Non-seulement les chances ou les combinaisons

(') Si ron devait calculer le logarithme d'un produit

par raddition des logarithmes de ses facteurs, il faudrait, pour peu que le nombre x fût considérable, et qu'on tînt à une certaine précision, employer des logarithmes calculés avec beaucoup plus de décimales que n'en doBoent les tables ordinaires; e| l'addition deviendrait une opération Ixès-laborieuse. On en est heureusement dispensé au moyen d'une formule très- remarquable, due à Stirling, et qui rentre dans une autre formule beaucoup plus générale, qu'Euler a donnée pour la conversion des sommes en intégrales et des intégrales en sommes. La formule de Stirling est

k)g(i .1.3.. .d;)=log\/aiç -4- f JîH — 1 log X

— jc+-i .-- — --4 -—-—etc. (0

Dans cette formule la caractéristique log désigne des logarithmes népériens; pour qu'elle s'appliquât à des logarithmes vulgaires, il faudrait nuiltiplief par le module des tables 0,434^945. • • les termes écirit» en sooonde ligne , où il n'entre ^s de logarithmes.

DES CHÀKCXS. 37

se multiplient prûdigietisemeiil: arec le i^cnsbre des él^ menu combinés; mais les choses mêmes à combiner,

Ceu {kar le teeours i^ cette formola qo'oet été ePiis(ruUes les tables ipdicpiées dans la note sur le n^ lo^

La formule de Stirling peut être considérée comme le type de toutes celles qui servent dans les applications numériques de la théorie des probabilités. Toutes ont cette propriété singulière et caractéristique d'engendrer des séries dont les termes successifs décroissent d'abord très-rapidement ^ dès que le nombre entier qui y figure comme variable est seulement de Tordre des dizaines, et finissent toujours par prendre, quoique très-lentemenit, des valeurs croissantes; ce qui suffit pour ranger les séries dont il s*agit dans la classe des séries divergentes. Des séries de cette classe peuvent néanmoins être employées avec sûreté, pour le calcul numérique des fonctions dont elles sont le développement, si Ton est à même d'assigner des limites supérieures à l'erreur commise quand on les arrête à un terme de rang quelconque, et al ces valeurs limites sont de l'ordre des quantités qu'on est «uiorisé à négliger. On a effectivement assigné de telles limites pour la uérie de Stirling; msus en général ces valeurs limites surpassent beaucoup trop Terreur commise; elles ne donnent pas une juste idée de l'approximation obtenue, et semblent exiger, ou qu'on prenne dans la série plus de termes qu'il n'en faut en réalité, ou qu'on attribue à x des valeurs plus grandes que celles qui suffisent effectivement. Cette grave imperfection entache plus ou moins toutes les formules analogues employées dans la théorie des probabilités. On peut dire qu'elles tiennent « plus qu'elles ne promettent, en ce sens qu'elles donnent une approximation suffisante dans des cas où Ton n'a pas pu jusqu'ici démontrer, comme Texigerait la rigueur mathématique, que Tapfmwnation suffit.

Prenons a: = 10 :1e produit i.2.3...io est le nombre 36^8 8oo, et son logarithme vulgaire est 6,559 7630. . . Si Ton

arrête la série (i) au terme , en négligeant les termes affectés

et à plus forte raison les combinaisons , peuvent être en nombre infini et non assignable : ce qui n'empêche pas que y si on les distribue en deux catégories , les nombres de combinais&ns de chaque catégorie, en devenant infinis et non assignables^ conservent entre eux un rapport fini et assignable. Comme il s'agit- ici d'une notion fondamentale, nous voudrions l'ëclaircir par un exemple, de manière à la faire bien saisir par tous nos lecteurs.

. Supposons que A B {^fig. i ) soit une bande de billard, à laquelle nous donnerons, pour fixer les idées, la longueur d'un mètre. Concevons-la d'abord divisée en dix parties égales par des traits menés «i la distance d'un décimètre , et distinguons ces parties par une

de plus hautes puissances de - , on trouve pour le logarithme

cherché 6,559 7^4^ "- l'erreur surpasse à peine un millioDième, et elle est sans influence sur les cinq chiffres significatifs du nombre entier donné pluç haut.

On tire de Téquation (i) cette autre formule