dont il s'agit est d'un intérêt spécial dans l'ordre des faits naturels, où le nombre des combinaisons ou des chances est pour l'ordinaire infini , à cause que dans la nature presque tout varie avec continuité et non par sauts. Natura nonjacit saltus, disaient les anciens scolastiques : adage qu'il ne faut pas prendre à la lettre , mais qui est vrai en ce sens que, dans les phénomènes naturels, la continuité est la règle, ie sant ou la discontinuité l'exception; tandis que l'in-

dont les deux termes peuvent croître jusqu'à l'infini , pendant que lerapport converge vers une limite finie et assignable : la fluxion, 1& foncciûii dérivée ou le coefficient difTérentiel ( car tous ces termes sont équivalents) est un rapport dont les deux termes décroissent iadéfiniment , tandis que le rapport converge vers une iimite finie et assignable* Lorsque l'on considère directement, dans le raisonnement et dans les calculs , la probabilité mathématique au lieu des combinaisons, c'est-à-dire le rapport au lieu des deux termes du rapport, on fait la même chose que lorsqu'on opère directement, comme dans les théories de Newton ou de Lagrange, sur les fluxions ou les dérivées, au lieu d'opérer sur les quandtés infinitésimales, comme daus la théorie de Leibnitz. On in* troduit dans l'un et l'autre cas un signe auxiliaire; on substitue au procédé direct , pris dans la nature des choses, un procédé artificiel, accommodé à notre organisation intellectuelle.

verse a lieu pour les combinaisons qui sont l'ouvrage de l'homme.

Aussi la plus belle découverte qu'on ait faite dans les sciences exactes a été de trouver des méthodes pour passer des cas de discontinuité aux cas de continuité. C'est ainsi que les géomètres passent de la considération d'un polygone dont les côtés varient brusquement d'inclinaison, à celle d'une cçurbe : et, pour ne pas quitter le sujet qui nous occupe, c'est ainsi qu'après s'être formé les idées de chances et de probabilités , d'après des jeux qui n'offrent qu'un nombre limité de combinaisons , ils étendent ces idées en les appliquant aux cas de la nature où les rapports et les combinaisons peuvent varier à l'infini.

1 6. Par exemple, lorsqu'un ménage donne une somme pour assurer une pension au survivant des époux, la question qui se présente à l'assureur est celle de savoir quelle probabilité il y a que la différence des temps ^ue chacun des époux doit vivre, à partir de l'époque de l'assurance, n'excédera pas un temps déterminé : la durée de la vie de chaque époux pouvant avoir une infinité de valeurs différentes. Le problème a donc de la ressemblance avec celui auquel nous avons donné plus haut des formes purement géométriques , quoiqu'il en diffère d'ailleurs sous un rapport essentiel. En effet , il nous a été loisible d'admettre qu'à chaque jet de la bille, la distance de l'extrémité de la bande au point choqué comportait toutes lès valeurs de zéro à un mètre, sans qu'il y eût de motifs de supposer qu'une de ces valeurs s'offrirait de préférence à une autre : au lieu qu'il n'est pas permis de mettre ainsi sur la même ligne, et de regarder comme indifféremment susceptibles de se réali-

ser, toutes les hypothèses sur la durée de la vie de l'un et de l'autre des époux. Chacune de ces hypothèses a déjà sa probabilité propre, c'est-à-dire qu'il y a pour chacune d'elles un rapport entre les chances ou combinaisons qui peuvent en amener la réalisation , et le nombre total des chances. Ce rapport varie d'une hypothèse à l'autre; et il faudrait préalablement connaître la loi de ses variations^ pour résoudre ensuite par le calcul le problème de probabilité qui intéresse l'assu-

reur.

