DES KAISSAKGE6 DES DEUX SEXES

fraction o^ooo 44^ pourvu , bien entendu, qu'on admette l'exactitude des documents employés.

Quand on retranche la dernière année de la période, le nombre des naissances masculines est ii 47^4^7 ^ et celui des naissances féminines lo 789 578; la valeur du rapport s'élève à i,o636 : la valeur correspondante pour la probabilité d'une naissance masculine est o,5t5 4^9 et le poids du résultat a pour valeur le' nombre 6 676. Pour l'année 1840 en particulier, la valeur du rapport du nombre des naissances masculines au nombre total des naissances est o,5i3 88. Faisons dans les formules du n^ 108

iw=22 263oi5, w=i 1473437, 7?i'=952 3i8, n'=489374, §= o,5i54i — o,5i3 88==OjOoi53:

nous aurons P = 0,1834? El = o, 6917 , pour la probabilité que l'écart n'est pas imputable aux anomalies du hasard. Cette probabilité est, comme on le voit , trèsfaible et sans signification possible, quoique l'anit^e 1840 soit, après i83o et 1828 , celle des années de la période où le rapport a atteint sa plus petite valeur.

Le nombre total des naissances, dans les vingt*trois années écoulées de 1817 à 1839 inclusivement, ayant été, pour la France entière , de 22 263 01 5, le nombre moyen des naissances annuelles , dans cet intervalle, est 967 957 , et la 86' partie de ce nombre , que nous considérerons comme la valeur moyenne du nombre des naissances annuelles, dans un département de population moyenne, est 11 255. Faisons, dans la formule (/) du n^ 33, m= Il 255, /?=o,5i54t7 ^= 0,01 5 4ï> d'oïl t=z 2,3 1 3 : la valeur correspondante P=: 0,998 93 mesurera sensiblement la probabilité que le rapport du

3IÔ CHAmtRE Xtff.

tiohibrc àhnuel des naissances masculines'^ au nombre annuel des naissances des deux sexes, pour Un département de population moyenne, tombe entre les limites 0,5 ï 5 4i i o,oi5 4î ^ ou 0,5 et o,53o 82. La moitié de i — P, ou 0,000 53, mesurera sensiblement la pro^ babilité que le rapport en question tombe au-dessous de 0,5 , ou que le nombre des naissances féminines surpasse fortuitement celui des naissances masculines. Ce cas singulier ne devrait donc guère se produire qu'une fois sur CL 000 , tandis que, si Ton s'en rapporte aux tableaux annuels du mouvement. de la population, dressés dans les préfectures, il s'est produit '6j fois en a3 ans, sur un nombre d'épreuves égal au produit de 86 par aS, ou à 1978; d'où il faudrait conclure (indépendamment de la remarque déjà faite au n° 166) que lacliance moyenne des naissances masculines est sujette à éprouver de fort notables variations , d'un département à l'autre et d'une année à Tautre. Mais plusieurs des feuilles qui présentent cette anomalie èont au nombre de celles qui ont paru à M. Demonferrand suspectes sous d'autres rapports. Lorsqu'on sera plus rassuré sur leur exactitude, il deviendra intéressant de suivre la marche des écarts pour chaque département, et de voir s^ils accusent des perturbations dans les causes qui régissent solidairement la gé uéralité des naissances, ou s'ils peuvent être attribués san invraisemblance à des causes dont les variations seraien fortuites et indépendantes d'une naissance à l'autre.

Des lois de la mortalité et de la population.

171. Si l'on pouvait soustraire un être animé à to tes les causes accidentelles de destruction , soit qu'ell

DKS L018 DE L4 IfÛKTALIT^. 311

occasionnent une mort soudaine et violeote, soit qu'elles déterminent des maladies dont la mort est la suite au bout d'un temps plus ou moins long, on observerait la durée naturelle de sa vie^ c'est-à-dire celle qui est déterminée par les conditions intrinsèques de son organisation. Cette durée varierait sans doute d'un individu à un autre de la même espèce; mais il suffirait d'un nombre assez borné d'observations pour obtenir une moyenne sensiblement fixe, et qui serait comme la mesure de la longévité de l'espèce. On peut approcher plus ou moins des conditions que nous venons de définir, et résoudre ainsi approximativement un des problèmes les plus intéressants de la zoologie, celui qui consiste à comparer les diverses espèces animales sous le rapport de la longévité, et à trouver, s'il se peut, la loi suivant laquelle la longévité dépend des variétés d'organisation, du jeu des fonctions et de l'action des milieux. A cet égard on ne possède encore que des ébauches.

