CHAPITRE III

De l'équilibre d'un système de corps.

L e cas le plus simple de lequilibre de plusieurs corps , est celui de deux points matériels qui se a'encontrent avec des vitesses égales et directement contraires. Leur impénétrabilité mutuelle , propriété de la matière, en vertu de laquelle deux corps ne peuvent pas occuper le même lieu au même instant, anéantit évidemment leurs vitesses et les réduit à l'état du repos. Mais si deux corps de masses différentes viennent à se choquer avec des vitesses opposées, quel est le rapport des vitesses aux masses , dans le cas de l'équilibre ? Pour résoudre ce problème , imaginons un système de points matériels contigus , rangés sur une même droite, et animés d'une vitesse commune dans sa direction : concevons pareillement un second système de points matériels contigus, disposés sur la même droite, et animés d'une vitesse commune et contraire à la précédente, de manière que les deux systèmes se choquent mutuellement en se faisant équilibre. Il est clair que si le premier système n'était composé que d'un seul point matériel, chaque point du second système éteindrait dans le point choquant, une partie de sa vitesse, égale à la vitesse de ce système; la vitesse du point choquant , doit donc être dans le cas de l'équilibre , égale au produit de la vitesse du second système , par le nombre de ses points, et l'on peut substituer au premier système, un seul point animé d'une vitesse égale à ce produit. On peut semblablement substituer au second système, un point matériel animé d'une vitesse égale au produit de la vitesse du premier système , par le nombre de ses points. Ainsi, au lieu des deux systèmes, on aura deux points qui se feront équilibre avec des vitesses contraires dont lune sera le produit de

l5s EXPOSITION

La vitesse du premier système par le nombre de ses points, et dont l'autre sera le produit de la vitesse des points du second système, parleur nombre ; ces produits doivent donc être égaux dans le cas de l'équilibre. La masse d'un corps est la somme de ses points matériels. On nomme quantité de mouvement, le produit de la masse par la vitesse : c'est aussi ce que l'on entend par la force dun corps. Pour l'équilibre de deux corps ou de deux systèmes de points matériels qui se choquent en sens contraires, les quantités de mouvement ou les forces opposées doivent être égales , et par conséquent , les vitesses doivent être réciproques aux masses.

Deux points matériels ne peuvent évidemment agir l'un sur l'autre . que suivant la droite qui les joint : l'action que le premier exerce sur le second , lui communique une certaine quantité de mouvement ; or on peut avant l'action , concevoir le second corps sollicité par cette quantité et par une autre égale et directement opposée ; l'action du premier corps se réduit ainsi à détruire cette dernière quantité de mouvement; mais pour cela, il doit employer une quantité de mouvement égale et contraire , qui sera détruite. On voit donc généralement, que dans l'action mutuelle des corps, la réaction est toujours é^ale et contraire à l'action. On voit encore que cette égalité ne suppose point une force particulière dans la matière : elle résulte de ce qu'un corps ne peut acquérir de mouvement, par l'action d'un autre corps, sans l'en dépouiller; de même qu'un vase se remplit aux déns d'un vase plein qui communique avec lui.

1 /égalité de l'action à la réaction, se manifeste dans toutes les a» rions de la nature : le fer attire l'aimant comme il en est attiré : on observe la même chose dans les attractions et dans les répulsions el< < triques, et même dans le développement des forces animales; car quel que soit le principe moteur de l'homme et des animaux, il est contant qu'ils reçoivent par la réaction de la matière, une force égale < t , ii. m.' à celle qu'ils lui communiquent, et qu'ainsi sous ce rapport . ifc sont nsajettifl aux mêmes lois que les êtres inanimés.

La réciprocité des vite*» aux masses, dans le cas de l'equililne, i ;i détàrmiaa Le rapport des m.-issrs des diflerens corps. Gttta des

O0BB homogènes sont proportionnelles à leurs volumes que la GéO- • rie î.ppre.id ï me. nier, fcfitf tOUfl les , orps ne sont pas de même

DU SYSTÈME DU MONDE. i59

nature , et les différences qui existent , soit dans leurs molécules intégrantes, soit dans le nombre et la grandeur des intervalles ou pores qui séparent ces molécules, en apportent de très grandes entre leurs masses renfermées sous le même volume. La Géométrie devient alors insuffisante pour déterminer le rapport de ces masses, et il est indispensable de recourir à la Mécanique.

