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i.2.3...ii.i2.i3 12. i3 i56

comme on l'a trouvé précédemment, à l'aide d'un principe qui dispensait de connaître la formule des permutations. '

23. Nous venons de considérer un événement composé , résultant du concours de deux autres dont le second est subordonné au premier; mais il arrive aussi fréquemment qu'un événement composé résulte du concours de deux ou de plusieurs événements, indépendants les uns des autres, et qui ont chacun leurs probabilités propres, d'où il faut déduire la probabilité de l'événement composé. Admettons que deux urnes renferment , Tune m boules blanches et rn! boules noires, l'autre n boules blanches et rî boules noires : on demande la probabilité d'extraire deux boules blanches , une de chacune des deux urnes. Il y a évidemment autant de

combinaisons ou de chances égales que d'unités dans le produit qu'on obtient en multipliant le nombre total des boules de la première urne par le nombre total des boules de la seconde [2] : il y autant de combinaisons ou de chances favorables à l'événement composé dont il s'agit, que d'unités dans le produit qu'on obtient en multipliant le nombre des boules blanches de la première urne par le nombre des boules blanches de la seconde. Donc la probabilité cherchée est

mn m n

{m + m') (w -H /i') rn + m'^ n+n!^

et en généralisant ce raisonnement on pourra énoncer la règle suivante :

(IV). «Le produit des probabilités de plusieurs événements , indépendants les uns des autres , est la probabilité de l'événement composé, résultant du concours de ces événements;»

Ou plus brièvement :

« La probabilité composée est le produit des probabilités simples.»

Si /? et q désignent les probabilités de deux événements contradictoires A et B, c'est-à-dire de deux événements dont nécessairement l'un doit se réaliser; si p'^ q' désignent les probabilités de deux autres événements contradictoires A', B', et ainsi de suite; de sorte qu'on ait

I z=/) 4- y =/)' + ç' = etc.,

le produit

se développera en une suite de termes telsquep/^'gr". . ., qui correspondront chacun à un événement composé ^

D£S GHAIVGËS. 41

tel que A A' B". . . ., résultant du concours des événements simples A, A', B'', etc.; et il y aura autant de termes semblables dans le développement du produit , et autant d'événements composés, que de combinaisons possibles dans .l'ensemble des épreuves aléatoires [7]. La somme de tous les termes de ces produits sera égale à l'unité, comme cela doit être, puisque l'un des événements composés, fournis par toutes les combinaisons possibles entre les événements simples, doit nécessairement arriver.

Si p^ q^ r désignent les probabilités de trois événements A, B, C, dont l'un doit nécessairement résulter de l'épreuve aléatoire , de sorte qu'on ait

le facteur binôme />-f- 5^, dans le produit indiqué ci-dessus, se trouvera remplacé par le facteur trinôme /?-|-çr-|-r, et ainsi de suite.

24. Voici encore un principe qui est un corollaire évident du précédent :

(V). « La probabilité absolue d'un événement qui a des probabilités différentes dans diverses hypothèses, est la somme âes probabilités composées qu'on obtient en multipliant la probabilité de l'événement, dans chaque hypothèse, par la probabilité de l'hypothèse correspondante. »

Ainsi , admettons qu'on ait deux urnes , l'une qui contienne m boules blanches et m! boules noires, l'autre qui contienne n boules blanches et ri boules noires : on demande la probabilité d'amener une boule blanche en tirant au hasard dans l'une ou dans l'autre de ces urnes. La probabilité de faire le tirage dans la première urne est

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-; celle d'en extraire ensuite une boule blanche est