En réalité il n'y a que peu ou point d'individus qui meurent de cette mort naturelle, amenée par l'impuissance de vivre : tous sont incessamment exposés à des causes de destruction contre lesquelles ils luttent avec plus ou moins de succès, selon leurs forces. Telle variation at» mosphériquequi serait sans influence sur un jeune homœ« ou qui ne lui occasionnerait qu'une indisposition passagère^ causera la mort d'un vieillard. La vie n'est en ce sens, comme l'a dit Bicliat, qu'une résistance à la mort. Ainsi, même en ne faisant aucune distinction entre les causes de mort, on trouvera dans les variations de la mortalité suivant ] âge, le sexe et les autres conditions, une indication précieuse des variations delà vitajké. Siea eii|;endu que la morl^tiité peut décroître,

soit parce que l'action des causes destructives diminue d'intensité , soit parce qu'il y a accroissement dans la résistance des forces vitales. Bien entendu aussi qu'un surcroit d'énergie dans les forces vitales peut, à certaines époques de la vie, multiplier les dangers, et contribuer indirectement à l'accroissement de la mortalité.

Lorsqu'il s'agit en particulier de l'espèce humaine, la connaissance des chances de mortalité est non-seulement d'une haute importance pour le médecin, pour l'administrateur, pour l'économiste; mais elle a encore, pour chacun de nous, un intérêt des plus vifs. Elle peut nous prémunir, dans la conduite habituelle de la vie, contre l'exagération des craintes et des espérances; elle peut faciliter notre soumission aux lois sévères de la nature.

172. Dès le milieu du xvu® siècle, le célèbre Jean de Wit, homme d'État et géomètre, s'occupait de la recherche des probabilités de la vie humaine, pour le calcul des rentes viagères; et il était naturel que la priorité dans ces questions appat'tint à la nation qui devançait toutes les autres pour les institutions de banque et de crédit. Un autre géomètre hollandais, initié comme Jean de Wit au maniement des affaires, Hudde avait écrit aussi sur le même sujet,' au rapport de Leibnitz; mais^ la première table de mortalité, calculée par l'astronom Halley , d'après les registres de la ville de Breslau e Silésie, a paru dans les Transactions philosophiques d 1693. Ce sujet n'a pas cesse d'attirer de préférence l'ai tention des statisticiens , et aujourd'hui le nombre d tables publiées est considérable; mais, telles sont les di ficultés de leur construction, que toutes les tables offren des divergences très-grandes, et qu'il s'époulera sansdoùt

bien du temps avant qu'on n'arrive à des résultats pleinement satisfaisants.

Si l'on prenait au hasard un grand nombre d'enfants nouveau-nés, lo ooo par exemple, et qu'on les suivît jusqu'à l'instant de la mort, on pourrait inscrire, à côté de chaque âge, le nombre des survivants de cet âge, et l'on aurait ainsi une table de mortalité, d'où il serait facile de tirer une table des probabilités de la durée de la vie humaine. Cette table serait entachée des erreurs fortuites qui affectent toute table de probabilité déduite d'un nombre borné d'observations, même quand les conditions du hasard sont invariables pendant toute la durée des épreuves ; mais de plus elle serait affectée des variations brusques et irrégulières survenues dans les causes de mortalité pendant que l'épreuve a duré. Ainsi, l'invasion d'une épidémie dans la vingtième année de l'épreuve introduirait une perturbation dans la table pour l'âge de 19 à 20 ans. Si de plus, dans le laps de temps exigé pour la confection de la table, les causes de mortalité avaient éprouvé des variations lentes et progressives , tous les nombres de la table s'en trouveraient affectés; et la portion de la table qui embrasse les âges avancés ne correspondrait plus à la portion qui embrasse les années de l'enfance et de la jeunesse.

Les corporations ou associations qui réunissent im grand nombre d'hommes dans un intérêt commun , peuvent tenir des registres particuliers d'après lesquels on construirait des tables de mortalité pour les membres du corps ou de l'association. Ces tables seraient affectées des causes de perturbation que l'on vient de signaler : de plus, leur point de départ serait ordinairement incertain, à cause que l'on n'entre pas au même âge dan$

le corps ou dans l'association ; elles n'apprendraient rien sur la loi de la mortalité dans les premières années de la vie; et enfin elles ne pourraient pas s'appliquer à d'autres classes d'hommes que celles pour lesquelles on les aurait construites.

173. A la loi de la mortalité se rattache évidemment la loi de la population d'un pays, c'est-à-dire la loi d'après laquelle la population totale se distribue selon les âges. La population d'un pays est arrivée à un chiffre stadonnaire ^ lorsque le nombre annuel des naissances est égal moyennement au nombre annuel des décès, et lorsqu'il n'y a pas de moiwemcnt extérieur^ ou lorsque les émigrations et les immigiiitions se compensent; mais cette double condition ne suffit pas pour que la loi de la population soit arrivée à l'état stationnaire. On peut supposer, par exemple, que le nombre des naissances décroisse, et qu'en même temps l'énergie des causes de mortalité s'affaiblisse , de manière à réduire d'autant le nombre des décès : alors la durée moyenne de la vie se prolongera, quoique le chiffre de la population soit resté le même. Il n'y aurait de variation, ni dans le chiffi^e des naissances, ni dans celui des décès, que la loi de la population pourrait varier encore : la mortalité se déplaçant en quelque sorte, ou n'affectant plus de la même manière les divers âges de la vie.

