CHAPITRE XIII

De la précession des équinoxes, et do la nutation de l'axe de la terre.

M. ovT est li^ dans la nature , et ses lois générales enchataeot les uns aux autres, les phénomènes qui sembleat le pins disparates : ainsi , la rotation du sphéroïde terrestre l'aplatit à ses pâles; et cet aplatis- . sèment combiné avec l'action du soleil et de la lune, donne naissance à la précession des équinoxes, qui, avant la découverte de la pesanteur universelle, ne paraissait avoir aucun rapport au mouvement diurne de la terre.

. Imaginons que cette planète soit un sphéroïde homogène renflé A son éqnateor : on peut alors la considérer comme étant formée d'une sphère d'un diamètre égal & l'axe des pdies , et d'un ménisque qui recouvre cette sphère , et dont la plus grande épaisseur est & l'équateur du sphéroïde. Les molécules de ce ménisque peuvent être regardées comme autant de petites lunes adhérentes entre elles, et faisant lenra révolutions dans an temps égal à celui de la rotation de la terre ; les nœuds de toutes leurs orbites doivent donc rétrograder par l'action du soleil, comme les nceuds de l'orbe lunaire ; et de ces monvemeos rétrogrades, il doit se composer, eu vertu de la liaison de tous ces corps , ou mouvement dans le ménisque , qui iait rétrograder ses points d'intersection avec l'écliptique ; mais ce ménisque adhérant à la sphère qu'il

DD STSTÈME DU MONDE. SgS

recouvre , pai-tage avec eile aoa monvement rétrograde qui, par là, est coDsidërablem«at ralenti; l'intersection de Nqaatenr avec Ncliptique, c'eat-i-dire , lf!a éqaiuoxes doivent donc, par l'action du soleil, avoir un mouvement rétrograde. Essayons d'en approfondir les lois et la cause.

Pour cela, considérons l'ectton du soleil sur nd anneau situe dans le plau de l'équateur. Si l'on îmagÎBe la Diaase de cet astre , distribue'e uoiformément sur la circonférence de son orbe .supposé circulaire; il est visible que l'action de cet orbe solide représentera l'action moyenne dn soleil. Cette action sur cbacun des points de l'anneau , élevés au-dessus de l'écliptiqne , étant décompose'e en deux, l'une située dans le plan de l'anneau, et l'autre perpendiculaire i ce plan, il est facile de voir que la résultante de ces dernières actions relatives 4 tous ces points, est perpendiculaire au mime plan , et placée sur le diamètre de l'anneau , perpendiculaire A U ligne de ses nœuds. L'action de l'orbe solaire sur la partie de l'anneau, inférieure k l'écliptique, produit semblablement une résultante perpendiculaire au plan de l'anneau , et située dans la partie inférieure du même diamètre. Ces deux résultantes tendent à rapprocher l'anneau , de l'écUptique , en le faisant mouvoir sur la ligne de ses nœuds ; son inclinaison  l'écliptiqae diminuerait donc par l'action moyenne du soleil, et ses nœuds seraient fixes, sans le mouvement de rotation de l'anneau que nous supposons ici tourner eu même temps que la terre. Mais ce mouvement conserve à l'anneau , une inclinaison constante i l'écliptique , et cbange l'effet de l'action du soleil , dans un mouvement rétrograde des nœuds ; il fait passer k ces noeuds, une variation qui, sans lai, serait dans

