Pareillement, la probabilité de faire le tirage
dans la seconde urne est -; celle d'en extraire une
bpule blanche est j : donc la probabilité d'amener
une boule blanche est en somme
1 m in
fà'm + m' ' 2*n + n^
et par la même raison il vient ^ pour la probabilité d'amener une boule noire ,
1 m in
La somme de ces quantités se réduit à l'unité, parce qu'en effet on doit nécessairement amener une boule blanche ou une boule noire.
On tomberait dans une grave erreur, si Ion prenait , pour la probabilité d'amener une boule blanche, le rapport du nombre total des boules blanches contenues dans les deux urnes, au nombre total des boules, sans égard à l'agencement des combinaisons, résultant de la répartition des boules dans deux urnes différentes. Supposons, par exemple, que la première urne renferme une boule blanche et deux boules noires, la seconde cinq blanches et trois noires : comme le nombre des boules blanches excède celui des boules noires , on pourrait oroire qu'il y a plus de chances d'amener une blanche qu'une noire, ou que la probabilité d'amener une
blanche est une fraction plus grande que - ; mais , par
DES GHANOBS. 43
la manière dont se fait le tirage, cette probabilité est ré* duite, d'après la formule précédente, à
II I 5 aî
fraction plus petite que - .
25. Le même problème de combinaisons ou de probabilités peut souvent être présenté sous des faces diverses, parmi lesquelles il convient de choisir celle qui conduit à la solution la plus élégante ou la plus simple. Prenons comme exemple un problème auquel donne lieu le tirage annuel pour le recrutement militaire. N est le nombre des jeunes gens inscrits sur la liste du canton, parmi lesquels il s'en trouve N' qui ont des motifs légaux d'exemption; c désigne le contingent cantonal : on demande la probabilité que le n"* n sera atteint par le sort, n étant un nombre plus grand que c et plus petit que c + ïT»
Pour résoudre ce problème, nous pouvons supposer (ju'on ûdus donne N — N boules blanches et N' boules noires, et un casier de N cases, numérotées depuis i jusqu'à N. Le nombre total des permutations qu'on obtient en faisant occuper successivement chaque case à
chaque boule , est 1.2.3 N. Tous les arrangements
<lans lesquels le nombre des boules noires contenues dans les n premières cases sera plus grand que n — c, ou égal à n — c, correspondront à des chances qui atteignent ie n* /^. Soit S le nombre de ces arrangements :
sera la probabilité cherchée, et la question est ramenée
à la solution du problème de permutation , qui a pour objet de déterminer le nombre S.
Mais l'on peut aussi imaginer une urne qui contiendrait N — N' boules blanches avec N' boules noires, et la probabilité cherchée sera la même que celle d'extraire de cette urne au moins n — c boules noires dans n tirages consécutifs , la boule extraite une fois n'étant pas remise dans l'urne. Ce mode de tirage, qui se présente dans beaucoup d'autres questions , n'a physiquement aucune ressemblance avec celui qui est usité pour le recrutement militaire; mais le problème, posé de la sorte, se résout facilement par le principe des probabilités composées , comme nous l'indiquerons dans le chapitre suivant.
26. Quelquefois même des considérations très-particulières, tirées des conditions physiques de la question, peuvent dispenser de toute énumération de chances et de tout calcul. Le jeu de passe-dix en offre un exemple : on jette trois dés sur une table, et un joueur parie contre l'adversaire que la somme des points amenés excédera dix. Parmi les 216 combinaisons possibles [6], il faudrait énumérer celles qui donnent un nombre plus grand que dix pour la somme des points amenés. On trouverait facilement des formules qui dispensent de faire cette énumération une à une , mais il est encore plus simple de profiter de la remarque suivante. Les points sont disposés sur les dés ordinaires, de manière que la somme des points sur deux faces opposées soit constamment septy l'as étant opposé au six , et ainsi de suite ; et quand même les fabricants de dés n'auraient pas adopté cet usage, on pourrait toujours, sans changer les conditions du sort , admettre qu'on emploie des dés
où les points sont ainsi arranges. Dans cette supposition, la somme des points amenés , et la somme des points qui se trouvent sur les faces opposées, par lesquelles les dés reposent sur la table , font ensemble le nombre 2 1 . Donc, à chaque combinaison qui fait gagner le joueur pariant pour passe-dix^ en correspond une autre qui le fait perdre : savoir celle qu'on obtiendrait eu retournant les trois dés, ou en faisant la lecture sur les faces inférieures au lieu de la faire sur les faces supérieures. Donc les deux joueurs ont chacun autant de chances en leur faveur que de chances contraires , et parient avec
des probabilités égales chacune à - .