Si la loi de la population d'un pays peut être réputée stationnaire, et si les émigrations se compensent , pour chaque âge, avec les immigrations, un dénombrement qui fera connaître cette loi , fera connâîti*e en même temps, et avec la même précision , la loi de la mortalité. Si, par exemple^ le nombre des naissances annuelles étant wooO) ontTiHi^e au i^'' janvier 184(9 6oo<dfei>

j^ôûtlés de l'âge de 20 à ai ans, c'est qu'il reste 6000 personnes des 10000 qui sont nées dans le cours de l'année 1820; et à cause de l'état stationnaire de la populatioil, il restera au 1®^ janvier 1862, 6000 personnes des 10 000 qui doivent naître en i84ï. Supposons que le même dénombrement donne 5 900 personnes de l'âge de 21 à !!i2 ans : on en conclura que, sur 10 000 personnes, il y en a 100 qui meurent dans leur 22® année, et que sur 6 000 personnes ayant atteint ai ans, il y en a 100 qui meurent avant d'atteindre ûa ans. Le rapport est ce qu'on nomme le danger annuel, ou la

probabilité, pour les individus qui ont atteint un âge déterminé, de mourir dans l'année qui doit suivre. La variation de ce rapport peut être regardée comme l'indice de la variation dans l'action des causes de mortalité, aux divers âges de la vie.

Ce qui précède suffit pour faire comprendre la construction des tables de mortalité au moyen d'un dénombrement par âges, et dans l'hypothèse d'une loi de population stationnaire. On doit remarquer que, pour le temps de la première enfance, où la mortalité varie trèsrapidement, il convient de calculer ces tables par mois et non par années.

1 74. Concevons la table disposée de manière à donner le nombre des survivants à un âge donné. Supposons qu'on trouve que sur i o 000 enfants censés nés en même temps, 6 000 atteignent ai ans, et 3 000 atteignent 65 ans. On en conclura que 34 ans est la valeur médiane du temps qui reste à vivre aux personnes âgées de a I ans. C'est ce que les auteurs sont dans l'usage d^ppe- W la vie prdbtéle [68]. D'<H-di«aire on iasorit dam les

tables de mortalité, à côté de chaque âge, la vie probable correspondante. La vie probable, à l'instant de la naissance, ou la durée médiane de la vie, est Tâge où le nombre des personnes nées en même temps se trouve réduit à moitié.

Si l'on suivait un à un les lo ooo enfants nés dans la même année, la somme de leurs âges aux époques de leurs décès respectifs, divisée par lo ooo, serait la durée moyenne de Ta vie, ou la vie moyenne [6^], Pareillement, si Ton suivait une à une les 6 ooo personnes qui survivent à s i ans, la somme des temps écoulés pour chacune d'elles depuis l'achèvement delà 21® année jusqu'au décès, divisée par 6 ooo, serait la vie ou plutôt la survie moyenne. Or, les tables de mortalité font connaître, 1° le nombre des enfants qui meurent avant d'avoir achevé leur i" année, a® le nombre des enfants qui meurent dans leur s® année, et ainsi de suite. Si l'on suppose que tous les décès survenus dans le cours d'une année aient lieu à la même époque, par exemple au milieu de l'année , et si l'on calcule la moyenne en conséquence, on aura une valeur approchée de la vie moyenne. Cette valeur serait plus approchée si la table donnait les décès par mois ; et en tout cas l'on peut faire en sorte que l'erreur soit négligeable, eu égard à celles qu'entraîne l'inB.— perfection des données.

Dans l'hypothèse d'une loi de population stationnair la vie moyenne proprement dite, comptée du moment la naissance, et en prenant l'année pour unité de temp est égale au quotient du nombre qui exprime la popul tion totale, par le nombre des naissances annuelles. Su posons, comme plus haut, lo ooo naissances annuelles 100 personnes sur lo ooo qui meurent dans leur as'

née. Supposons en outre (pour la facilité des explications) que toutes les naissances et tous les décès aient lieu à un même jour de l'année. Dans la population totale au i** janvier 184I9 la catégorie des personnes qui doivent mourir à 22 ans se compose, 1^ de 100 personnes nées en 1840 et qui doivent mourir en 1862, 2® de 100 personnes nées en 1 889 et qui doivent mourir en i86r,. . . et enfin de 100 personnes nées en 1819 et qui doivent mourir en i84i* Le nombre total des personnes comprises dans cette catégorie est donc égal au produit de 100 par 22 ou de 22 par loo; et conséquemment on retrouvera la population totale en faisant la somme des produits de chaque âge par le nombre des enfants nés dans Tannée et destinés à mourir à cet âge. Mais cette somme de produits, divisée par le nombre des naissances annuelles , est précisément la vie moyenne, comptée à partir de la naissance: donc, réciproquement, la vie moyenne est exprimée par le rapport de la population totale au nombre des naissances annuelles (').

