J 52 EXPOSITION

diminution qu'elle éprouve; la force centrifuge à l'équateur est à fort peu prés -^ de la gravité. Si la rotation de la terre était dix-sept fois plus rapide; l'arc décrit dans une seconde à l'équateur, serait dix-sept fois plus grand, et son sinus verse serait 289 fois plus considérable; la force centrifuge serait donc alors égale à la gravité, et les corps cesseraient de peser sur la terre à l'équateur.

En général, l'expression d'une force accélératrice constante, qui agit toujours da-ns le même sens, est égale au double de l'espace qu'elle fait décrire, divisé par le carré du temps : toute force accélératrice, dans un intervalle de temps, très court, peut être supposée constante et agir suivant la même direction; d'ailleurs, l'espace que la force centrale fait décrire dans le mouvement circulaire, est le sinus verse du petit arc décrit, et ce sinus est à très peu près égal au carré de l'arc, divisé par le diamètre; l'expression de cette force est donc le carré de l'arc décrit, divisé par le carré du temps et par le rayon du cercle. L'arc divisé par le temps, est la vitesse même du corps; la force centrale et la force centrifuge, sont donc égales au carré de la vitesse, divisé par le rayon.

Rapprochons ce résultat, de celui que nous avons trouvé précédemment, et suivant lequel la pesanteur est égale au carré de la vitesse acquise, divisé par le double de l'espace parcouru suivant la verticale; nous verrons que la force centrifuge est égale à la pesanteur, si la vitesse du corps qui circule, est la même que celle acquise par un corps pesant qui tomberait d'une hauteur égale à la moitié du rayon de la circonférence décrite.

Les vitesses de plusieurs corps mus circulairement , sont égales aux circonférences qu'elles décrivent, divisées par les temps de leurs révolutions : les circonférences sont comme les rayons; ainsi, les carrés des vitesses sont comme les carrés des rayons, divisés par les carrés de ces temps. Les forces centrifuges sont donc entre elles comme les rayons des circonférences, divisés par les carrés des temps des révolutions. Il suit de là, que sur divers parallèles terrestres, la force cenlriluge due au mouvement de rotation de la terre, est proportionnelle aux rayons de ces parallèles.

Ces beaux théorèmes découverts par Huygens, ont conduit Newton a la théorie générale du niouvemont dans les courbes, et à la loi de la pesanteur universelle.

DU SYSTEME DU MONDE. i53

Un corps qui décrit une courbe quelconque, tend à s'en écarter par la tangente; or on peut toujours imaginer un cercle qui passe pai' deux élémens contigus de la courbe , et que Ton nomme cercle osculaleur : dans deux instans consécutifs, le corps est mii sur la circonférence de ce cercle; sa force centrifuge est donc égale au carré de sa vitesse, divisé par le rayon du cercle osculateur; mais la position et la grandeur de ce cercle varient sans cesse.

Si la courbe est décrite en vertu d'une force dirigée vers im point fixe; on peut décomposer cette force en deux , l'une suivant le rayon oscidateur, l'autre suivant l'élément de la courbe. La première fait éc|uilibre à la force centrifuge : la seconde augmente ou diminue la vitesse du corps; cette vitesse est donc continuellement variable. Mais elle est toujours telle, que /es aires décrites par le rayon vecteur, autour de l'origine de la force , sont proportionnelles aux temps. Re'ciprocpienient , si les aires tracées par le rayon vecteur autour d'un point fixe , croissent comme les temps ; lajorce qui lesjait décrire , est constamment dirigée vers ce point. Ces propositions fondamentales dans la tbéorie du système du monde, se démontrent aisément de cette manière.