rÎDclinaiMti ; «t il donne à rîoclinsiaoa , U coiutance qui serait dans let nccnds. Pour concsToir la raiioa de ce «ïngnlier changement, lalsona varier infioûacnt pea la situation de l'amiean, de manière ijut 1«» plans de ses deux positioas se coapent suïVant le diamitre per< ' pendiculaîre à la ligne des nœuds. On peut àécotaposer & la fin d'un instant quelconque, le mouTcment de chactinde ses points, en deux, l'iùi qui do^ subsister seul, dans l'instant, suivant; l'antre perpendiGuUîre an plan de l'anneau, et «[ni dinlIAtrc dëtruit: il est clair gne la résultante de ces seconds -mouTemena rdatib à toas les peints de la partie sa|>éricure de l'anneau , sera perpendiculaire & son [dan, et placée sur le diamètre que nona venonl de éonsidërer ; ce qui a également lien par rapport à la partie inférieure de l'anneau. Poar que cette résultante «oit détruite par ractïou de > i'orbe solaire , «t afin que l'anneau , «it Tertu de ces. Cocces, soit en équilibra autour de aaa «entre ; il &nt qu'elles soient contraires , et que leurs ffiomens par rapport i ce point, soient égaux. La jpremière de ces conditions exige que le changement de position snpposé à l'anneau , soit rétrograde : la secMtde condîtîou détermine la quantité de ce changonent , et par conséquent la vitesse du mouremeut rétrograde de ses nœnds. Il est aisé de voir que cette vitesse est proportionnelle à la masse du soleil, divisée par le cube de sa distance à la terre , et multipliée par le cosinus de l'obliquité de l'écliptiqne.

Le plan de l'anneau , dans deuX positions consécutives, se coupant suivant un diamètre perpendiculaire à lu ligne des nœuds ; il en résulte que l'inclinaisonde ces deux plans àl'écUptique, est constante;l'inclinaison de l'anneau ne varie donc point par l'action moyenne dua<deil.

DU STSTÈHB DU VONDE. 397

Ce qne l'on vient de voir peUtivemeat  un annean , l'analJM le démontre par rapport à un sphéroïde quelconque peu diCKrent d'aoe sphère. L'action moyenne du soleil produit dans les équinoie< , un mourement proportionnel & la masse de cet astre , divisée par le cube de sa distance , et mnltipliée par U «osinns de l'obliquité de l'écliptiqae. Ce monvemmt est rétrograde, qoaod le sphéroïde est aplati à ses pôles; savitesse dépend de l'aplatissement du sphéroïde} mais l'inclinaison de l'équateur i l'éoUptique , reste tonjoars la même. ,

L'action de la Inns &it pareillement rétn^ader les ncends de l'équatear terrestre sur le plan desnt orbite} Biais la position de ce plan et son inclii^aison i l'éqnateat variant «ans cesse par l'action du soleil, et lemonvement rétrograde des ««nds de l'éqnatenr sur l'Mbitfi binaire , produit par l'action de la Ivse , étant proportionnel an cosinus de cette inclinaison ; ce mouvement est variable. D'ailleurs, en le supposant uniforme , il ferait varier , suivant la position de l'orbite lunaire, le mouvement rétrograde des équinoxes , et l'inclinaison de l'équateur à l'écliptiqae. Un oklcnl assez «Impie suffit pour voir que l'action de la lune , combinée avec le mouvement du plan de son orbite , il résulte , i* un moyen mouvement dans les équinoxes , égal i. celai que cet astre produirait, s'il se mouvait sur U plan même de l'écliptique ; a* une in^alîté soosb-active de ce mouvement rétrograde , et proportionnelle au sinus de la longitude dn ncend ascendant de l'orbite Innaire ; 3' une diminution dans l'obliquité de l'éGlîptique , proportion» nelle au cosinus du même angle. Ces dens inégalités sont représentées k la Cois , par le mouvement de l'eztrémité de l'axe terrestre prolongé jusqu'au ciel, sur

use petite ellipse , cooformëment anx lois exposée* dans le chapitre XII du premier livre ; le grand axe de cette ellipse étant à son petit axe , comme le cosinus de IV blîquitë de l'écliptîqne , est au cosinus du double de cette obliqaitë.

On conçoit , par ce qui vient d'être dit , U cause de la précession des équinoxes et de la nutatîon de l'axe terrestre ; mais un calcul rigourenx et la comparaison de ses résultats avec les observations , sont la pierre de toucbe d'une théorie. Celle de la pesanteur est redevable à D'Alembert , de l'avantage d'avoir été ainsi vérifiée relativement aux deux phénomènes précédens. Ce grand Géomètre a déterminé le premier , par une très belle méthode , les moavemens de l'axe de la terre , en supposant . anx couches du sphéroïde terrestre , ooe figure et une densité cpielconque ; et non-senlement il a trouvé des résultats conformes aux observations ; il a de plus fait connaître les vraies dimensions de la petite ellipse que décrit le pAle de la terre , sur lesquelles les observations de Bradley laissaient quelque incertitude.

