DE LA RÉPÉTITION DES ÉVÉNEMETTTS

leur de la probabilité correspondaDte P par les formules d'approximation dont nous ne faisons qu'indiquer l'dri-

théorèmes connus de géométrie et de calcul intégral ,

Mais, à cause de la petitesse des ordonnées A^z, B^, et de la rapidité extrême avec laquelle la fonction ^-'* décroît pour de plus grandes valeurs numériques de /, on n'altérera pas sensiblement cette expression de P, en substituant à l'intégrale

I er^di, l'intégrale / e-''cfe, quia pour valeur •«; et ainsi il viendra

1/î/w \^-Jo

c'est-4-dire lé premier terme de la valeur de P, dans l'équation (P).

Désignons par k le plus grand nombre entier contenu dans f{m-\'i)y et faisons croître par sauts les nombres / et f, de manière que l\/m{m-\-j) soit un nombre entier \ : le second terme de la formule (P) exprimera la probabilité que le nombre n des événements A soit précisément égal k k — X, ou bien encore celle que le même nombre n , soit précisément égal à A* 4- X. Si Ton i^tranche ce second tprme du premier, au lieu de l'ajouter, on aura la probabilité que n tombe entre les limites k — X, A -j-X, sans atteindre ces limites; le premier terme de la valeur de P exprimera la probabilité que n tombe entre les limites k — X, ^+X-i- I, où bien encore celle que n tombe entre les limites ^— X — i,A: + X; enfin la valeur complète de P sera la probabilité que n tombe entre les limites k — X — i, A + X-f-i. On se rend mieux compte, de cette manière, du rôle que joue le

gine ; ou , ce qui vaut beaucoup mieux, il faut calculer une fois pour toutes une table qui donne les valeurs de P correspondant à une série de valeurs du nombre /, suffisamment rapprochées les unes des autres. Les per- , sonnes étrangères aux mathématiques élevées, pourront faire usage de cette table, sans posséder la théorie qui a servi à la construire : de même qu'on se sert journellement des tables de logarithmes et de sinus, sans connaître la théorie de ces sortes de quantités, ni les procédés à l'aide desquels on en a dressé des tables.

On trouvera à la suite de ce livre une table comme celles dont nous parlons, calculée pour des valeurs de t croissant de centième en centième , de o à 3. Il serait peu utile de pousser cette table plus loin : car déjà, pour ^= 3, on a P zr 0,999 97^ ? ^^ sorte que la probabilité I — P d'un écart plus grand que la limite / correspon-

secoud terme dans la formule (P) , et de Terreur que l'on commet en le négligeant.

Quoique la formule (P) ne soit réputée exacte qu'aux quantités

près de Tordre —, elle donne, généralement, une approximation

bien plus grande. Soit, par exemple /7= -, /;i =2 100 : ob

trouvera, par la formule, pour la probabilité que le tiombre n des événements A est plus grand que 89 et plus petit que 6i,

Le tableau rapporté dans la note sur le n<* 29, donnera P= 0,9648.

Différence o,ooo5.

L'erreur de la formule n*est que d'un demi-millième , au lieu de s'élever à un ou à plusieurs centièmes, comme il semble qu'on pourrait le craindre en restant dans les termes rigoureux de la démonstration ordinaire.

DE LA RiPÉTITIOir DES ixÉUfEMETXTS. 63

dant à /=3, devient égale à la fraction extrêmement petite 0,000 022, ou plus petite que la probabilité d'extraire au hasard une boule noire d'une urne qui ne renfermerait qu'une boule de cette couleur, sur 4^ ooo.

La valeur P =- correspond, d'après la table, à une

valeur de t comprise entre 0,47 et 0,48 : le calcul donne pour cette valeur de t

Nous appellerons valeur médiane de l'écart, la valeur de /, qui, pour un système de valeurs de m et de/?,

donne à ^ la valeur 0,476 937, et à P la valeur -. Il y a

autant de chances pour que ± (/? — xrf) ou la valeur numérique de l'écart fortuit tombe au-dessous de cette valeur, qu'il y en a pour qu'elle la surpasse. Dans ce cas, ou dans des cas analogues, les auteurs ont employé l'expression de valeur probable^ qui n'est point juste : car, d une part, toutes les valeurs possibles de l'écart ont leurs chances ou leurs probabilités propres; et, d'un autre côté, la loi de leurs probabilités [16] est telle, que, plus la valeur numérique assignée à l'écart diminue, plus sa probabilité va en croissant; si bien que la valeur que nous nommons médiane ^ est effectivement moins probable que toute autre valeur plus petite.