Si l'on imagine deux globes de différentes matières, et que l'on fasse varier leurs diamètres, jusqu'à ce qu'en Jes animant de vitesses égales et directement contraires, ils se fassent équilibre; on sera sûr qu'ils renfermeront le même nombre de points matériels, et par conséquent, des masses égales. On aura donc ainsi le rapport des volumes de ces substances à égalité de masse; ensuite, à l'aide de la Géométrie, on en conclura le rapport des masses de deux volumes quelconques des mêmes substances. Mais cette méthode serait d'un usage très pénible dans les comparaisons nombreuses qu'exigent à chaque instant, les besoins du commerce. Heureusement, la nature nous offre dans la pesanteur des corps, un moyen très simple de comparer leurs masses.

On a vu dans le chapitre précédent, que chaque point matériel dans le même lieu de la terre, tend à se mouvoir avec la même vitesse par l'action de la pesanteur : la somme de ces tendances est ce qui constitue le poids d'un corps; ainsi les poids sont proportionnels aux masses. Il suit de là que si deux corps suspendus aux extrémités d'un fil qui passe sur une poulie, se font équilibre lorsque les deux parties du fil sont égales de chaque côté de la poulie ; les masses de ces corps sont égales, puisque tendant à se mouvoir avec la même vitesse par l'action de la pesanteur, elles agissent l'une sur l'autre , comme si elles se choquaient avec des vitesses égales et directement contraires. On peut encore mettre les deux corps en équilibre, au moyen d'une balance dont les bras et les bassins sont parfaitement égaux , et alors on sera sûr de l'égalité de leurs masses. On aura ainsi le rapport des masses de différens corps, au moyen dune balance exacte et sensible , et d'un grand nombre de petits poids égaux; en déterminant le nombre de ces poids, nécessaire pour tenir ces masses en équilibre.

La densité d'un corps dépend du nombre de ses points matériels renfermés sous un volume donné ; elle est donc proportionnelle au rapport de la masse au volume. Une substance qui n'aurait point de pores,

|6o EXPOSITION

aurait la plus grande densité possible : en lui comparant la densité des autres corps, on aurait la quantité de matière qu'ils renferment. Mais tie connaissant point de substances semblables, nous ne pouvons avoir que les densités relatives des corps. Ces densités sont en raison des poids sous un même volume, puisque les poids sont proportionnels aux masses : en prenant ainsi pour unité, la densité d'une substance quelconque , à une température constante , par exemple , le maximum de densité de l'eau distillée ; la densité d'un corps sera le rapport de son poids à celui d'un pareil volume d'eau réduite à ce maximum. Ce rapport est ce que l'on nomme pesanteur spécifique.

Tout cela semble supposer que la matière est homogène , et que les corps ne diffèrent que par la figure et la grandeur de leurs pores et de leurs molécules intégrantes. Il est cependant possible qu'il y ail des différences essentielles dans la nature même de ces molécules ; et il ne répugne point au peu de notions que nous avons de la matière , de supposer l'espace céleste plein d'un fluide dénué de pores , et cependant tel qu'il n'oppose qu'une résistance insensible , aux mouvemens planétaires. On pourrait ainsi concilier l'inaltérabilité de ces mouvemens, prouvée parles phénomènes , avec l'opinion de ceux qui regardent te vide comme impossible. Mais cela est indifférent à la Mécanique qui ne considère dans les corps, que l'étendue et le mouvement. On peut alors sans craindre aucune erreur, admettre L'homogénéité des élémens de la matière ; pourvu que l'on entende par niasses égales, des niasse qui, animées de vitesses égales et directement contraires, se font

équilibre.