Les influences d'un astre sur le mouvement de l'axe terrestre et sur celui des mers , sont proportionnelles A la masse de l'astre , divisée par le cube de sa distance à la terre. La nutatîon de cet axe étant uniquement due i l'action de la lune , tandis que la précessîon moyenne des e'qnmoxes est le résultat des actions réunies de la lune et du soleil ; il est visible qne les quantités observées de ces deux phénomènes doivent donner le rapport de ces actions. En supposant avec Bradley , la précession annuelle des équinoxes, de i54",4 • et l'étendue entière de lannlation, égale à 55",6; on trouve l'action de la lune , à très peu près double de celle do

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aoleil. Mais ane Ingère diffërence dans l'ëtendue de la notation , en prodait une considérable dans le rapport des actions de ces deux astres. Les observations les pins précises donnent 58 ",oa'pour cette étendue, d'oà résulte Tj pour le rapport de la masse de la Inné i celle de la terre,

Les phénomènes de la précession et de la notation , répandent une nonvelle lumière sur la constitution du sphéroïde terrestre : ils donnent une limite de l'aplatissement de la terre supposée elliptique , et il en résulte que cet aplatissement n'est pas au-dessus de ïttt-, ce qui est coofonne au expériences du pendule. On a vu dans le chapitre VII , qu'il existe dans l'expression du rayon du sphéroïde terrestre , des termes qui peu sensibles en eux-mêmes et sur la longueur du pendule , écartent très-sensiblement les degrés des méridiens , de la figure elliptique. Ces termes disparaissent entièrement des valeurs de la précession et de la nutation , et c'est pour cela, qne ces phénomènes sont d'accord avec les expériences du pendule. L'existence de ces termes concilie donc les observations de la parallaxe lunaire , celles du pendule et des degrés des méridiens , et les phénomènes de la précession et de la nutation.

Quelles que soient la figure et la densité que l'ousnppose aux diverses couches de la terre ; qu'elle soit ou non , un solide de révolution , pourvu qu'elle dlllïre peu d'une sphère ; on peut toujours assigner un solide elliptique de révolution , avec lequel la précession et la nutation seraient les mâmes. Ainsi, dans l'hypothèse de Bouguer, dont on aparlé dans le chapitre VU, et suivant laquelle les accroissemens des degrés sont proportionnels à la quatrième puissance du sinus de la latitude , ces phénomènes sont exactement les mêmes

4oo EXPOSITION

que ai 1k terre éttât an ellipsoïde d'ane eUipticité ëgale k T^ietl'on TÏeatde voirqaelesobKFvatîoaane.permetteDt pas de lui snppoier une elUpticUé plm grande qne ïiTJi ce* obserrationt oonconrent don« avec celle* du pendule , à &ire rejeter cette hyphotlifese.

On a supposa dans ce qni précède , que la terre est entièferaeDl solide ; mais ««Ue planite étant reconverte eu grande partie , par lea eaox de U mer , leur action ne doit-elle pas cliaagcr les phénomènes de la précessiou et de la nutation P c'ait ce ^'il importe d'examiner.

Lea eaux de la mer cédant en vertu de leoz fluidité , aux attractions du soleil et de la Inae ; il semble an premier coup d'osil , que Lear réaction ne doit pwit influer sur lea mouvemeas de l'axe de la terre : aussi D'^mbert et tons les géon^res qui se sont occupés , après lui , de ces ntouTemens , l'ont entièrement négligée ; ils sont même partis de tk , ponr conotlier les quantités obserrées de la précession et de la nutation, arec les mesures dea degrés terreatres, Gtpendant, i}p plus profond examen de cette m^èra, noua monlze qne la fluidité des eaux n'ert pas une raison saffisapte pour négliger lenr effet sur la préeeasioa des éqnîooxes ; car si d'un côté , elles obéissent k l'action du. soleil et de la lune ; d'an antre oCtté, la pesanteur les ramène sans cesse Tera l'état d'équïlilwe, et ne leur pei^net de taire qne de très petites oscillations) il est donc possible que par lenr attraction et lenr pression tôt le sphéroïde qu'elles reciHiTrent, elles mïdent, «k moiu en partie, k l'axe de la terre, les moDremcns qu'il en recevrait, si elles venaient i se consolider. On -pevX d'aïjleiiis, s'aasnrer par un raisonnement fort aimjde, q«« leur réaction est du même or^e que l'action rdirecte di^

DU SYSTÈME DU MONDE. 4oi

soleil et de la lune, anr la partie solide de la terre.

