DE LA RÉPÉTITION DES JÉVÉWEMENTS

la probabilité de B, ou en diffère le moins possible. Les probabilités des autres répartitions vont en diminuant y à mesure que le rapport du nombre des événements A à celui des événements B s'écarte davantage du rapport de la probabilité de A à celle de B. j»

(II). CI A mesure qu'on multiplie les épreuves, le nombre des répartitions possibles augmentant, la probabilité de chaque valeur, pour le rapport du nombre des érënements A à celui des événements B , va en diminuant, mais d'autant plus rapidement que le rapport en question s'écarte plus du rapport entre les probabi» lités de A et de B^ et d'autant plus lentement qu'il s'en rapproche davantage^ »

(III). «Par suite de cette circonstance, on a une probabilité toujours croissante, que le rapport du nombre des événements A à celui des événements B ne s'écartera pas du rapport de leurs probabilités respectives au delà de certaines limites données; et, quelque resserrées qu'on prenne ces limites, la probabilité dont il s'agit pourra approcher de l'unité autant qu'on le voudra, pourvu qu'on augmente suffisamment le nombre des épreuves. »

On doit ces théorèmes à Jacques Bernoulli, qui les a donnés dans la quatrième partie de son livre intitulé Ars conjectandi, imprimé après sa mort, en 1713.

Il ne faut pas perdre de vue que, dans ces divers énoncés, le terme de probabilité n'a pas d'outre sens que le sens mathématique qui lui a été donné par la définition [isi]. En conséquence, la proposition (I) signifie que, parmi toutes les combinaisons ou hypothèses qu'on peut faire indifféremment sur l'ordre de succession des événements A et B , celles qui donnent , pour le rapport

du nombre des événements A à celui des événements B, une valeur égale à celle du rapport entre le nombre des chances de A et celui des chances de B, sont en plus grand nombre que celles qui donnent au premier rapport une valeur différente , et ainsi de suite.

31. Pour rendre sensible par un tracé graphique la loi que suivent les valeurs numériques des différents termes du développement (m), on peut prendre une ligne droite AB {Jig' 4) q^^^ ^'^i^ divisera en m parties égales. Par les points de division en nombre m -[- i , y compris A et B , on mènera des perpendiculaires à cette droite; et, à l'aide d'une échelle, on prendra la perpendiculaire A a proportionnelle à la valeur du premier terme (w, o), la perpendiculaire A, «, proportionnelle à la valeur du second terme {m — i , i ) , et ainsi de suite. Si le nombre m est considérable, et que par suite les divisions de la ligne AB soient très-rapprochées , chaque perpendiculaire ou ordonnée différera peu des ordonnées voisines; et l'on pourra joindre les extrémités des ordonnées par une courbe dont l'allure représentera la loi qu'on a voulu peindre. La courbe ainsi tracée aura une ordonnée maximum KA*, c'est-à-dire une ordonnée plus grande que celles qui la précèdent et qui la suivent. D'après une règle bien connue, la ligne droite qui touche la courbe au point k est parallèle à la ligne droite AB. Enfin, d'après une autre règle de géométrie, l'aire \hlki comprise entre deux ordonnées K, L/, la portion IL de la droite AB, la portion il de la courbe, est sensiblement égale au produit de l'une des divisions de la droite AB, telle que AA., par la somme des ordonnées comprises entre I/, L/, plus la demisomme de ces ordonnées extrêmes.

DE LA lUÉPlÊTITlON DES £v:ÉN£M£NTS. 57

Supposons, pour plus de simplicité, que p soit commensurable, et que la valeur donnée à m rende pm un nombrq entier. Si l'on fait croître le nombre rrij en l'assujettissant toujours à remplir la même condition, et si l'on répète la même construction en prenant pour base la même longueur ÂB, les ordonnées se rapprocheront : on obtiendra une autre courbe {fig. 5) dont l'ordonnée maximum KA: aura son piedK au même point de la droite AB; mais, en vertu de la loi (II), les ordonnées I/, L/, qui ont leurs pieds I et L aux mêmes points de la droite AB, auront décru plus rapidement que KA*. La courbe aura pris uùe forme telle, que l'aire partielle MJki soit une plus grande portion de l'aire totale ABb/ca; et, d'après la loi (III), on pourra prendre m assez grand pour que cette aire partielle diffère d'aussi peu qu'on voudra de Taire totale, les portions Al/a, Bhlb décroissant indéfiniment.

32. Quand .le nombre m devient très-grand, le calcul direct de la somme d'un grand nombre de termes du développement (m) serait une opération impraticable : on a recours à des formules d'approximation, dont l'emploi revient précisément à faire passer une courbe par des sommets d'ordonnées, comme clans la construction précédente, et à substituer, d'après la règle précitée , le calcul d'une portion de l'aire de cette courbe, au calcul de la somme des ordonnées comprises entre les limites de l'aire. Pour cela, les analystes font choix , parmi les formules ou fonctions qui peuvent s'écrire en algèbre, de celle dont l'expression n'est pas trop compliquée, et dont la marche s'accorde le mieux avec l'allure de la courbe qui était tout à l'heure censée décrite. C'est ainsi que s'opère

en pareil cas le passage de la discontinuité réelle à une continuité fictive : passage sur lequel nous avons appelé déjà l'attention du lecteur [19].

