DE LA. RÉPÉTITION DES ÉVÉNEMENTS

pour le nombre m qui, de sa nature, doit être entier ('). . 28. Chaque terme du développement {m) correspond à l'une des hypothèses possibles sur le rapport du nombre des événements A au nombre des événements B, le nombre total des épreuves étant m. La somme de tous les termes ou de toutes les probabilités correspondant à ces diverses hypothèses est égale à l'unité; et comme le nombre des termes ou des hypothèses est /w -|- i , on comprend bien que les valeurs absolues des divers termes doivent devenir de plus en plus petites à mesure que le nombre des épreuves devient plus grand. Mais, pendant que ces valeurs décroissent , elles conservent entre elles de certains rapports dont la loi est ce qu'il y a de plus important dans le sujet qui nous occupe.

Le terme {n) du développement est précédé par un autre qui a pour expression

in(m— i)(/n — 2)...(7^+2) +,.., 1.2.3... (m — n — i) ^ ^ '

en sorte que le rapport du terme {n) à celui qui vient immédiatement avant lui est exprimé par

(') Le problème relatif au jeu de trictrac , dont nous venons de faire mention , est célèbre comme ayant été l'occasion des premières recherches de Pascal , qui ont fondé le calcul des probabilités. La correspondance de ce grand homme nous apprend que la question lui avait été posée par le chevalier de Méré, Homme du monde, étranger aux mathématiques, dont le nom, grâce à cet heureux accident, appartient désormais à l'histoire sciences.

Selon que ce rapport est plus grand ou plus petit que Tunité, ou suivant qu'on a /^-[- i plus grand ou plus petit que /^(w-f- î ), la valeur du terme (n) est plus grande ou plus petite que celle du terme qui le précède.

Si le produit du nombre entier m-^i par la fraction/i était un nombre entier /r, il y aurait, dans la série des nombres de o à m, une valeur de n égale à A", et le terme {k) qui correspond à k événements A, /w — k événements By serait suivi d'un autre terme qui aurait la même valeur numérique. Dans le cas contraire, si l'on désigne par k le plus grand nombre entier contenu dans /?( w 4- i), le terme {k) sera plus grand que celui qui le précède et que celui qui le suit, et dès lors il sera le plus grand de tous les termes du développement.

Si le produit p m est un nombre entier, p m sera précisément le plus grand entier k contenu dan8/?(/7^-|- 1), m — k sera un autre nombre entier égal à ^ m ; et le plus grand terme du développement correspondra à la combinaison pour laquelle le rapport du nombre des événements A au nombre des événements B, est précisément le même que celui de la probabilité de l'événement A à la probabilité de l'événement B.

En tout cas, le plus grand nombre entier k contenu dans /^('w-f- ï) différera de moins d'une unité Ae pm\ et si l'on néglige cette fraction d'unité par rapport aux nombres pm^ qm (comme cela est permis quand le nombre m devient très-grand, à moins que/? ou q ne soit une fraction extrêmement petite), on pourra dire qu'en général la combinaison la plus probable est celle où le. nombre des événements A est au nombre des événements B dans le rapport de la probabilité de A à celle de B.

Il est évident d'ailleurs que, si l'on suppose n^=:pmy

BE LA. RlBPiTITlON DES tVÉNEWBiVTS. 51

m ''^n=qm, le rapport (r) prenant la forme

pm "{■' i q qm p^

approchera d'autant plus de Tunité que le nombre m sera plus grand. En comparant ainsi au plus grand terme, non-seulement ceux qui le précèdent et qui le suivent immédiatement, mais les termes situés à dent^ trois, quatre rangs de distance, etc., on s'assurera qné, de part et d'autre de ce terme, le décroissement devient de moins en moins rapide, à mesure qu'on fait croître le nombre m. De là résulte l'agglomération, dans le voisinage du plus grand terme, de ceux qui ont après lui les valeurs les plus grandes et dont la somme fait la plus grosse part de la somme totale des termes du développement.