Déjà, quand on prend ^ = 2, on a pour / une valeur telle, que la probabilité d'un plus grand écart devient figale à 0,00468, ou moindre que la probabilité d'extraire au hasard une boule noire d'une urne qui ne renfermerait qu'une boule de cette couleur sur 212.

Enfin si l'on prend ^ = 2,87, la probabilité i ~P

devient égale à celle d'extraire au hasard uue boule noire d'une urne qui ne renfermerait qu'une boule de cette couleur sur 20 000. Cette valeur de ^ a cela de remarquable qu'elle est à peu près sextuple de celle qui

correspond à P=: -; et comme ^ et / croissent dans le

même rapport ^ m et p restant constants , on a ce résultat commode à retenir, que la valeur médiane de 1 ecart est le sixième de la valeur que prendrait la limite d'écart, si l'on choisissait cette limite d'après la condition que la probabilité d'un écart plus grand n'excédât

pas .

35. Supposons, comme au n° 29, que l'événement A consiste à extraire une boule blanche d'une urne qui renferme deux boules blanches contre une noire. Pour une série de 9 000 lëpreuves , la valeur médiane de l'écart est o,oo3 348. On a la probabilité - que le nombre

des événements A sera compris entre 5 970 et 6 o3o; la

probabilité qu'il tombera entre 6874 et 6 126; et

enfin la probabilité extrêmement s^rande que ce

nombre restera compris entre ôSigetôiSi.

Si l'on embrasse une série de 9 millions d'épreuves , la valeur médiane de l'écart devient environ 32 fois

moindre : on a la probabilité - que le nombre des évé'

nements A restera compris entre 5 999 047 et 6 000 953;

21 1 la probabilité — qu'il tombera entre 5 996 000 et

i>E Li. REPETITION DES JSVENEMENTS. 65

6 ooA ooo; et enfin la probabilité qu'il sera com-

*^ 20 ooo

pris entre 5 994 a6o et 6 oo5 740.

36. Nous avons pu assimiler [28] toutes les répétitions des mêmes épreuves aléatoires à des tirages répétés dans une urne où l'on rejetterait à chaque fois la boule extraite, pour ne rien changer aux conditions aléatoires dans les tirages successifs. Le cas où la boule extraite ne rentrerait plus dans l'urne a aussi de l'importance, quoiqu'il ne comporte pas une assimilation si étendue; et à cause de l'analogie il convient d'en traiter ici succinctement.

Supposons donc qu'une urne renferme a boules blanches et h boules noires , et qu'on en extraye au hasard des boules une à une, en ne rejetant jamais dans l'urne la boule extraite : on demande la probabilité d'amener en ni tirages , n boules blanches m — n boules et noires.

Continuons de désigner par A l'événement simple ({ui consiste dans la sortie d'une boule blanche, et par B l'événement contraire ou la sortie d'une boule noire; de sorte que AB indique l'événement composé qui consiste dans la sortie d'une boule blanche suivie de la sortie d'une boule noire, et ainsi de suite. Il est clair, par le principe des probabilités composées [^3], qu'un événement composé, tel que AAB, a pour probabilité

tandis que celle de l'événement composé ABA , qui ne diffère du précédent que par l'ordre de succession des événements simples, est

a h a — I ab{a — i)

fraction dont l'expression ne diffère non plus de celle de la précédente , que par Tordre dans lequel les facteurs sont écrits au numérateur. Il suit de cette remarque, dont la généralité est évidente, que la probabilité cherchée a pour valeur la fraction

prise autant de fois qu'on peut faire de permutations distinctes dans l'ordre des événements [5]. Donc la valeur de la probabilité en question est

lw(m— i)...(/î+i).«(«— i)...(«-'i-l-i).i(A-i)...[^-('w— «)+i] f^s , i.2.3...(i» — n\{a+b) (a-l-è— i)...(a+è — m+i) ^ '

Si Ton fait successivement , dans cette expression générale, nz=z i, 72=12, . . . n'=^m — i, on aura les probabilités d'amener en m tirages 1, 2, .... /tï — i boules blanches, et m — i^ m — 2,. . . . i boules noires. Quant à la probabilité de n'amener que des boules blanches, elle est évidemment égale à

fl(g— ■ i) (g-— 2). . .{a — m+ i)

La somme de toutes ces probabilités compose l'unité, puisqu'elles correspondent à autant d'hypothèses dont l'une doit forcément se réaliser : donc on a

^__ fl(fl — i)(a — «)...(<»— m-Hï) , m a{a — i) (a — a).,,(a — m'{'\).b *""(a+^)(a+é— i)...(aH-^— m+i)"^T(a-i-*)(a+6-i)...(a+6-in4-i)