33. Désignons par P la probabilité que, sur le nombre m d'épreuves, le nombre des événements A sera compris entre les limites /w (/>—-/), w (/7-[-^/), ou que le rapport r^ de ce nombre au nombre total des événements tombera entre les limites p — / et /? ^- / : d'après les formules d'approximation dont on vient de parler, pour de grandes valeurs du nombre m^ la valeur de P dépendra uniquement de celle du nombre

^p[x-pY ^^

de sorte que, si ce nombre t reste le même ( les nombres Ij m ei p dont il dépend venant à varier), la probabilité P ne variera pas non plus. P sera , comme 'disent les algébristes, Mne fonction du nombre abstrait L Or, le nombre t varie en raison directe de /, ou de la limite de r écart entre les rapports /? et x;^, en raison directe de la racine carrée du nombre m des épreuves , et en raison inverse de la racine carrée du produit/? (i — -p) de la probabilité de A par la probabilité contraire , et de là découlent les conséquences suivantes :

1^ Après avoir assigné aux nombres / et m de certaines valeurs, et trouvé la probabilité P correspondante, donnons successivement à / des valeurs qui soient la moitié, le tiers, le quart, le dixième de sa valeur primitive : il faudra embrasser un nombre d'épreuves 4 fois, 9 fois, 16 fois, 100 fois plus grand, pour avoir la même probabilité P que l'écart fortuit ± (/? — -d) tombera entre ces nouvelles limites* £n d'autres termeiy

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pour obtenir la même probabilité que les anomalies du hasard, en ce qui concerne la détermination du rapport xi^, seront resserrées dans des espaces de plus en plus petits, il faut que le nombre des épreuves croisse en raison inverse des carrés des espaces.

a** Le produit /?( i — p^ est très-petit pour des valeurs de/? très-peu différentes de zéro ou de l'unité : il

atteint sa plus grande valeur quand p est égal à-.

Donc, plus il y aura de différence entre la probabilité de A et celle de l'événement contraire , moins on aura besoin de multiplier les épreuves pour obtenir la même probabilité P que l'écart fortuit ^ (/? — xS) tombera entre les mêmes limites; ou plus les limites qui correspondent à cette probabilité seront resserrées, le nombre des épreuves restant le même.

Les règles précédentes, étant subordonnées à des cal-* culs d'approximation , n'ont elles-mêmes qu'une exactitude approchée : mais l'approximation qu'elles donnent est très-suffisante quand m désigne un nombre de l'ordre des centaines, ou mieux encore de l'ordre des mille, des dizaines de mille^ etc. Or, si de pareils nombres se présentent rarement pour les épreuves aléatoires auxquelles donnent lieu des conventions entre individus, ils ne sont que d'une grandeur vulgaire dans l'ordre des phénomènes physiques et sociaux, en vue desquels surtout la théorie doit être établie (^).

(') On démontre dans les traités mathématiques que, si Ton

négligç les quantités de l'ordre — (par exemple, les dix-millièmes

Ittod m est de Tordre des disaines de mille), on a

60 CHAPITRI III.

34. Quand les nombres/?, w, / auront été assignés, le nombre t sera déterminé , et il faudra calculer la va-

Pour plus de simplicité, nous supposerons, dans tout le cours de cet ouvrage, la valeur de P réduite à l'intégrale définie qui en forme le premier terme, et nous opérerons la même réduction sur toutes les expressions analogues, dont nous aurons à faire un perpétuel usage. Cette simplification est d'autant plus permise qu'il s'agit, pour l'ordinaire, bien moins de calculer numériquement , avec une grande approximation , la valeur de P, que d'assigner à cette fraction une limite inférieure. Comme le second terme de la formule (P) est toujours additif, si l'on a trouvé , en négligeant ce second terme, que la fraction i — P tombe audessous de la quantité a, les conséquences qu'on en tirera subsisteront à ybrftor/ lorsqu'on tiendra compte, dans la valeur de P, de' la correction provenant du second terme.

La fonction e—^^ doit être considérée comme le type algébrique des fonctions qui décroissent symétriquement , avec une grande rapidité, de part et d'autre de l'origine de la variable t : de sorte que la valeur numérique de la fonction , sans devenir jamais rigoureusement nulle ^ est déjà excessivement petite pour des valeurs numériques de t tant soit peu considérables. C'est pour cela que cette fonction intervient dans toutes les formules que les analystes ont construites, en vue des applications de la théorie des chances. A cause de cette propriété de la fonction ^~'', la courbe [fig. 5) assujettie à passer par les sommets d'un grand nombre d'ordonnées qui représentent les termes consécutifs du développement de [p -+- q)"^ , pourra à très-peu près coïncider, surtout dans le voisinage du point ky avec la courbe qui aurait pour ordonnée la fonction ^~''*, les abscisses t étant mesurées sur la ligne AB, à partir du point K. Prenons r= KL = Kl : la probabilité P sera sensiblement égale [3 1] au rapport de l'aire partielle Ihlki à l'aire totale hBbka\ ou bieu, si l'on désigne par a, b les abscisses KA, KJB, on aura sensiblement, en vertu des