29. Afin d'éclàircir ces notions par un exemple, supposons qu il s'agisse d'extraire au hasard une boule d*uné urne qui contient deux boules blanches et une noire : Tévénement A consistera dans l'apparition d'une boule

blaache et aura pour probabilité - ; l'événement Goa-

traire B^dont la probabilité est-, consistera dans l'apparition d'une boule noire. Pour la commodité de la notation, désignons par (w, (^) l'événement composé qui consiste dans l'apparition de u boules blanches et i^ boules noires , et inscrivons au-dessous la probabilité cori^ondante ; la formule {m) donnera successivement : I* pour une série de 3 tirages ,

8 la 6 I .

27 aj 37 27

a° pour utie série de 6 tirages^,

64 IQ2 ^Ao 160 60 12 I 729 729' 729 729 729 729 729

3*^ pour une série de 9 tirages,

On remarque que, dans les trois séries, le plus'grand terme est la probabilité correspondant à la combinaison qui donne un nombre de boules blanches précisément double de celui des boules noires. Les termes vont en décroissant de part et d'autre de ce terme maximum. Les rapports des plus grands termes à ceux qui les précèdent ou qui les suivent immédiatement, vont en diminuant et en se rapprochant de l'unité , à mesure que la série comprend un plus grand nombre de termes. Au contraire , les rapports des plus grands termes aux termes extrêmes vont toujours en augmentant : les ter-, mes extrêmes diminuant avec une grande rapidité, tandis que le plus grand terme diminue aussi, mais bien plus lentement.

Pour une série de 9 tirages, qui donne dix termes ou combinaisons différentes, la somme du plus grand terme, de celui qui le précède et de celui qui le suit immédiatement, forme plus des sept dixièmes de la somme totale des termes du développement.

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Si l'on embrasse une série de 90 tirages, on trouvera, avec le secours des tables logarithmiques [ïo], pour les valeurs du plus grand terme, des deux termes qui le précèdent et des deux termes qui le suivent immédiatement,

La somme de ces cinq termes est égale à ô,4^3 671 , ou à plus des deux cinquièmes de la somme totale des 91 termes du développement. Au contraire, les valeurs numériques des deux termes extrêmes sont d'une excessive petitesse : puisque celle du terme (90,0) serait exprimée par une fraction ayant pour numérateur l'unité et pour dénominateur un nombre de 1 6 chiffres , tandis que la valeur de l'autre terme extrême (0,90) se trouverait exprimée par une fraction incomparablement plus petite encore, ayant pour numérateur l'unité et pour dénominateur un nombre de 43 chiffres (*).

f) Soit encore /? =^ = -, m = 100; les termes à égales dis-

tances du terme moyen seront égaux entre eux, et le calcul

donnera :

(5o,5o) = 0,079 589a (5i,49) = (49j5i) = 0,078 0286 (52,48) =: (48,52) = 0,073 5270 (53,47) = (47j53) = 0,066 5905 (54,46) = (46,54) = o,o57 9584 (55,45) = (45,55) = 0,048 4743 (56,44) = (44,56) = o,o38 9525 (57,43) = (43,57) = o',o3o 0687 (58,42) = (4^,58) = 0,022 2923 (59,41) = (41,59) = o,oi5 8691

30. Attendu qu'il s'agit ici de propositions fondamentales, nous résumerons et compléterons ce qui vient d'être dit, par l'énoncé suivant :

(I). « Quand l'arrivée de l'événement A ou de l'événement B dépend d'une épreuve aléatoire, et qu'on ré^ pète plusieurs fois l'épreuve, la répartition qui offre la pliis grande probabilité est celle pour laquelle le rapport du nombre des événements A au nombre des événements B est égal au rapport de la probabilité de A. à

•— —— — — iW— — *— '^— — — — i"^— — ^— — — — — — I— — —