(^) Désignons par^ dx la probabilité, pour une personne de l'âge x, de mourir dans TintieryaUe de temps dx\ par ¥x la probabilité, pour le nouveau-né, d'atteindre à Page x : on aura

d.rx=z^Fx,fxdx, d'où ¥x-=ie-fÔ^"^y

la fonction Fx devant se réduire à l'unité pour xzno. Si Ton a

fx'=fyx +fxX + etc.,

de manière que/^Xj/aX, etc., correspondent à des causes de mortalité qui agissent indépendamment les unes des autres , et qui ont chacune leur loi propre, il viendra

F:c = Fx^.Faa?. . .:

F^ désignant ce que deviendrait la fonction Fo?, dans le cas où

175. Les difficultés pratiques d'un dénombrement général et surtout d'un dénombrement par âges sont très-

la cause de mortalité à laquelle correspond la fonction f^ agirait seule. Donc , si cette cause vient à être supprimée, et si l'ou désigne par (Fj?) le nouvel état de la fonction Yxy on aura

La probabilité, pour le nouveau-né, de mourir à l'âge x, étant égale à — d. F^, il vient pour la durée moyenne de la vie, à partir de la naissance,

ainsi qu'on le trouve en intégrant par parties, et en remarquant que le produit xFx doit être considéré comme nul aux deux Kmites de l'intégrale. Pareillement, la durée moyenne de la vie, à partir de Fâge x^ a pour valeur

La durée médiane de la vie, à partir de la naissance , est la racine \ qui convient à Téquàtion F^ =:-; et la durée médiane tic la vie, à partir de l'âge x^ est la racine \ de l'équation

F(s+Ç)=lFa;.

Quand on suppose la loi de la population stationnaire, et qu'on fait abstraction du mouvement extérieur, la loi de la population est encore exprimée par la fonction Yx\ c'est-à-dire

que

Yxdœ

FxJ X

Yxdx o

est la probabilité de tomber au hasard sur une personne de l'âge x\ et que le nombre des habitants dont l'âge tombe entre

MS LOIS m LA IdtORTALITE. 3i$

grandes. Les mouvements intérieurs et extérieurs de la population , les intérêts municipaux et privés s'opposent

X et x' est proportionnel à l'intégrale

/ Vxdx\

ce nombre devenant

si l'on prend Tannée pour unité de temps, et si l'on désigne par N le nombre des naissances annuelles. £n conséquence, Texpression de la population totale est

et le quotient de la population totale par le nombre des naissances annuelles reproduit, dans cette hypothèse, la valeur de la \ie moyenne.

L'âge moyen des habitants est donné par la formule

xYxdx

Yxdx

et la valeur médiane de l'âge est la racine \ de Téquation

y^¥xdx=il lYxdx.

o it/ o

Do, DiyDs, etc., désignant les nombres des décès annuels, pour les individus dont l'âge, au moment du décès, tombe au-dessous d'un an , entre un an et deux ans, entre deux ans et trois ans, etc., on a

Dx = N^ P Yxdx — y^* Yxd:i^y \ D» = 1$( j Yxdx —y Yxdx\ , etc. ,

\ et pcMir le nombi» total des décès annuels^

320 châpitrk XI] I.

à ce que les résultats de cette opération administrative comportent une grande précision quant au chiffre total,

D=Do+Dx-+-D, + elc. = N,

conformément à Thypothèse d*iine population stationnaire.

On peut considérer à part la population masculine et la population féminine, et Ton aurait encore, toujours dans Thypothèse d'une loi de population stationnaire.

les lettres affectées d*un et de deux accents désignant respectivement, pour les populations masculine et féminine, les analogues des quantités désignées par les mêmes lettres, non accentuées, pour la population totale.

N' surpasse N"; mais, d'un autre côté, M" parait surpasser M'. Si Ton adoptait les nombres de M. Demonferrand, calculés, il est vrai, pour une population non stationnaire, on aurait

M" M'= 38'" 4'""'*» M"=4o— lo"*»", jrr^ = i,o652.

Suivant Rickman, on aurait en Angleterre

M" Ces valeurs du rapport — se rapprochent assez des valeurs

très-probables du rapport —, pour qu*on ait quelque lieu de

croire que le rapport ^ différerait peu de l'unité dans le cas

d'une loi de population stationnaire, ou, en tout cas, en différerait

moins que n'en diffère le rapport — : comme si lasupérionle

des naissances itiasculines avait pour cause finale une coinpcDsation approchée de l'abréviation de la vie moyenne , ou de la supériorité des chances de mortalité, pour les individus du sexe masculin. Bien entendu qu'il serait déraisonnable d'admettre po^ h

et l'exactitude dans la répartition suivant les âges doit être réputée impossible. Cependant la répétition fréquente de cette opération qui se fait en France tous les cinq ansy le perfectionnement des rouages administratifs, les moyens de contrôle fournis par les relevés des actes de l'état civil et par les tableaux du recrutement militaire, donnent lieu d'espérer que les résultats du recensement quinquennal serviront un jour de bases solides aux investigations statistiques.

compensation rigoureuse, et de supposer que les fotictions F'jt, F'jr s'ajustent de manière que les intégrales M', M" soient précisément en raison inverse des nombres IH', N'', déterminés par un système de causes efiicicntes, très-distinct de celui qui influe sur les intégrales M', M". Quelle que soit l'idée qu'on se forme de la finalité des œuvres de la nature, il est certain qu'elle ne procède pas avec cette exactitude mathématique.