Dans la théorie de l'équilibre et du mouvement des corps, on fait abstraction du nombre et de la ligure des porcs dont ils sont parsemés. On peut avoir égard à la différence de leurs densités respectives, en Les supposant formés de points matériels plus ou moins denses , parfaitement libres dans les (Laides, unis entre eux par des droites sans masse, inflexibles dans Les corps durs, flexibles el extensibles dans Les corps élastiques el mous. Il est clair que dans ces suppositions, Les corps offriraient Les apparences qu'ils nous présentent .

Les conditions de l'équilibre d'un système de corps, peuvent toujours être déterminées par la Loi de la composition des forces . expo dans le premier chapitre de ce livre. Car on peu! concevoir la force

dont chaque point matériel est animé, appliquée au point de sa direction , où vont concourir les forces qui la détruisent , ou qui , en se composant avec elle , forment une résultante qui , dans le cas de l'équilibre, est anéantie par les points fixes du système. Considérons, par exemple , deux points matériels attachés aux extrémités d'un levier inflexible; et supposons ces points sollicités par des forces dont les directions soient dans un plan passant par le levier. En concevant ces forces réunies au point de concours de leurs directions, leur résultante doit, pour l'équilibre, passer par le point d'appui qui peut seul la détruire ; et suivant la loi de la composition des forces , les deux composantes doivent être alors réciproques aux perpendiculaires menées du point d'appui , sur leurs directions .

Si l'on imagine deux corps pesans attachés aux extrémités d'un levier inflexible, dont la masse soif supposée infiniment petite par rapport à celle des corps, on pourra concevoir les directions parallèles de la pesanteur, réunies à une distance infinie : dans ce cas , les forces dont chaque corps pesant est animé, ou, ce qui revient au même , leurs poids doivent pour l'équilibre , être réciproques aux perpendiculaires menées du point d'appui, sur les directions de ces forces : ces perpendiculaires sont proportionnelles aux bras du levier ; ainsi les poids de deux corps en équilibre sont réciproques aux bras du levier auquel ils sont attachés.

Un très petit poids peut donc au moyen du levier et des machines qui s'y rapportent, faire équilibre à un poids très considérable, et l'on peut de cette manière, soulever un énorme fardeau, avec un léger effort; mais il faut pour cela, que le bras du levier auquel la puissance est attachée , soit fort long par rapport à celui qui soulève le fardeau, et que la puissance parcoure un grand espace, pour élever le fardeau à une petite hauteur. Alors on perd en temps, ce que l'on gagne en force, et c'est ce qui a lieu généralement dans les machines. Mais souvent on peut disposer du temps à volonté, tandis que l'on ne peut employer qu'une force limitée. Dans d'autres circonstances où il faut se procurer une grande vitesse, on peut y parvenir au moyen du levier, en appuyant la puissance au bras le plus court. C'est dans la possibilité d'augmenter suivant les besoins, la masse ou la vitesse des corps à mouvoir, que consiste le principal avantage des machines.

l62 EXPOSITION

La considération du levier a fait naitre l'idée des momens.On nomme moment d'une force, pour faire tourner le système autour d'un point, lu produit du cette force par la distance du point à sa direction. Ainsi, dans le cas de l'équilibre d'un levier aux extrémités duquel deux forces sont appliquées , les momeiis de ces forces par rapport au point d'appui, doivent être égaux et contraires, ou, ce qui revient au même, la somme des momens doit être nulle relativement à ce point.

La projection d'une force sur un plan mené par un point fixe, multipliée par la distance du point à cette projection, est ce que l'on nomme moment de la force pour faire tourner le système autour de l'axe qui passant par le point fixe, est perpendiculaire au plan.

Le moment de la résultante d'un nombre quelconque de forces, par rapport à un point ou à un axe quelconque , est égal à la somme des momens semblables des forces composantes.

