CHAPITRE IT

Du mouvement d'un point matériel.

Un point en repos, ne peut se donner aucun mouvement; puisqu'il ne renferme pas en soi , de raison pour se mouvoir dans un sens plutôt que dans un autre. Lorsqu'il est sollicité par ime force quelconque et ensuite abandonné à lui-même, il se meut constamment d'une manière uniforme dans la direction de cette force, s'il n'éprouve aucune résistance; c'est-à-dire, qu'à chaque instant, sa force et la direction de son mouvement sont les mêmes. Cette tendance de la matière à persévérer dans son état de mouvement ou de repos, est ce que l'on nomme inertie : c'est la premièi-e loi du mouvement des corps.

La direction du mouvement en ligne droite, suit évidemment de ce qu'il n'y a aucune raison pour que le point s'écarte plutôt à droite, qu'à gauche de sa direction primitive; mais l'uniformité de son mouvement n'est pas de la même évidence. La nature de la force motrice étant inconnue, il est impossible de savoir à priori, si cette force doit se conserver sans cesse. A la vérité, lui corps étant incapable de se donner aucun mouvement, il paraît également incapable d'altérer celui qu'il a reçu; en sorte que la loi d'inertie est au moins, la plus naturelle et la plus simple que l'on puisse imaginer. Elle est d'ailleurs confirmée par l'expérience : en effet, nous observons stu" la terre, que les mouvemens se perpétuent plus long-temps, à mesure que les ob- .stades qui s'y opposent , viennent à diminuer; ce qui nous porte à croire que sans ces obstacles, ils dureraient toujours. Mais l'inertie de la matière est principalement remarquable dans les mouvemens célestes cpii, depuis un grand nombre de siècles, n'ont point éprouvé d'altération sensible. Ainsi , nous regarderons l'inertie comme une

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loi de la nature; et lorsque nous observerons de l'altération dans le mouvement d'un corps, nous supposerons qu'elle est due à l'action d'iHie cause étrangère.

Dans le mouvement uniforme, les espaces parcourus sont proportionnels aux temps; mais le temps employé à décrire un espace déterminé, est plus ou moins long, suivant la grandeur de la force motrice. Cette différence a fait naître l'idée de vitesse qui, dans le mouvement uniforme , est le rapport de l'espace au temps employé à le parcourir. Pour ne pas comparer ensemble des quantités hétérogènes, telles que l'espace et le temps; on j)rend un intervalle de temps, la seconde, par exemple, pour unité de temps; on choisit pareillement une unité d'espace, telle que le mètre; et alors l'espace et le temps sont des nombres abstraits qui expriment combien ils renferment d'unités de leur espèce; on peut donc les comparer l'un à l'autre. La vitesse devient ainsi le rapport de deux nombres abstraits, et son unité est la vitesse d'un corps qui parcourt un mètre dans une seconde. En réduisant de cette manière, l'espace, le temps et la vitesse, à des nombres abstraits; on voit que l'espace est égal au produit de la vitesse par le temps qui conséquemment est égal à l'espace divisé par la vitesse.

La force n'étant connue que par l'espace qu'elle fait décrire dans un temps déterminé; il est naturel de prendre cet espace pour sa mesure. Mais cela suppose que plusieurs forces agissant à la fois et dans le même sens , sur un corps, lui feront parcourir durant une unité de temps , un espace égal à la somme des espaces que chacune d'elles eût fait parcourir séparément; ou, ce qui revient au même , que la force est proportionnelle à la vitesse. C'est ce que nous ne pouvons pas savoir à priori, vu notre ignorance sur la nature de la force motrice : il laut donc encore sur cet objet , recourir à l'expérience ; car tout ce qui n'est pas une suite nécessaire du peu de données que nous avons sur la nature des choses, n'est pour nous qu'iui résultat de l'observation.

La force peut être exprimée par luie intînité de fonctions de la vitesse, qui n'impliquent pas contradiction. Il n'y en a point, par exemple, à la supposer proportionnelle au carré de la vitesse.

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Dans cette hypothèse, il est facile de déterminer le mouvement d'un point sollicité par un nombre quelconque de forces dont les vitesses sont connues; car si l'on prend sur les directions de ces forces, à partir de leurs concours, des droites poiu- représenter les vitesses qu'elles imprimeraient séparément au point matériel; et si l'on détermine sur ces mêmes directions, en partant du même concours, de nouvelles droites qui soient entre elles, comme les carrés des premières; ces droites pourront représenter les forces elles-mêmes. En les composant ensuite par ce qui précède, on aura la direction de la résultante, ainsi que la droite qui l'exprime. On voit par là , comment on peut déterminer le mouvement d'un point, quelle que soit la fonction de la vitesse qui exprime la force. Parmi toutes les fonctions mathématiquement possibles, examinons quelle est celle de la nature.