Tout récemment, M. Pouillet a proposé, pour le cas d'une population qui a subi l'influence de causes perturbatrices, et qui se rapproche graduellement de l'état stationnaire, une loi exprimée par la proportion

•pi* ■p'i"'^ * »

ce qui donnerait P' = P'' à la limite, quand D' et D" deviennent respecliycment égaux à N% N". Les objections qu'on a faites à cette loi prouvent très-bien qu'elle ne comporte pas une rigueur mathématique, et il n'était pas nécessaire de pousser p(»ur cela les calculs jusqu'à la 6^ décimale, puisque le rapport-limite P'=:P" ne peut lui-même passer, bien évidemment , que pour une approximation, même après la compensation de toutes les anomalies fortuites. Néanmoins la relation indiquée par M. Pouillet, et donnée comme le résultat d'une compensation approchée, n'en serait pas înoins remarquable, précisément en ce qu'elle dénoterait une tendance des causes naturelles à maintenir à peu près l'égalité des nombres P', P^ au sein d'une population stationnaire.

3ffî cmÈ^pvîKE xiit.

Au lieu d'opérer un dénodibrement par Âgës^ sî l'oii

fait le dépouillement annuel des actes de dëcè», qtii doiv

vent, aux termes de la loi française, mentionner Tâge

du décédé y on trouvera immédiatement le nombre des

décédés de chaque âge; et en comparant ces nombres à

celui des naissances annuelles, on construira (toujours

dans riiypothèse d'une loi de population stationnaire) la

table de mortalité, laquelle pourra servir à son tour à

construire la table de la population^ telle que le recen*"

sèment par âges la donnerait. Cette méthode, bien plus

facilement praticable que la précédente, est en effet celle

qu'on a suivie dès l'origine. Les inexactitudes qui l'affec

tent tiennent aux inexactitudes des registres mêmes,

surtout en ce qui concerne les indications d'âge, et

aux chances d'erreur dans le travail du dépouillement.

l76. Si Ton fait abstraction, pour un moment, de ces sources pratiques d'erreur, la détermination de la loi de mortalité et de tous les éléments qui s'y rattachent, restera encore affectée, i® des anomalies proprement fortuites, résultant de ce que le nombre des épreuves du même hasard est limité ^ et dont on peut atténuer indéfiniment Tinfluence en opérant sur des nombres de plus en pliis grands; 2^ des slnomalies qui tiennent à des changements brusques dans les conditions du hasard ou dans les causes de mortalité. Si, par exemple, une épidémie a fait de grands ravages en i83îi, le dénombrement de 1842 en offrira des traces dans toutes les classes de la population au-dessus de 10 ans. Elles comprendront moins d'individus qu'elles ne devraient en comprendre, par comparaison avec les classes d'âge inférieur. Le denombrement accusera nne mortalité trop forte dans te passage des âges iniiérieurs aux âges supérieurs; et $A

DES LOIS DE LA ttO&TALtTE. 3^3

contraire le relevé des artes de décès en i84a accusera une mortalité trop faible dans les classes supérieures qui comprennent moins d'individus^ et par conséquent offrent moins de décès qu'elles ne devraient régulièrement en comprendre et en offrir. Cette remarque s'applique à fortiori aux vides laissés dans la population virile par de longues guerres, telles que celles qui ont bouleversé l'Europe pendant vingt-quatre ans , à la suite de la révolution française.

177. Lorsque les émigrations et les immigrations, sans se compenser pour chaque âge, suivent une loi sen* siblement constante, la loi de la population est encore stationnaire; mais, pour déduire dans ce cas la loi de la mortalité, soit d'un dénombrement par âges, soit du dépouillement des registres de décès, il faudrait connaître les lois auxquelles sont assujetties les émigrations et immigrations. Par exemple, la population des grandes villes se recrute d'hommes de toute profession qui viennent y chercher du travail ou des jouissances , et beaucoup d'enfants en bas âge en sortent pour aller mourir au loin j chez des nourrices. Par ces diverses causes, le relevé des actes de décès d'une grande ville , comparé au chiffre des naissances annuelles, ne peut donner une juste idée des chances de mortalité, qu'autant que l'on tient compte du mouvement extérieur. Réciproquement, la loi du mouvement extérieur^ supposée constante, sera donnée par la comparaison du relevé des actes de décè« avec un dénombrement par âges(').

(*) Voyez à ce sujet le. mémoire âe^purieip '*»

générales sur la populadotij et pt&c£ ta ^ des BBcherehes sUHitHquèé nki^M^ilMHto

178. Enfin tous les pays soumis à l'influence de notre civilisation européenne sont encore loin de cet état stationnàire auquel nous supposons ramenées la loi de la population et celle de la mortalité. D'une part , la loi de la mortalité, en subissant l'influence de causes modificatrices, progressives et séculaires, fait varier indirectement la loi de la population; d'autre part, les conditions du développement de la population sont directement modifiées (par exemple à la suite de défrichements ou de l'introduction de nouvelles cultures), indépendam* ment de la variation des causes de mortalité.