Les forces parallèles pouvant être supposées se réunir à une distance infinie , elles sont réductibles à une résultante égale à leur somme et qui leur est parallèle ; en décomposant donc chaque force d'un système de corps, en deux, l'une située dans un plan, l'autre perpendiculaire à ce plan ; toutes les forces situées dans le plan , seront réductibles à une seule, ainsi que toutes les forces perpendiculaires au plan. Il existe toujours un plan passant par le point fixe , et tel que la résultante des forces qui lui sont perpendiculaires, est nulle ou passe par ce point : dans ces deux cas, le moment de cette résultante est nul relativement aux axes qui ont ce point pour origine, et le moment des forces du système par rapport à ces axes, se réduit au moment de la résultante située dans le plan dont il s'agit. L'axe autour duquel ce moment est un maximum , est celui qui est perpendiculaire à ce plan, et le moment des forces du système., relatif à un axe qui, passant par Le point fixe, ferme un angle quelconque avec l'axe du plus grand moment, esl égal au plus grand moment du système, multiplié parle cosinus <l<- cet angle; en sorte que de moment est nul pour tous les axes situés dans le plan auquel l'ave du plus grand moment est perpendiculaire.

La somme des Carrés des cosinus des angles formes par 1 a\e du plus grand moment, et par trois axes quelconques perpendiculaires entre, eux et pâSSanl par Le point lixe, étant égale à l'unité; les carres

des trois sommes de motneus des forces, relativement à ces axes, sont égaux au carre' du plus grand moment.

Pour l'équilibre d'un système de corps liés invariablement entre eux et pouvant se mouvoir autour d'un point fixe, la somme des momens des forces doit être nulle par rapport à un axe quelconque passant par ce point. Il suit de ce qui précède, que cela aura lieu généralement , si cette somme est nulle relativement à trois axes fixes perpendiculaires entre eux. S'il n'y a pas de point fixe dans le système ; il faut de plus pour l'équilibre , que les trois sommes des forces décomposées parallèlement à ces axes, soient nulles séparément.

Considérons un système de points pesans attachés fixement ensemble, et rapportés à trois plans perpendiculaires entre eux et liés au système. En décomposant l'action de la pesanteur, parallèlement aux intersections de ces plans ; toutes les forces parallèles au même plan , peuvent se réduire à une seule résultante parallèle à ce plan , et égale à leur somme. Les trois résultantes relatives aux trois plans doivent concourir au même point; puisque les actions de la pesanteur sur les divers points du système, étant parallèles, elles ont une résultante unique que l'on obtient en composant d'abord deux de ces forces ; ensuite leur résultante , avec une troisième ; la résultante des trois forces avec une quatrième, et ainsi du reste. La situation de ce point de concours , par rapport au système , est indépendante de l'inclinaison des plans sur la direction de la pesanteur; car une inclinaison plus ou moins grande ne fait que changer les valeurs des trois résultantes partielles , sans altérer leur position relative aux plans ; en supposant doncce point, fixe; tous les efforts des poids du système seront anéantis, dans toutes les positions qu'il peut prendre en tournant autour de ce point que l'on a nommé par cette raison, centre de gravité du système.

Concevons la position de ce centre , et celle des divers points du système, déterminées par des coordonnées parallèles à trois axes perpendiculaires entre eux. Les actions de la pesanteur étant égales et parallèles, et la résultante de ces actions sur le système, passant dans toutes ses positions, par son centre de gravité; si l'on suppose cette résultante successivement parallèle à chacun des trois axes , l'égalité du moment de la résultante , à la somme des momens des composantes ,

l64 EXPOSITION

donne l'une quelconque des coordonnées de ce centre, multipliée par la masse entière du système , égale à la somme des produits de la masse de chaque point, par sa coordonnée correspondante. Ainsi la détermination du centre de gravité , dont la pesanteur a fait naître l'idée, en est indépendante. La considération de ce centre, étendue à un système de corps pesans ou non pesans, libres ou liés entre eux d'une manière quelconque, est très utile dans la mécanique.

En généralisant le théorème que nous avons donné à la fin du premier chapitre, sur l'équilibre d'un point; on est conduit au théorème suivant qui renferme de la manière la plus générale, les conditions de l'équilibre d'un système de points matériels animés par des forces quelconques.