Imaginona qne cette planète aoit homogène et de mime densité que la m^; snpposoiis de plus qab les eaaz prennent i cha^e instant, la figure qui convient à l'équilibre des forces qui les animent. Si dans ces hypothèses , la terre devenait tout à coup , entièrement fluide , elle conserverait la m£me fîgnre , et toutes ses parties se feraient mutuellement équilibre ; l'axe de rotation n'aurait donc aucune tendance i te mouvoir, et il est visible que cela doit subsister encore , dans le cas où une partie de cette masse formerait en se consolidant , le sphéroïde que recouvre la mer. Les hypo* thèses précédentes servent de fondement aux théories de Newton sur la figure de la terre , et sur le' flnz et le reflux de la mer ; il est assez remarquable , que dans le nomln^ infini de celles que l'on peut faire sor les mimes objets , ce grand Géomètre en ait choisi deux qui ne donnent ni précession, ni nutatioa ; ta réaction des eaux détruisant alors , l'effet de l'action du soleil et de la lune sur le noyau terrestre, quelle que soit sa figure. 11 est vrai que ces deux hypothèses et surtout la dernière , ne sont pas conformes à la nature ; mais on voit à priori, que l'eflet de la réaction des eaux, quoique différent de celui qui a lieu dans les hypothèses de Newton, est cependant du mime ordre.

Les recherches que j'aï faites sur les oscillations de la mer, m'ont donné le moyen de déterminer cet eflet de la réaction des eaux, dans les véritables hypothèses de la nature : elles m'ont conduit k ce théorème remarquable, savoir que quelles (pte soient la loi de la profondeur de la mer, et lafiffire da ^théro'ide tpi'eUe recoiwre; Us phénomènes de la précession et de la mttation sont les mêmes que si la mer formait une messe solide , Avc ce tphén;nde. a6

4o3 EXPosrriON

Si le «oleil et la luae agissaient seuls sur la teire , l'inclinaisoii moyenne de l'ëcUptii^e à Nquotenr serait constante ; mais on a va qae l'act^n des planètes change continnellement la position de l'orbe terrestre , et qa'il «a rdsnHe dans son obliquité snr l'^^oateur, ane dimination. confirmée par tontes les obserratîons anciennes et moderAes. La même cause donne aux éqnînoxes , un mouTement annnel direct de o",g65g ; ainsi, la |vé- «easion annuelle produite par l'action du soleil et de la Inné, est diminuée de cette ^uai^té, par l'action des jJanites; et sans cette action, elle serait de i55",5ga7. Ces effets de l'actioa des planètes sont indépendans de l'aplatissement du spbéroïde terrestre ; mais l'action du soleil et de la lune «or ce sphéroïde , doit les modifier et en changer les lois.

Rapportons à un plan fixe , la position de IVïrfae de la terre , et le mouvement de son axe de rotation. 11 est clair qne l'action du soleil produira dans cet ane , en vertu des variations de l'écliptiqùe, un mouvement d'oscillation analogue à la nntatiou , avec cette différence , qae la période de ces variations étant incomparablement plus loDgue que celle des variations du plan de l'orbe lunaire, l'e'tendue de l'oscillation correspondante.dans l'axe de la terre', est beaucoup plus grande que celle de la natation. L'action de la lune pro^nit dans ce même axe, une oscillation semblable;' parce que l'inclinaison moyenne de son orbe sur celui de la terre, est consta&te. Lé déplacement de l'écliptiqne, en se combinant avec l'action du soleil et de la lune sur la terre , produit donc dans son obliquité sur l'équateur , une variation très difii^eute de ce qu'elle serait en vertu de ce déplacement seul : l'étendue entière dé cette variation serait par ce déplacement, d'environ