Dans tous les États de l'Europe, à l'époque actuelle, la population est croissante, quoique la rapidité de son accroissement soit très-inégale d'un pays à l'autre. Il faut absolument tenir compte par lé calcul de cet accroissement séculaire , si l'on veut construire une table de mortalité avec les relevés des décès annuels. Le calcul de correction serait très-simple, si l'accroissement de population ne résultait que de l'accroissement du nombre des naissances, sans que les chances de mortalité aux différents âges fussent modifiées; mais c'est ce qu'on ne peut admettre, en sorte que pour faire la correction ri** goureusement, il faudrait déjà connaître précisément la loi que l'on cherche. Cependant on peut faire cette correction par tâtonnements, avec une précision suffisante^ eu égard à l'incertitude qui règne sur les autres données du calcul.

179. En raison de toutes les causes d'erreur et d'incertitude dont nous avons signalé les principales, on observe, comme nous l'avons dit , de très-grandes divergences dans les tables de mortalité calculées jusqu'ici* On a coutume de les distribuer en deux catégories ; l&

DES LOIS D£ LA MORtALlTE. 325

tables à mortalité lente et les tables à mortalité rapide. Les compagnies dont les spéculations embrassent les payements des rentes viagères ou les assurances sur la vie, choisissent pour bases de leurs calculs, selon que leur intérêt s'y trouve, tantôt les tables à mortalité lente, tantôt, celles à mortalité rapide. En France, on a employé longtemps et l'on emploie encore comme type de mortalité lente la table de Deparcieux, calculée vers 1 746, sur les listes mortuaires des tontines de 1689 et 1696, comprenant environ ^9 000 décès. Au contraire, la table publiée en 1 806 par Duvillard, et (d'après son dire) calculée sur une liste d'environ 100 000 décès, antérieurs à la révolution^ donne certainement, dans l'état actuel des choses, une mortalité beaucoup trop rapide. La comparaison que M. Bienaymé a faite, en i835, des tableaux de recrutement avec les relevés officiels du mouvement de la population, a mis ceci hors de doute. Les calculs de M. Quetelet pour la Belgique conduisent aussi à une loi de mortalité sensiblement plus lente que celle de Duvillard; et enfin M. Demonferrand , en opérant le dépouillement complet des relevés officiels, a trouvé, pour la France entière, une mortalité beaucoup plus lente encore ('), mais très-inégale d'un département à l'autre. Voici un tableau sommaire où les nombres de Duvillard sont mis en regard de ceux de M. Demonférrand^ de manière à donner une idée de la divergence des tables, et des limites entre lesquelles elle est comprise :

(') L'extrait du travail de M. Démon ferrand a paru dans le ^ cahier du Journal de l*École pofytechtUque, p. 249 et suiv.

175. Les difficultés pratiques d'un dénombrement général et surtout d'un dénombrement par âges sont très*

la cause de mortalité à laquelle correspond la fonction f^ agirait seule. Donc, si cette cause vient à être supprimée, et si Ton désigne par (For) le nouvel état de la fonction Yx^ on aura

La probabilité, pour le nouveau-né, de mourir à l'âge x^ étant égale à — d. Fx, il vient pour la durée moyenne de la vie, à partir de la naissance,

^=z—J xd.Yx=:r^ Yxdx,

ainsi qu'on le trouve en intégrant par parties, et en remarquant que le produit xYx doit être considéré comme nul aux deux Kihites de l'intégrale. Pareillement, la durée moyenne de la vie, à partir de l'âge x, a pour valeur

YxJ

Yxdx.

La durée médiane de la vie, à partir de la naissance , est la

racine l qui convient à Téquàtion F^ =-; et la durée médiane de la vie, à partir de l'âge x, est la racine \ de l'équation

F(a?+Ç)=-Fj;.

Quand on suppose la loi de la population stationnaire, et qu'on fait abstraction du mouvement extérieur, la loi de la population est encore exprimée par la fonction Fx; c'est-à-dire

que

Fxdx

Yxdx

est la probabilité de tomber au hasard sur une personne de l'âge x\ et que le nombre des habitants dont l'âge tombe entre

MS LOIS m LA IdtORTALITE. 31$

grandes. Les mouvements intérieurs et extérieurs de la population , les intérêts municipaux et privés s'opposent

Vxdx:

X et x' est proportionnel à l'intégrale

ce nombre devenant

si l'on prend Tannée pour unité de temps, et si l'on désigne par N le nombre des naissances annuelles. £n conséquence, Texpression de la population totale est

et le quotient de la population totale par le nombre des naissances annuelles reproduit, dans cette hypothèse, la valeur de la yie moyenne.

L'âge moyen des habitants est donné par la formule

xFxdx

Fxdx

et la valeur médiane de l'âge est la racine ^ de l'équation

y^Fa?<fe=- lYxdx.

Do, D,9 Ds, etc., désignant les nombres des décès annuels, pour les individus dont l'âge, au moment du décès, tombe au-dessous d'un an , entre un an et deux ans, entre deux ans et trois ans, etc., on a

Do = N^i —fl Fxdx \

Dx = N^ y Fxdx —y * Fxdx\

ï)i=:^(jFxdx^r FxdxY etc.,

^ pour le nombi» total des décès annuels^

320 châpitrk XI] I.