On observe sur la terre, qu'un corps sollicité par luie force quelconque, se meut de la même manière, quel que soit l'angle que la direction de cette force, fait avec la direction du mouvement commun au corps et à la partie de la surface terrestre, à laquelle il répond. Une légère différence à cet égard , ferait varier très sensiblement la durée des oscillations du pendule, suivant la position du plan vertical dans lequel il oscille ; et l'expérience fait voir que dans tous les plans verticaux, cette durée est exactement la même. Dans un vaisseau dont le mouvement est uniforme, un mobile soumis à l'action d'un ressort, de la pesanteur, ou de toute autre force, se meut relativement aux parties du vaisseau, de la même manière, quelles que soient la vitesse du vaisseau et sa direction. On peut donc établir comme une loi générale des mouvcmens terrestres, que si dans un système de corps emportés d'iui mouvement commun, on imprime à l'un d'eux, une force quelconque; son mouvement relatif ou apparent sera le même, quel que soit le mouvement général du système, et l'angle que fait sa direction avec celle de la force imprimée.

La proportionnalité de la force à la vitesse, résulte de cette loi supposée rigoureuse; car si l'on conçoit deux corps mus sur une même droite avec des vitesses égales, et qu'en imprimant à l'un d'eux, une force qui s'ajoute à la première, sa vitesse relativement à l'autre corps, >oit la même que si les deux corps étaient primitivement en repos;

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il est visible que l'espace décrit par le corps en vertu de sa force primitive et de celle qui lai est ajoutée, est alors égal à la somme des espaces que chacune d'elles eût fait décrire dans le même temps; ce qui suppose la force proportionnelle à la vitesse.

Réciproquement, si la force est proportionnelle à la vitesse, les mouvemons relatifs d'un système de corps animés de forces quelconques, sont les mêmes, quel que soit leiu- mouvement commun; car ce mouvement décomposé en trois antres parallèles à trois axe fixes, ne fait qu'accroître d'une même quantité, les vitesses partielles de chaque corps, parallèlement à ces axes; et comme la vitesse relative ne dépend ([ue de la différence de ces vitesses partielles, elle est la même, quel que soit le mouvement commun à tous les corps. Il est donc impossible alors de juger du mouvement absolu d'un système dont on fait partie, par les apparences que l'on y observe. C'est ce qui caractérise cette loi dont l'ignorance a retardé la connaissance du vrai système du monde, par la difficulté de concevoir les mouvemens relatifs des projectiles, au-dessus de la terre emportée par im double mouvement de rotation sur elle-même, et de révolution autoin- du soleil.

Mais vu l'extrême petitesse des mouvemens les plus considérables que nous puissions imprimer aux corps, eu égard au mouvement qui les emporte avec la terre; il suffit, pour que les apparences d'un système de corps soient indépendantes de la direction de ce mouvement, c|u'un petit accroissement dans la force dont la terre est animée, sott à l'accroissement correspondant de sa vitesse, dans le rapport de ces quantités elles-mêmes. Ainsi, nos expériences prouvent seulement la réalité de cette proportion qui, si elle avait lieu, quelle que fût la vitesse de la terre, <lonnerait la loi de la vitesse pioportionnelle à la force. Elle donnerait encoie cette loi, si la fonction de la vitesse, qui exprime la force, n'était composée que d'un seul terme. Il faudrait donc, si la vitesse n'était pas proportionnelle à la force, supposer que dans la natiu-e, la fonction de la vitesse, cpii exprime la force, est formée de plusieurs termes; ce qui est peu probable. 11 laudrait supposer de plus, que la vitesse de la terre est exactement celle qui convient à la proportion précédente, ce qui est contre toute vraisemblance. D'ailleurs, la vitesse de la terre, varie dans les diverses saisons

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de l'année : elle est d'un trentième environ plus grande en hiver, qu'en été. Cette variation est plus considérable encore, si comme tout l'indique, le système solaire est en mouvement dans l'espace; car selon que ce mouvement progressif est contraire au mouvement terrestre , ou conspire avec lui, de grandes variations annuelles doivent en résulter dans le mouvement absolu de la terre; ce qui devrait altérer la proportion dont il s"agit, et le rapport de la force imprimée, à la vitesse relative qu'elle produit; si cette proportion et ce rapport n'étaient pas indépendans de la vitesse absolue.

