CHAPITRE II

Des perturbations du mouvement elliptique des planètes.

Oi les planètes n'obéissaient qu'à l'action du soleil, elles décriraient autour de lui , des orbes elliptiques. Mais elles agissent les unes sur les autres : elles agissent e'galement sur le soleil ; et de ces attractions diverses, il résulte dans leurs mouvemens elliptiques, des perturbations que les obsei-vations font entrevoir , et qu'il est nécessaire de déterminer, pour avoir des tables exactes des mouvemens planétaires. La solution rigoureuse de ce problème, surpasse les moyens actuels de l'analyse, et nous sommes forcés de recourir aux approximations. Heureusement, la petitesse des masses des planètes eu égard à celle du soleil , et le peu d'excentricité et d'inclinaison mutuelle de la plupart de leurs orbites, donnent de grandes facilités pour cet objet. Néanmoins , il reste encore ti'ès compliqué , et l'analyse la plus délicate et la plus épineuse est indispensable, pour démêler dans le nombre infini des inégalités auxquelles les planètes sont assujetties, celles qui sont sensibles , et pour assigner leurs valeurs.

Les perturbations du mouvement elliptique des planètes, peuvent être partagées en deux classes très distinctes ; les unes affectent les élémens du mouvement elliptique , et croissent avec une extrême lenteur : on les a nommées inégalités séculaires. Les autres dépendent de la configuration des planètes , soit entre elles ^ soit à l'égard de leurs nœuds et de leurs périhélies , et se rétablissent toutes les fois que ces configurations redeviennent les mêmes \ elles ont été nommées inégalités périodiques , pour les distinguer des inégalités séculaires qui sont également périodiques , mais dont les périodes beaucoup plus longues sont indépendantes de la configuration mutuelle des planètes.

La manière la plus simple d'envisager ces diverses perturbations , consiste à imaginer une planète mue conformément aux lois du mouvement elliptique, sur une ellipse dont les elëmens varient par des nuances msensiljles ; et à concevoir en même temps que la vraie planète oscille autour de cette planète fictive, dans un très petit orbe dont la nature dépend de ses perturbations périodiques.

Considérons d'abord les inégalités séculaires qui, en se développant avec les siècles, doivent changer à la longue, la forme et la position de tous les orbes planétaires. La plus importante de ces inégalités, est celle qui peut affecter les moyens mouvemens des planètes. En comparant entre elles, les observations faites depuis le renouvellement de l'Astronomie, le mouvement de Jupiter a paru plus rapide, et celui de Saturne, plus lent que par la comparaison de ces mêmes observations, aux observations anciennes. Les Astronomes en ont conclu que le premier de ces mouvemens s'accélère, tandis que le second se ralentit de siècle en siècle; et pour avoir égard à ces changemens, ils ont introduit dans les tables de ces planètes, deux équations séculaires croissantes comme les carrés des temps, l'une additive au moyen mouvement de Jupiter, et l'autre soustractive de celui de Saturne Suivant Halley, l'équation séculaire de Jupiter est de io6" pour le premier siècle, à partir de 1700 : l'équation correspondante de Saturne est de ^56",94. Il était naturel d'en chercher la cause, dans l'action mutuelle de ces planètes les plus considérables de notre système. Euler qui s en occupa le premier, trouva une équation séculaire égale pour ces deux planètes, et additive à leurs moyens mouvemens; ce qui répugne aux observations. Lagrange obtint ensuite des résultats qui leur sont plus conformes : d'autres Géomètres trouvèrent d'autres équations. Frappé de ces différences, j'examinai de nouveau, cet objet; et en apportant le plus grand soin à sa discussion, je parvins à la véritable expression analytique du mouvement séculaire des planètes. En y substituant les valeurs numériques des quantités relatives a Jupiter et à Saturne, je fus surpris de voir qu'elle devenait nulle Je soupçonnai que cela n'était point particulier à ces planètes , et que SI Ion mettait cette expression sous la forme la plus simple dont elle est susceptible, en réduisant au plus petit nombre, les diverses quantités qu'elle renferme , au moyeu des relations qui existent entre

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elles; tous ces termes se dëtriiiraieiit mutuellement. Le calcul confirma ce soupçon , et m'apprit qu'en général , les moyens mouvemens des planètes et leurs distances moyennes au soleil, sont invariables, du moins quand on néglige les quatrièmes puissances dos excentricités et des inclinaisons des orbites, et les carrés des masses perturbatrices; ce qui est plus que suffisant pour les besoins actuels de l'Astronomie. Lagrange a confirmé depuis, ce résultat, en faisant voir par une très belle méthode, quil a lieu en ayant même égard aux puissances et aux produits d'un ordre quelconque, des excentricités et des inclinaisons; et M. Poisson a fait voir par une savante analyse, que le même résultat subsiste en étendant les approximations aux carrés et aux produits des masses des planètes. Ainsi les variations obsei^vécs dans les moyens mouvemens de Jupiter et de Saturne, ne dépendent point de leurs inégalités séculaires.