à ce que les résultats de cette opération administrative comportent une grande précision quant au chiffre total,

D=:Do+Dx-+-D, + etc. = N,

conformément à Thypothèse d'une population stationnaire.

On peut considérer à part la population masculine et la population féminine, et Ton aurait encore, toujours dans Thypothèse d'une loi de population stationnaire,

N' surpasse N"; mais, d'un autre côté, M" parait surpasser M'. Si l'on adoptait tes nombres de M. Demonferrand, calculés, il est vrai, pour une population non stationnaire, on aurait

M'' M'= 38'" 4""'% M"=4o"« lo"*»", :— = i,o652.

Suivant Rickman, on aurait en Angleterre

M" Ces valeurs du rapport — se rapprochent assez des valeurs

très-probables du rapport —, pour qu'on ait quelque lieu de

croire que le rapport ^^ différerait peu de l'unité dans le cas

d'une loi de population stationnaire, ou, en tout cas, en différerait

moins que n'en diffère le rapport —: comme si la supérionle

des naissances iliasculines avait pour cause finale une compensation approchée de l'abréviation de la vie moyenne , ou de la supériorité des chances de mortalité, pour les individus du sexe masculio. Bien entendu qu'il serait déraisonnable d'admettre une

et l'exactitude dans la répartition suivant les âges doit être réputée impossible. Cependant la répétition fréquente de cette opération qui se fait en France tous les cinq anSy le perfectionnement des rouages administratifs, les moyens de contrôle fournis par les relevés des actes de l'état civil et par les tableaux du recrutement militaire, donnent lieu d'espérer que les résultats du recensement quinquennal serviront un jour de bases solides aux investigations statistiques.

compensation rigoureuse, et de supposer que les fotictions F'jt, ¥"x s'ajustent de manière que les intégrales M', M" soient prccis/ément en raison inverse des nombres 1!^\ N'', déterminés par un système de causes eddcicntes, très-distinct de celui qui influe sur les intégrales M', M". Quelle que soit l'idée qu'on se forme de la finalité des œuvres de la nature, il est certain qu'elle ne procède pas avec cette exactitude mathématique.

ce qui donnerait P' = P'' à la limite, quand D' et V" deviennent respectivement égaux à N% N". Les objections qu'on a faites à cette loi prouvent très-bien qu'elle ne comporte pas une rigueur mathématique, et il n'était pas nécessaire de pousser pour cela les calculs jusqu'à la 6® décimale, puisque le rapport-limite P' = P" ne peut lui-même passer, bien évidemment, que pour une approximation, même après la compensation de toutes les anomalies fortuites. Néanmoins la relation indiquée par M. Pouillet, et donnée comme le résultat d'une compensation approchée, n'en serait pas inoins remarquable, précisément en ce qu'elle dénoterait une tendance des causes naturelles à maintenir à peu près l'égalité des nombres P', P^ au sein d'une population stationnaire.

3ffî C0ii1»ttRE Xtlt.

AU lieu dVpérer un dénodibrement par Âgës^ si 1 oii

fait le dépouillement annuel des actes de dëcè», qtii doi^

vent, aux termes de la loi française, mentionner Tâge

du décédé y on trouvera immédiatement le nombre des

décédés de chaque âge; et en comparant ces nombres à

celui des naissances annuelles, on construira (toujours

dans riiypothèse d'une loi de population stationùaire) là

table de mortalité, laquelle podrra servir à Soti tour à

construire la table de la population^ telle que le recen*"

sèment par âges la donnerait. Cette méthode^ bien plus

facilement praticable que la précédente, est en effet celle

qu'on a suivie dès l'origine. Les inexactitudes qui l'affec

tent tiennent aux inexactitudes des registres mêmes,

surtout en ce qui concerne les indications d'âge, et

aux chances d'erreur dans le travail du dépouillement.

l76. Si l'on fait abstraction, pour un moment, de ces sources pratiques d'erreur, la détermination de la loi de mortalité et de tous les éléments qui s'y rattachent, restera encore affectée, i® des anomalies proprement fortuites, résultant de ce que le nombre des épreuves du même hasard est limité 4 et dont on peut atténuer indéfiniment Tinfluence en opérant sur des nombres de plus éû plus grands; 2^ des slnomalies qui tiennent à des changements brusques dans les conditions du hasard ou dan^ les causes de mortalité. Si, par exemple, une épidëmi a fait de grands ravages en i83îi, le dénombrement d i84a en offrira des traces dans toutes les classes de I population aii-dessus de 10 ans. Elles comprendro iiioins d'individus qu'elles ne devraient en comprendr par comparaison avec les classes d'âge inférieur. Le d nombrement accusera une mortalité trop forte dans ft^ passage des âges iii£érieut« aux âges supérieurs; et m^

DES LOIS i>£; hA HÔftTALtTE. 323

Contraire le relevé des artes de décès en 1 84a accusera une mortalité trop fetble dans les elasses supérieures qui domprennent moins d'individus^ et par conséquent offrent moins de décès qu'elles ne devraient régulièrement eit eomprendre et en offrir. Cette remarque s'applique! à fortiori aux vides laissés dans la population virile par de longues guerres, telles que celles qui ont bouleversé l'Europe pendant vingt-quatre ans , à la suitir de la ré* tôlutidl) française.