Tous les phénomènes célestes viennent à l'appui de ces preuves. La vitesse de la lumière, déterminée par les éclipses des satellites de Jupiter, se compose avec celle de la terre, exactement comme dans la loi de la proportionnalité de la force à la vitesse; et tous les mouvemens du système solaire, calculés d'après cette loi, sont entièrement conformes aux observations.

Voilà donc deux lois du mouvement, savoir, la loi d'inertie et celle de la force proportionnelle à la vitesse, qui sont données par l'observation. Elles sont les plus naturelles et les plus simples que l'on puisse imaginer, et sans doute, elles dérivent de la nature même de la matière; mais cette nature étant inconnue, ces lois ne sont pour nous, que des faits observés, les seuls, au reste, que la Mécanique emprunte de l'expérience.

La vitesse étant proportionnelle à la force, ces deux quantités peuvent être représentées l'une par l'autre ; on aura donc par ce qui précède, la vitesse d'un point sollicité par un nombre quelconque de forces dont on connaît les directions et les vitesses.

Si le point est sollicité par des forces agissant d'une manière continue; il décrira d'un mouvement sans cesse variable, une courbe dont la nature dépend des lorces qui la font décrire. Pour la déteiminer, il faut considérer la courbe dans ses élémens, voir comment ils naissent les uns des autres, et remonter de la loi {l'accroissement des coordoiuiées, à leur expression finie. C'est précisément l'objet du calcul infinitésimal dont l'heureuse découverte a procuré tant d'avantages a la Mécanique; et l'on sent combien il est utile de perfectionner ce puissant instrument de l'esprit humain.

Nous avons dans la pesanteur, un exemple journalier d'une force

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qui semble agir sans interruption. A la vérité, nous ignorons si ses actions successives sont séparées par des intervalles de temps, dont la durée est insensible; mais les phénomènes étant à très peu près les mêmes, dans cette hypothèse et dans celle d'une action continue, les géomètres ont préféré celle-ci, comme étant plus commode et plus simple. Développons les lois de ces phénomènes.

Ua pesanteur parait agir de la même manière sur les corps , dans l'état du repos et dans celui du mouvement. Au premier instant , un corps abandonné à son action, acquiert un degré de vitesse, infiniment petit : un nouveau degré de vitesse s'ajoute au premier, dan.s le second instant, et ainsi de suite; en sorte que la vitesse augmente en raison du temps.

Si l'on imagine un triangle rectangle dont un des côtés représente le temps et croisse avec lui, l'autre côté pourra représenter la vitesse. L'élément de la surface de ce triangie, étant égal au produit de l'élément du temps, par la vitesse, il représentera l'élément de l'espace que la pesanteur fait décrire; cet espace sera ainsi représenté par la surface entière du triangle qui croissant comme le carré d'un de ses côtés, fait voir que dans le mouvement accéléré par la pesanteur, les vitesses augmentent comme les temps ; et les hauteurs dont le corps tombe en partant du repos, croissent comme le carré des temps ou des vitesses. En exprimant donc par l'unité l'espace dont un corps descend dans la première seconde; il descendra de quatre unités, en deux secondes; de neuf unités, en trois secondes, et ainsi du reste ; en sorte qu'à chaque seconde, il décrira des espaces croissant comme les nombres impairs 1,3,6,7, etc.

L'espace qu'un corps en vertu de la vitesse acquise à la tin de sa chute, décrirait pendant un temps égal à sa durée, serait le produit de ce temps par sa vitesse : ce produit est le double de la surface du trian<ïle; ainsi le corps mû uniformément en vertu de sa vitesse acquise, décrirait dans un temps égal à celui de sa chute, un espace (louble de celui qu'il a parcouru.

Le rapport de la vitesse acquise, au temps, est constant pour une même force accélératrice : il augmente ou diminue, suivant que ces forces sont plus ou moins grandes; il peut donc servir à les expruner. Le double de l'espace parcouru, étant le produit du temps i)ar la vire)..