Le problème géométrique du n** i4 peut être modifié de manière à offrir, sous ce rapport, plus d'analogie avec celui de l'assurance. Supposons que, sur une aire plane et circulaire, d'un mètre de rayon, on projette une bille au hasard, deux fois de suite : la distance du point choqué à la circonférence de l'aire pourra prendre toutes les valeurs possibles entre zéro et un mètre, mais ces valeurs correspondent à autant d'hypothèses inégalement probables. Ceci résulte de ce que la bille est censée frapper au hasard un point quelconque du plan circulaire, en sorte que , si l'on considère deux portions de ce plaQ ayant même superficie, il n'y a pas de raison pour que la bille tombe sur l'une de ces portions plutôt que sur l'autre. Soit en effet CA {fig. a) le rayon du plan circulaire, et du point C comme centre, avec des rayons CB, CD, luQ de 8 décimètres, l'autre de 4> traçons deux cercles; par les points b et d^ pris respectivement à la distance dun millimètre des points B et D, faisons passer aussi deux cercles concentriques : la surface de la couronne comprise entre les cercles de rayons C B, C ^ est sensiblement double de la surface de la couronne limitée par les cercles de rayons C D, C ^. Les probabilités que

le point de contact de la bille et du plan tombera 4wk le premier et dans le second espace , sont entre elléî dans le rapport des aires des deux couronnes , ou sensiblement dans le rapport de 2 à i . Rigoureusement et à la limite 9 la probabilité de l'hypothèse suivant laquelle le point de contact se trouverait à une distance de 8 décimètres du centre , ou de 2 décimètres de la circonférence , est double de la probabilité de l'hypothèse selon laquelle ce point se trouverait à une distance de 4 décimètres du centre , ou de 6 décimètres de la cir-f conférence. En général, la distance du point de contact à la circonférence du plan est une grandeur inconnue x, qui peut recevoir toutes les valeurs de zéro à i"*, mais de telle sorte que la probabilité de la valeur x varie en raison directe de la grandeur i — ^. Cette probabilité diminue donc à mesure que x augmente, à peu près comme dans la question d'assurance, la probabilité de la durée de vie diminue à mesure qu'on suppose cette durée plus grande. Mais, attendu la multitude de combi^ naisons et de chances de natures diverses qui influent sur la durée de la vie , la loi de cette probabilité ne peut être assignée théoriquement comme celles qui se trouvent implicitement contenues dans un énoncé géométrique. Elle doit être déterminée par l'expérience, ainsi que nous l'expliquerons plus tard.

17. Citons encore comme exemple de conditions géométriques très-simples le jeu àxx franc-carreau y déjà indiqué par Buffon dans son Essai (T arithmétique morale. Sur un sol pavé de carreaux hexagones on projette au hasard un écu, et un joueur parie pour franccarreau , c'est-à-dire pour que l'écu après sa chute repose tout entier sur un seul carreau : l'adversaire parie qu'il

tombera sur un joint. Si l'on inscrit dans l'un des hexagones ABCDEF (y^. 3) un autre hexagone régulier et concentrique ab cd ef^ qui ait ses côtés respectivement parallèles à ceux du premier, les|distances des côtés parallèles étant égales au demi-diamètre de l'écu , il est clair que le premier joueur gagnera lorsque le centre de ^éo^ tombera dans l'intérieur du polygone inscrit abc dèf^ et qu'il perdra quand le centre de l'écu tombera entre les contours des deux polygones. D'ailleurs , comme tous les compartiments hexagonaux sont supposés égaux entre eux y il suffit d'en considérer un seul; et dès lors on ▼oit que la probabilité du gain du premier joueur est mesurée par le rapport de l'aire de l'hexagone inscrit à , celle de l'hexagone circonscrit.

18. Nous avons défini la probabilité mathématique , le rapport du nombre des chances favorables à un événement , au nombre total des chances : cette définition suppose que les chances peuvent être énumérées et qu'elles constituent autant d'unités discrètes. Pour modifia* cette définition de manià^e à la rendre applicable aux cas où les chances sont en nombre infini, et où le passage d'une chance à l'autre s'opère sans discontinuité, il faut substituer aux nombres des grandeurs continues. Or, entre toutes les grandeurs continues, celle dont l'idée tombe le plus immédiatement sous nos sens est rétendue. Nous pourrons donc définir aussi la probabilité mathématique : le rapport de V étendue des chances favorables à un événement , a V étendue totale des chances; mais ce mot d'étendue ne sera employé en général que par assimilation , quoiqu'il puisse être pris aussi dans le sens propre, lorsque la probabilité sera déterminée immédiatement par un rapport entre des gran-

deurs géométriques, comme dans les exemples rapportés plus haut.