177. Iiorsque les émigrations et les immigrations, saus se compenser pour chaque âge, suivent une loi seii* siblemeiit constante , la loi de la population est encore Stationnaîre ; mais, pour déduire dans ce cas la loi de la mortalité, soit d'un dénombrement par âges, soit du dépouillement des registres de décès, il faudrait connaître les lois auxquelles sont assujetties les émigrations et im<* Afiîgrations. Par exemple, la-population des grandes villes se recrute d'hommes de toute profession qui vienneoi y chercher du travail ou des jouissances^, et beaucoup d'etifantft en bas âge en sortent pour aller mourir au loin ^ che2 des nourrices. Par ces diverses causes, le relevé des actes de décès d'une grande ville , comparé au ehtfïre des naissances annuelles, ne peut donner une juste idée des chances de mortalité , qu'autant que l'oii tient ebmptedu mouvement extérieur. Réciproquement, la loi du mouvement extérieur^ supposée constante, sera donnée par la comparaison du relevé des actes de décès avec un dénombrement par àgesC).

— — .i^wl^— a^^— -^M^— I I I II I I ■ ■ I I I ■ I

(*) Voyez à ce sujet le mémoire de Fourier, intitulé Notions générales sur la population y et placé en tête du premier voluiti^ 4le6 Ba^htnhes stattnèqueé shi^ h viHe de Paris^ xdai.

ai.

178. Enfin tous les pays soumis à l'influence de notre civilisation européenne sont encore loin de cet état stationnàire auquel nous supposons ramenées la loi de la population et celle de la mortalité. D'une part, la loi de la mortalité, en subissant l'influence de causes modificatrices, progressives et séculaires, fait varier indirectement la loi de la population; d'autre part, les conditions du développement de la population sont directement modifiées (par exemple à la suite de défrichements ou de l'introduction de nouvelles cultures), indépendam* ment de la variation des causes de mortalité.

Dans tous les États de l'Europe, à l'époque actuelle, la population est croissante, quoique la rapidité de son accroissement soit très-inégale d'un pays à l'autre. Il faut absolument tenir compte par lé calcul de cet accroissement séculaire , si l'on veut construire une table de mortalité avec les relevés des décès annuels. Le calcul de correction serait très-simple, si l'accroissement de po* pulation ne résultait que de l'accroissement du nombre des naissances, sans que les chances de mortalité aux différents âges fussent modifiées; mais c'est ce qu'on ne peut admettre, en sorte que pour faire la correction ri* goureusement , il faudrait déjà connaître précisément la loi que l'on cherche. Cependant on peut faire cette correction par tâtonnements, avec une précision suffisante^ eu égard à l'incertitude qui règne sur les autres don^ nées du calcul.

179. En raison de toutes les causes d'erreur et d'in-^ certitude dont nous avons signalé les principales, o observe, comme nous l'avons dit , de très-grandes diwetr gences dans les tables de mortalité calculées jusqu'ici On a coutume de les distribuer en deux catégories ; I

DES LOIS D£ LA MORtALlTE. 325

tables à mortalité lente et les tables à mortalité rapide. Les compagnies dont les spéculations embrassent les payements des rentes viagères ou les assurances sur la vie, choisissent pour bases de leurs calculs, selon que leur intérêt s'y trouve, tantôt les tables à mortalité lente, tantôt, celles à mortalité rapide. En France, on a employé longtemps et l'on emploie encore comme type de mortalité lente la table de Deparcieux, calculée vers 1 746, sur les listes mortuaires des tontines de 1689 et 1696, comprenant environ '9 000 décès. Au contraire, la table publiée en 1 806 par Duvillard, et (d'après son dire) calculée sur une liste d'environ 100 000 décès, antérieurs à la révolution^ donne certainement, dans l'état actuel des choses, une mortalité beaucoup trop rapide. La comparaison que M. Bienaymé a faîte, en i835, des tableaux de recrutement avec les relevés officiels du mouvement de la population, a mis ceci hors de doute. Les calculs de M. Quetelet pour la Belgique conduisent aussi à une loi de mortalité sensiblement plus lente que celle de Duvillard ; et enfin M. Demonferrand , en opérant le dépouillement complet des relevés officiels, a trouvé, pour la France entière, une mortalité beaucoup plus lente encore ('), mais très-inégale d'un département à l'autre. Yoici un tableau sommaire oîi les nombres de Duvillard sont mis en regard de ceux de M. Demonférrand^ de manière à donner une idée de la divergence des tables, et des limites entre lesquelles elle est comprise :

(') L'extrait du travail de M. Démon ferrand a paru dans le S16® cahier du Journal de l'École polytechnique ^ p. 249 et suiv.

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