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tesse; la force accélératrice est égale à ce double espace divisé par le carré du temps. Elle est encore égale au carré de la vitesse, divisé par ce double espace. Ces trois manières d'exprimer les forces accélératrices, sont utiles dans diverses circonstances : elles ne donnent pas les valeurs absolues de ces forces, mais seulement leurs rapports entre elles; et dans la Mécanique, on n'a besoin que de ces rapports. Sur un plan incliné, l'action de la pesanteur se décompose en deux autres; l'une perpendiculaire au plan , est détruite par sa résistance; l'autre parallèle au plan, est à la pesanteur primitive, comme la hauteur du plan est à sa longueur. Le mouvement est donc uniformément accéléré sur les plans inclinés, mais les vitesses et les espaces parcourus, sont aux vitesses et aux espaces parcourus dans le même temps, suivant la verticale, dans le rapport de la hauteur du plan à sa longueur. Il suit de là que toutes les cordes d'un cercle, qui aboutissent à l'une des extrémités de son diamètre vertical, sont décrites par l'action de la pesanteur, dans le même temps que son diamètre.

Un projectile lancé suivant une droite quelconque, s'en écaite sans cesse, en décrivant une courbe concave vers l'horizon, et dont cette droite est la première tangente. Son mouvement rapporté à cette droite par des lignes verticales, est uniforme; mais il s'accélère suivant ces verticales, conformément aux lois que nous venons d'exposer; en élevant donc de chaque point de la courbe, des verticales prolongées jusqu'à la première tangente, elles seront proportionnelles aux carrés des parties correspondantes de cette tangente, propriété qui caractérise la parabole. Si la force de projection est dirigée suivant la verticale elle-même, la parabole se confond alors avec elle; ainsi les formides du mouvement parabolique embrassent les mouvemens accélérés ou retardés dans la verticale.

Telles sont les lois de la chute des graves, découvertes par Galilée. Il nous semble aujourd'hui, qu'il était facile d'y parvenir; mais puisqu'elles avaient échappé aux recherches des philosophes, malgré les phénomènes qui les reproduisaient sans cesse; il fallait un rare génie, pour les démêler dans ces phénomènes.

On a vu dans le premier livre, qu'iui point maléri(>l suspendu à l'extrémité d'une droite sans masse, et fixe à son autre extrémité, forme le pendule simple. Ce pendule écarté de la verticale, tend à y

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revenir par sa pesanteur, et cette tendance est à très peu près proportionnelle à cet écart, s'il est peu considérable. Imaginons deux pendules de même longueur, et partant au même instant a\ ec des vitesses très petites, de la situation verticale. Ils décriront au premier instant, des arcs proportionnels à ces vitesses. Au commencement d'un second instant égal au premier, les vitesses seront retardées proportioiniellement aux arcs décrits, et par conséquent aux vitesses primitives; les arcs décrits dans cet instant, seront donc encore proportionnels à ces vitesses. Il en sera de même des arcs décrits au troisième instant, au cjuatrième, etc. Ainsi à chaque instant, les vitesses et les arcs mesurés depuis la verticale, seront proportionnels aux vitesses primitives; les pendules arriveront donc au même moment, à l'état de repos. Ils reviendront ensuite veis la verticale, par un mouvement accéléré suivant les mêmes lois par lesquelles leur vitesse avait été retardée, et ils y parviendront au même instant, et avec leur vitesse primitive. Ils oscilleront de la même manière, de l'autre côté de la verticale, et ils continueraient d'osciller à riiifuii, sans les lésistances qu'ils éprouvent. Il est visible que l'étendue de leurs oscillations est proportionnelle à leur vitesse primitive; mais la durée de ces oscillations est la même, et par conséquent indépendante de leur grandeur. La force cpii accélère ou retarde le pendule, n'étant pas exactement en raison de l'arc mesuré depuis la verticale; cet isochronisme n'est qu'approché relativement aux petites oscillations d'un corps pesant, mù dans lui cercle. Il est rigoureux dans la coiube sur laquelle la pesanteur décomposée parallèlement à la tangente, est proportionnelle à l'arc compté du point le plus bas; ce qui donne immédiatement son équation différentielle. Huygens à qui l'on doit l'application du pendule aux horloges, avait intérêt de connaître cette courbe, et la manière de la faire décrire au pendule. Il trouva qu'elle est une cycloïde placée verticalement , en sorte que son sommet soit le point le plus bas; et que pour la faire décrire à un corps suspendu à l'extrémité d'un fil inextensible, il suffit de fixer l'autre extrémité, à l'origine commune de deux cycloïdes égales à celles que Ton veut faire décrire, et placées verticalement en sens contraire, de manière que le fil, en oscillant, enveloppe alternativement chacune de ces courbes. Quelque ingénieuses que soient ces recherches, l'expérience

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a fait préférer le pendule circulaire, comme étant beaucoup plus simple, et d'une précision suffisante même à l'Astronomie. Mais la théorie des développées, qu'elles ont fait naître, est devenue très importante par ses applications au système du monde.