La constance des moyens mouvemens des planètes et des grands axes de leurs orbites, est un des phénomènes les plus remarquables du système du monde. Tous les autres élémens des ellipses planétaires, sont variables : ces ellipses s'approchent ou s'éloignent insensiblement de la forme circulaire : leurs inclinaisons sur un plan fixe et sur l'écliptique, augmentent ou diminuent : leurs périhélies et leurs nœuds sont en mouvement. Ces variations produites par l'action mutuelle des planètes, s'exécutent avec tant de lenteur, que pendant plusieurs siècles, elles sont a peu près proportionnelles aux temps. Déjà les observations les ont fait apercevoir : on a vu dans le premier livre , que le périhélie de l'orbe terrestre a présentement un mouvement annuel direct, de 36", et que la diminution séculaire de l'inclinaison de cet orbe à l'équateur, est de 148". Euler a développé, le premier, la cause de cette diminution que toutes les planètes concourent maintenant à produire par la situation respective des plans de leurs orbes. Ces variations de l'orbe terrestre ont fait coïncider le périgée du soleil , avec l'équinoxe du printemps , à une époque à laquelle on peut remonter par l'analyse , et que je trouve antérieure à notre ère , de 4089 ans. Il est remarquable que cette époque astronomique soit a peu près celle où la plupart des chronologistes placent la création du monde. Ijcs observations anciennes ne sont pas assez précises, et les observations modernes sont trop rapprochées pour fixer avec

exactitude , la quantité des grands changemens des orbes planétaires ; cependant elles se réunissent à prouver leur existence , et à faire voir que leur marche est celle qui dérive de la loi de la pesanteur universelle. On pourrait donc par la théorie, devancer les observations et assigner les vraies valeurs des inégalités séculaires des planètes, si l'on avait leurs masses j et l'un des plus sûrs moyens de les obtenir , sera le développement de ces inégalités par la suite des temps. Alors on pourra remonter par la pensée , aux changemens successifs que le système planétaire a éprouvés ; on pourra prévoir ceux que les siècles à venir offriront aux observateurs ; et le Géomètre embrassera d'un coup d'oeil dans ses formules, tous les états passés et futurs de ce système.

Ici, se présentent plusieurs questions intéressantes. Les ellipses planétaires ont-elles toujours été, et seront-elles toujours à peu près circulaires ? quelques-unes des planètes n'ont-elles pas été originairement des comètes dont les orbes ont peu à peu approché du cercle , par l'attraction des autres planètes ? la diminution de l'obliquité de l'écliptique, continuera-t-elle au point de faire coïncider l'écliptique avec l'équateur, ce qui produirait l'égalité constante des joure et des nuits sur toute la terre ? L'analyse répond à ces questions diverses , d'une manière satisfaisante. Je suis parvenu à démontrer que, quellet que soient les masses des planètes, par cela seul qu'elles se meuven toutes dans le même sens , et dans des orbes peu excentriques et peu inclinés les uns aux autres; leurs inégalités séculaires sont périodiques et renfermées dans d'étroites limites, en sorte que le système planétaire ne fait qu'osciller autour d'un état moyen dont il ne s'écarte jamais que d'une très petite quantité. Les ellipses des planètes ont donc toujours été et seront toujours presque circulaires; d'où il suit qu'aucune planète n'a été primitivement une comète , du moins si l'on n'a égard qu'à l'action mutuelle des corps du système planétaire. L'écliptique ne coïncidera jamais avec l'équateur, et l'étendue entière des variations de son inclinaison, ne peut pas excéder trois degrés.

Les mouvemens des orbes planétaires et des étoiles embarrasseront, un jour, les Astronomes , lorsqu'ils chercheront à comparer des observations précises , séparées par de longs intervalles de temps. Déjà cet

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embarras commence à se faire sentir; il est donc intéressant de pouvoir retrouver au milieu de tous ces changemens, un plan invariable ou qui conserve toujours une situation parallèle. Nous avons exposé à la fin du livre précédent , un moyen simple pour détcirniner un plan semblable, dans le mouvement d'un système de corps qui ne sont soumis qu'à leur action mutuelle ; ce moyen appliqué au système solaire, donne la règle suivante.

« Si à un instant quelconque , et sur un plan passant par le centre » du soleil, on mène de ce point, des droites aux nœuds ascendans » des orbes planétaires avec ce dernier plan; si l'on prend sur ces » droites , a partir du centre du soleil, des lignes qui représentent les )) tangentes des inclinaisons des orbes sur ce plan ; si l'on suppose )) ensuite aux extrémités de ces lignes, des masses proportionnelles )) aux masses des planètes, multipliées respectivement par les racines » carrées des paramètres des orbes , et par les cosinus de leurs incli- >) naisons ; enfin si l'on détermine le centre de gravité de ce nouveau » système de masses; la droite menée de ce point au centre du soleil, » représentera la tangente de l'inclinaison du plan invariable, sur le » plan donné; et en la prolongeant au-delà de ce point, jusqu'au ciel, » elle y marquera la position de son nœud ascendant. »

Quels que soient les changemens que la suite des siècles amène dans les orbes planétaires , et le plan auquel on les rapporte; le plan déterminé par cette règle, conservera toujours une situation parallèle. Sa position dépend, à la vérité, des masses des planètes; mais elles seront bientôt suffisamment connues, pour la fixer avec exactitude. En adoptant les valeurs de ces masses, que nous donnerons dans le chapitre suivant , on trouve que la longitude du nœud ascendant du plan invariable , était de ii4°770o8, au commencement du dix-neuvième siècle, et que son inclinaison à l'écliptique était de i°,7565, à la même époque.

Nous faisons ici abstraction des comètes qui , cependant, doivent influer sur la position de ce plan invariable ; puisqu'elles font partie du système solaire. Il serait facile d'y avoir égard par la règle précédente, si leui^ niasses et les élémens de leurs orbes étaient connus. Mais dans l'ignorance où nous sommes sur ces objets, nous supposons