, m(m—i)...(#i-f-i) a{a — i)...(g — /t+T).^(3— 1)...[^ — (to— n)+i] " i.a.3...(/ii— :»)' • (a4-*)(«+^ — i)...(aH-6 — w-f-i)

DE LA. RléPÉTITIOW DES ÉVÉNEMENTS. 67

OU bien

(«+*) («4-*— i) (tf+é— a). . . (a-f^-.„H-x) =:fl(fl— i) (a— a). . .(a— m-f-i)+ - .«(a — i)(a— a). . .(a— iw-f-a).*

Cette dernière formule est remarquable par son analogie avec celle du binôme. Les factorielles de Tune remplacent les puissances de l'autre; et cette analogie déjà signalée [6] a sa raison dans les principes mêmes de la synthèse combinatoire.

La formule (M i) exprime une relation d'algèbre, qui doit subsister, quelles que soient les valeurs numériques attribuées aux lettres a^b, m, pourvu que <2-|-è surpasse m, et, par conséquent, lors même que ces lettres ne désigneraient plus, comme dans la question présente, des nombres entiers. Elle doit aussi pouvoir se démontrer par l'algèbre pure ; mais on vient de voir avec quelle facilité on y est conduit, en employant les probabilités composées. C'est ainsi que, par l'introduction artificielle d'un élément étranger, on simplifie quelquefois l'eiicbaînement de certaines vérités abstraites, et qu'à l'aide, par exemple, de considérations empruntées à la mécanique , on démontre plus simplement certaines propositions de géométrie pure.

En prenant la somme des m — /^-|- 1 premiers termes in développement (M), jusqu'au terme (N) inclusivement, on a la probabilité que, sur m tirages, il ne viendra pas moins de n boules blanches.

Le terme (N) est le plus grand du développement

^, lorsque n et m — /i, et par conséquent a — n et

b — m-^-n sont entre eux dans le rapport des nombres a et i, ou lorsque leur rapport s'éloigne le moins possible de celui des nombres a et b. Les termes du développement (M) décroissent de part et d'autre du plus grand terme, suivant des lois analogues à celles qui ont fait l'objet des n^^ 28 et suivants.

Au lieu de tirer les m boules successivement, on pourrait évidemment les extraire toutes à la fois, sans rien changer à la probabilité d'amener n boules blanches et m — n boules noires.

37. Nous avons déjà indiqué [^5] une application du problème traité dans le numéro précédent : on y ferait rentrer, plus directement encore, la plupart des questions auxquelles donnent lieu les épreuves du sort, au sein d'une assemblée politique dont les membres sont ordinairement rangés en deux partis, ou sont réputés appartenir à deux grandes fractions, la majorité et la minorité. Par exemple, l'assemblée étant de 4^9 membres [10], dont 240 appartiennent à la majorité et 219 à la minorité, si l'on tire au sort une députation ou commission de 20 membres, il y a lieu de demander quelle est la probabilité que la majorité ou la minorité de l'assemblée se trouvera en majorité dans cette commission. Si des causes fortuites et qui agissent sans acception de partis, telles que des maladies, doivent tenir 3o membres absents au moment d'un vote, on peut demander quelle est la probabilité que la majorité se déplacera pout* cela, et ainsi de suite. La dernière question revient à demander quelle est la probabilité d'extraire au hasard, en 3o tirages^ au moins 26 boules blanches d'une urne qui renferme 240 boules blanches et 219 boules noires : nos formules , appliquées avec le secours des tables logarith-

DE LA REPIÉTITIOK DES EVIËNEMEJMTS. 69

niiques, donnent pour cette probabilité 0,000 049 547,

valeur à très-peu près égale à •

Le droit de récuser péremptoirement un certain nombre de juges ou de jurés, dévolu à Taccusé et au ministère public dans les procès criminels , donnerait lieu à des questions analogues. Par exemple, sur une liste de 36 jurés, l'accusé et le ministère public ont respectivement le droit d'en récuser 12, à mesure que leurs noms sortent de l'urne, et il doit en rester 12 pour compléter le jury. Afin de considérer le cas le plus simple, on suppose que le ministère public n'ait aucun motif d'user de son droit de récusation; que l'accusé ait intérêt à écarter 6 jurés, et l'on demande quelle est la probabilité qu'il n'usera pas de son droit de récusation. C'est comme si l'on demandait la probabilité de n'extraire en 12 tirages que des boules blanches d'une urne qui contiendrait 3o boules blanches et 6 boules noires :

probabilité égale à 0,069 102, ou à peu près à — •

UV HASARD. — BB LA IHISSIBILITÉ ET DE L'IMPOSSIBIUT^