Si l'on change infiniment peu la position du système, d'une manière compatible avec la liaison de ses parties , chaque point matériel s'avancera dans la direction de la force qui le sollicite , d'une quantité égale à la partie de cette direction , comprise entre la première position du point, et la perpendiculaire abaissée de la seconde position du point, sur cette direction. Cela posé '.dans Vétat d équilibre , la somme des produits de chaque force par la quantité dont le point auquel elle est appliquée, s'avance dans sa direction, est nulle; et réciproquement, si cette somme est nulle, quelle que soit la variation du système , H est en équilibre. C'est en cela que consiste le principe des vitesses virtuelles , principe dont on est redevable à Jean Bernouilli. Mais pour en faire usage, il faut observer de prendre négativement, les produits que nous venons d'indiquer, relatifs aux points qui , dans le changement de position du système, s'avancent en sens contraire de la direction de leurs forces : il faut se rappeler encore, que la force est le produit de la masse d'un point matériel , par la vitesse qu'elle lui ferait prendre , vil était libre.

En concevant la position de chaque point du système, détertamëe par trois coordonnées rectangles; la somme des produits de chaque force, par la quantité .dont le point qu'elle sollicite, s'avance dans 98 direction, Lorsqu'on fait varier infiniment peu le système, sera « \prinin- par une fonction linéaire des variations des i ooidonnées d< difierens points : ces variations ont entre elleaj des rapports résultans

d«- la liaison des parties <lu système j en réduisant donc au moyen de

ces rapports, les variations arbitraires au plus petit nombre possible > dans la somme précédente qui doit être nulle pour l'équilibre; il faudra pour qu'il ait lieu dans tous les sens, égaler séparément à zéro, le coefficient de chacune des variations restantes, ce qui donnera autant d'équations qu'il y aura de ces variations arbitraires. Ces équations réunies à celles que donne la liaison des parties du système , renfermeront toutes les conditions de son équilibre.

Il existe deux états d'équilibre, très distincts. Dans l'un, si l'on trouble un peu l'équilibre, tous les corps du système ne font que de petites oscillations autour de leur position primitive; et alors, l'équilibre est ferme ou stable. Cette stabilité est absolue , si elle a lieu quelles que soient les oscillations du système : elle n'est que relative, si elle n'a lieu que par rapport aux oscillations d'une certaine espèce. Dans l'autre état d'équilibre, les corps s'éloignent de plus en plus de leur position primitive , lorsqu'on les en écarte. On aura une juste idée de ces deux états , en considérant une ellipse placée verticalement sur un plan horizontal. Si l'ellipse est en équilibre sur son petit axe, il est clair qu'en l'écartant un peu de cette situation, par un petit mouvement sur elle-même, elle tend à y revenir en faisant des oscillations que les frottemens et la résistance de l'air auront bientôt anéanties. Mais si l'ellipse est en équilibre sur son grand axe ; une fois écartée de cette situation, elle tend à s'en éloigner davantage, et finit par se renverser sur son petit axe. La stabilité de l'équilibre dépend donc de la nature des petites oscillations que le système troublé d'une manière quelconque , fait autour de cet état. Pour déterminer généralement de quelle manière les divers états d'équilibre stable ou non stable se succèdent, considérons une courbe rentrante placée verticalement dans une situation d'équilibre stable. Dérangée un peu de cet état, elle tend à y revenir : cette tendance varie à mesure que l'écartement augmente, et lorsqu'elle devient nulle, la courbe se retrouve dans une situation nouvelle d'équilibre, mais qui n'est point stable, puisque la courbe avant d'y arriver, tendait encore vers son premier état. Au-delà de cette dernière situation , la tendance vers le premier état et par conséquent vers le second, devient négative jusqu'à ce qu'elle redevienne encore nulle; et alors, la courbe est dans une situation d'équilibre

l66 EXPOSITION

stable. En continuant ainsi , on voit que les états dequilibre stable et non stable, se succèdent alternativement, comme les niaxima et les minima des ordonnées dans les courbes. Il est facile d'étendre le même raisonnement, aux divers états d'équilibre d'un système de corps.

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