19. Après avoir passé, suivant la marche naturelle à l'esprit humain, du cas oîi les chances peuvent être énumérées comme autant d'hypothèses distinctes, au cas où les chances se fondent en un tout continu , les géomètres font souvent l'inverse : c'est-à-dire que, lorsque rénumération des chances, quoique théoriquement possible, mènerait à des calculs impraticables, ils introduisent une continuité fictive dans les données de la question; et c'est là une des méthodes d'approximation les plus fécondes auxquelles ils aient recours pour l'évaluation des rapports de grands nombres [i3]. Au fond cet artifice est le même que celui qui se pratique tous jours dans les circonstances les plus vulgaires. C'est ainsi qu'au lieu de compter des graines on les mesure , comme si ces graines formaient une masse continue : le rapport des volumes, si les graines sont de même espèce, ne devant pas différer sensiblement du rapport entre les nombres de graines comprises dans les volumes mesurés.

20. Nous donnerons ici quelques principes généraux, d'une application fréquente, qui dérivent immédiatement de la notion de la probabilité mathématique. Pour plus de simplicité dans l'exposition, nous supposerons que les chances sont en nombre fini , et qu'ainsi les probabilités sont exprimées par des fractions commensurables : on reconnaîtra sans peine que les mêmes principes sont applicables aux probabilités mesurées par des fractions incommensurables, et considérées comme des grandeurs continues.

(I). « La probabilité d'un événement qui peut arriver

DES CHAJ^CES. 37

dans diverses hypothèses, dont les probabilités sont inégales, est la somme des probabilités de chaque hypothèse favorable à l'événement. »

Ainsi, pour fixer les idées par l'exemple le plus simple, admettons que dans une urne qui contient N boules, il y en ait n blanches, n' rouges, n!' jaunes, les autres étant de couleurs différentes quelconques, et que l'événement aléatoire, le gain d'un joueur, soit subordonné à l'extraction d'une boule de l'une des trois couleurs précitées : le joueur aura évidemment pour probabilité de gain ,

w + 'i' + iî' « n n!'

21. On pourrait demander, non pas la probabilité absolue que le joueur gagnera , mais la probabilité re^ latwe qu'il gagnera par suite de l'extraction d'une boule blanche, plutôt que par suite de l'extraction d'une boule rouge ou jaune. Si une personne proposait ce pari et qu'une autre le tînt, elles regarderaient comme nuls les coups qui feraient perdre le premier joueur. Cela revient à faire abstraction des boules ou des chances défavorables à ce joueur, et alors la probabilité relative cherchée est

La probabilité absolue d'amener une boule blanche, et celle d'amener une boule rouge ou jaune , sont respectivement

donc : . •

(II). « La probabilité relative d'un - événement est le

quotient qu'on obtient en divisant la probabilité absolue de cet événement, par la somme des probabilités abso* lues des événements que l'on compare. »

22. Tout à l'heure une personne pariait que, si le premier joueur gagnait, il gagnerait par le fait de l'ex*' traction d'une boule blanche : maintenant on peut faire le pari composé, que le premier joueur gagnera, et qu'il gagnera par suite de l'extraction d'une boule blanche. La probabilité en faveur de ce pari étant

n n-\^ n +rî' n

on peut en conclure cette règle :

(III). « La probabilité absolue d'un événement composé de deux autres, dont le second ne peut arriver qu'autant que le premier a eu lieu , est le produit qu'on obtient en multipliant la probabilité absolue du premier événement par la probabilité que, le premier arrivant , le second arrivera aussi, ou par la probabilité relative du second événement. »

L'emploi de ce principe facilite souvent le calcul des probabilités , comme on en peut juger par cet exemple très-simple, emprunté à M. Lacroix.

Supposons qu'on ait assemblé au hasard dans un paquet les 1 3 cartes d'une même couleur, qui se trouvent dans un jeu complet de S% cartes, et qu'on demande la probabilité que les deux premières cartes soient un as et un deux. La probabilité que l'as se trouve à la première

place est — , puisque cette carte pourrait occuper l'une

quelconque des i3 placer du paquet; l'as ôté, il reste douze cartes, et par la même raison la probabilité que

le deux se trouvera la première des douze cartes restantes est — ; la probabilité du concours de ces deux

événements, dont le second est subordonné au premier, a donc pour valeur