La durée des oscillations fort petites d'un pendule circulaire, est au temps qu'un corps pesant emploierait à tomber d'une hautem- égale au double de la longueur du pendule, comme la derai-circonférence est au diamètre. Ainsi le temps de la chu le, le long d'un petit arc terminé par un diamètre vertical, est au temps de la chute, le long de ce diamètre, ou ce qui revient au même, par la corde de l'arc, comme le quart de la circonférence est au diamètre; la droite menée entre deux points donnés , n'est donc pas la ligne de la plus vite descente de l'un à l'autre. La recherche de cette ligne a excité la curiosité des géomètres; et ils ont trouvé qu'elle est une cycloïde dont l'origine est au point le plus élevé.

La longueur du pendule simple qui bat les secondes, est au double de la hauteur dont la pesanteur fait tomber les corps dans la première seconde de leur chute, comme le carré du diamètre est au carré de la circonférence. Cette longueur pouvant être mesurée avec luie grande précision; on aura, au moyen de ce théorème, le temps de la chute des corps, d'une hauteur déterminée, beaucoup plus exactement que par des expériences directes. Ou a vu dans le premier livre , que des expériences très exactes ont donné la longueur du pendule à secondes à Paris, de o™, 741887; d'où il résulte que la pesanteur y fait tomber les corps de 3"° ,66107, dans la première seconde. Ce passage du mouvement d'oscillation, dont on peut observer avec une grande précision la (huée, au mouvement rectiligne des graves, est une remarque ingénieuse dont on est encore redevable à Huygens.

Les durées des oscillations fort petites des pendules de longueurs différentes, et animés par la même pesanteur, sont comme les racines carrées de ces longueurs. Si les pendules sont de même longueur, et animés de pesanteurs différentes; les durées des oscillations .sont réciproques aux racines carrées des j)esanteurs.

C'est au moyen de ces théorèmes, que l'on a déterminé la variation de la pesanteui', à la surface de la terre et au sommet des montagnes. Les observations du pendule ont pareillement fait connaître que la

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pesanteur ne dépend ni de la surface, ni de la figure des corps, mais qu'elle pénètre leurs parties les plus intimes, et qu'elle tend à leur imprimer dans le même temps, des vitesses égales. Pour s'en assurer. Newton a fait osciller un grand nombre de corps de même poids, et dillérens soit par la figure, soit par la matière, en les plaçant dans l'intérieur d'une même surface, afin que la résistance de l'air fût la n)ême. Quelque précision qu'il ait apportée dans ses expériences, il n'a point remarqué de différences sensibles entre les longueurs du pendule simple à secondes, conclues des durées des oscillations de ces corps; d'où il suit que dans les résistances qu'ils éprouvent, leur vitesse acquise par l'action de la pesanteur, serait la même en temps égal.

Nous avons encore dans le mouvement circulaire, l'exemple d'une force agissant d'une manière continue. Le mouvement de la matière abandonnée à elle-même, étant uniforme et rectiligne; il est clair qu'un corps mû sur une circonférence, tend sans cesse à s'éloigner du centre, par la tangente. L'eilbrt qu'il tait pour cela, se nomme Jorce centrifuge; et l'on nomme /o7-ce centrale ou centripète, toute force dirigée vers un centre. Dans le mouvement circulaire, la force centrale est égale et directement contraire à la force centrifuge : elle tend sans cesse à rapprocher le corps, du centre de la circonférence, et dans un intervalle de temps, très court, son effet est mesuré par le sinus verse du petit arc décrit.

On peut, au moyen de ce résultat, comparer à la pesanteur, la force centrifuge due au mouvement de rotation de la terre. A l'équateur, les corps décrivent en vertu de cette rotation , dans chaque seconde de temps, un arc de 4o",io95 de la circonférence de l'équateur terrestre. Le rayon de cet équateur étant 6376606"^ à fort peu près; le sinus verse de cet arc est de o"',oi-2.655g. Pendant une seconde, la pesanteur fait tomber les corps à l'équateur, de 3"" ,6/4930; ainsi la force centrale nécessaire pour retenir les corps à la surface de la terre, et par conséquent, la force centrifuge due à son mouvement de rotation est à la pesanteur à l'équateur, dans le rapport de l'unité à 288,4. La force centrifuge diminue la pesanteur, et les corps ne tombent à l'équateur, qu'en vertu de la différence de ces deux forces; en nommant donc gravité, la pesanteur entière qui aurait lieu sans la