DU SYSTÈME SXJ MONDE. 4o3

doiue degrà; et l'actioa da «oleil et tle la laae la redtiît à peu prêt i troU àegti»,

Lb variation du moaTenaent des éqnÎBOxes, produite par les mimes obums , change la dnr^e de l'ann^ tropitpie dans les ^Séreas siècle». Cette dorée dixuane, ^[nand cemouTement augmente, ce qni a lieu prdaente- Bient; et l'année actoelle estplos courte d'caviron iS", ' qu'au temps d'Hippar(|ue. Mais cette Tariatîoa dana la knignenr de l'annëe , a des limite* qni sont encore vestreintes par l'action dn soleO et de la lune sur le sphéroïde terrestre. L'étendue de ces limites serait d'euTiron Soo'i, par le déplacement seul de l'ëcliptiqne ; et elle est réduite k ilo", par cette action.

Enfin, le jour Inî-méme, td que nous l'aTons défini dans le premier livre, est assujetti par le déplacement de l'écliptiqne , combiné avec l'actioa dn soleil et de la lune, à de très petites variations indiquées par U théorie, mais qui seront toujours insensiblea aux ohservaleurs. Snivant cette théorie , U rotation de la terre est uniforme, et la durée moyenne du jour peut être ■apposée constante; résultat très important pour l'Astronomie , puisque cette durée sert de mesure an temps, et aux rérolntions des corps célestes. Si elle venait k changer, on le reconnaîtrait par les durées de ces rérolotîons qui augmenteraient ou diminueraient proportionnellement; mais l'action des corps célestes n'y caose aocnne altération sensible.

Cependant, on pourrait croire que les vents alises qui sonfiHent constamment d'orient en occident entre les tropiques, diminuent la vitesse de rotation dé la terre, par leur action sur les^continens et snr les montagnes. Ilest impossible de soumettre cette action Al'analyse : heurensemeot , on peut dém<mtrer qne son

4q4 EXPOsmoM

tnflnence bot la rotation de U terre «st nulle , aa moyen du principe de la cooserration des aires , que noas avons exposa dans le troisième livre. SnivtDt ce principe , la somme de tontes les molëcnlea de la terre , des mers et de l'almosphire, multipliées respectivement par lea airea qne décrivent autour dn centre de gravite de la terre , leora rayons vecteurs projetés sur le plan dé l'équateur, eat constante en temps égal. La chalenr du soleil n'y produit point de changement, puisqu'elle dilate également lea corps dans tous les sens ; or il est visible que si la rotation de la terre venait k diminuer, cette somme aérait plus petite , les vents alises produits par la chalenr solaire n'altèrent donc point cette rotation. Le même raisonnement nous prouve que les con< rans de la mer ne doivent y apporter aucun changement aensible. Pour en faire varier sensiblement la durée /il fiiudraît nu déplacement considérable dans les parties du sphéroïde terrestre. Ainsi , une grande masse transportée des pâles A l'équateur, rendrait cette durée pins hrague ; elle deviendrait plus courte , ai des corps Jdenses se rapprochaient du centre, ou de l'axe de la * terre. Mais nous ne voyons aucune canae qui puisse déplacer k de grandes distances , des masses asset fortes pour qu'il en résulte une variation sensible dans la durée du jour , que tout noua autorise i regarder comme l'un des élémens les plus constant dn système du monde. Il en est de même , des points où l'axe de rotation de la terre rencontre sa surface. Si cette planète tournait successivement autour de divers diamètres for. mant entre eux, des angles considérables; l'é^iatenr et les p61es changeraient de place sur la terre, et lea mera, en »e portant vers le nouvel équateur, couvriraient et découvriraient alterDattrement de hautes mon-

DU SYSTÈUB DU HOHDE. 4o5

tagnea. Mais toates les recherches que j'ai faites aar le déplacement dea pilea de rotation, i la surface de la terre , m'oat proaré qu'il est inseosible.

Do,i,7cdDïGooglc