DES LOIS DE LA PROBABILITÉ MATHlblATIQVE, DANS LA RÉPÉTITION DES ÉVÉNEMENTS.
27. La théorie mathématique des chances n'aurait guère qu'un attrait de spéculation, si elle se bornait à nous apprendre combien il y a de chances favorables ou contraires à un événement isolé, qui ne se reproduira plus , ou qui ne se reproduira que dans des circonstances très-rares : tandis qu'elle acquiert , comme la suite le montrera, une très-grande importance, même pour la pratique, lorsque les épreuves des mêmes hasards sont de nature à être répétées un grand nombre de fois dans des circonstances semblables.
On peut assimiler toutes les épreuves répétées des mêmes hasards à des tirages répétés dans une urne qui contiendrait des boules de diverses couleurs , et où l'on rejetterait après chaque tirage la boule extraite, afin que les chances restent les mêmes à cHkque tirage.
La solution de tous les problèmes qu'on peut se proposer au sujet des épreuves répétées, se trouve implicitement dans la règle déduite [2 3] du principe des probabilités composées. En supposant que les événements A', A", . . . soient autant de répétitions de l'événement A, les événements B', B", .... autant de répétitions de
DE lA RÉPlÉTITIOIf DES ÉTÉNEMENTS. 47
révénement B, on a
/>=/>' =/>" =:etc., q=:q'z=i y" =:eto,;
et si Ton désigne par m le nombre des épreuves, le produit
(p+q){p' + q'){p" + ^').-se changera dans la puissance m du binôme p-hq. Il viendra donc , par la formule du binôme de Newton,
Le terme général
que l'on peut [5] mettre encore sous la forme
exprime la probabilité que, dans m épreuves, les événements A et B arriveront respectivement /^ et m — nfois. La somme des termes du développement (m) , depuis le ^premier jusqu'au terme (n) inclusivement, exprime la probabilité que, dans m épreuves, Tévénement A n'arrivera pas moins de n fois, ou, ce qui revient au même, la probabilité que l'événement contradictoire B n'arrivera pas plus de m — n fois.
Si, par exemple, on demande la probabilité d'amener l'as au moins deux fois, dans quatre jets successifs d'un dé à jouer, on fera
et il viendra pour celte probabilité
fraction comprise entre - et - .
Supposons que l'on demande en combien d'épreuves on aurait la probabilité - d'amener au moins une fois l'événement A, ou, ce qui revient au même, la probabilité - d'amener constamment l'événement B : il faudra trouver la valeur de m qui convient à l'équa-
tion
et cela est facile par les tables de logarithmes. Si , par exemple, l'événement, A consistait dans l'arrivée d'un sonnez (de deux sioc) au jeu de trictrac où l'on jette deux dés à la fois , comme il n'y a qu'une combinaison sur 36 qui donne le sonnez [6], on ferait
et l'équation précédente donnerait
loga
'^—logSe — log35~ '*'^"*
Ainsi l'on parierait avec supériorité de chances, d'amener au moins une fois un sonnez en a 5 coups ^ et avec infériorité de chances , d'amener au moins une fois un sonnez en 24 coups. C'est l'unique manière d'interpréter en ce cas la valeur incommensurable trouvée