La force accélératrice peut être supposée n'agir qu'au conmiencement de chaque instant pendant lequel le mouvement du corps est uniforme : le rayon vecteur trace alors un petit triangle. Si la force cessait d'agir dans l'instant suivant , le rayon vecteur tracerait dans ce nouvel instant, un nouveau triangle égal au premier; puisque ces deux triangles ayant leur sommet au point fixe origine de la force, leurs bases situées sur une même droite seraient égales, comme étant décrites avec la même vitesse, pendant des instans que nous supposons égaux. Mais au commencement du nouvel instant, la force accélératrice se combine avec la force tangentielle du corps , et fait décrire la diagonale du parallélogramme dont les côtés représentent ces forces. Le triangle que le rayon vect(;ur décrit en vertu de cette force combinée, est égal à celui qu'il eût décrit sans l'action de la force accélératrice ; car ces deux triangles ont pour base commune, le rayon vecteur de la fin du |)remier instant, et leurs sommets sont sur une droite parallèle à cette base; l'aire tracée par le rayon vecteur est donc égale, dans deux instans consécutils égaux; et par conséquent le

i54 EXPOSITION

secteur décrit par ce rayon, croît comme le nombre de ces instans, ou comme les temj3s. Il est visible que cela n'a lieu qu'autant que la force accélératrice est dirigée vers le point fixe; autrement, les triangles que nous venons de considérer, n'auraient pas même hauteur. Ainsi, la proportionnalité des aires aux temps, démontre que la force accélératrice est dirigée constamment vers l'origine du rayon vecteur.

Dans ce cas , si l'on imagine un très petit secteur décrit pendant un intervalle de temps, fort court; que de la première extrémité de l'arc de ce secteur, on mène une tangente à la courbe, et que l'on prolonge jusqu'à cette tangente, le rayon mené de l'origine de la force, à l'autre extrémité de l'arc; la partie de ce rayon , interceptée entre la courbe et la tangente , sera visiblement l'espace que la force centrale a fait décrire. En divisant le double de cet espace, par le carré du temps, on aura l'expression de la force; or le secteur est proportionnel au temps; la force centrale est donc comme la partie du rayon vecteur, interceptée entre la courbe et la tangente, divisée par le carré du secteur. A la rigueur . la force centrale dans les divers points de la courbe, n'est pas proportionnelle à ces quotiens; mais elle approche d'autant plus de l'être que les secteurs sont plus petits, en sorte qu'elle est exactement proportionnelle à la limite de ces quotiens. L'analyse différentielle donne cette limite , en fonction du rayon vecteur , lorsque la nature de la courbe est connue ; et alors on a la fonction de la distance, à laquelle la force centrale est proportionnelle.

Si la loi de la force est donnée, la recherche de la courbe qu'elle fait décrire, présente plus de difficulté. Mais quelles que soient les forces dont le corps toujours supposé libre est animé, on déterminera facilement de la manière suivante , les équations différentielles de son mouvement. Imaginons trois axes fixes perpendiculaires entre eux ; la position du corps à un instant quelconque, sera déterminée par trois coordonnées parallèles à ces axes. En décomposant chacune des forces qui agissent sur le point, en trois autres dirigées parallèlement aux mêmes axes; le produit de la résultante de toutes les forces parallèles à l'une des coordonnées, par l'élément du temps pendant lequel elle agit, exprimera l'accroissement de la vites.se du corps, parallèlement à cette coordonnée; or cette vitesse peut être supposée

DU SYSTÈME DU MONDE. i55

égale à l'élément tle la coordonnée, divisé par l'élément du temps; la différentielle du quotient de cette division, est donc égale au produit précédent. La considération des deux autres coordonnées fournit deux égalités semblables ; ainsi la détermination du mouvement du corps devient une recherche de pure analyse, qui se réduit à l'intégration de ces équations différentielles.

En général, l'élément du temps étant supposé constant, la différence seconde de chaque coordonnée, divisée par le carré de cet élément, représente une force qui, appliquée en sens contraire au point, ferait équilibre à la force qui le sollicite suivant cette coordonnée. En multipliant la différence de ces forces, par la variation arbitraire de la coordonnée, et ajoutant les trois produits semblables relatifs aux trois coordonnées; leur somme sera nulle par la condition de l'équilibre. Si le point est libre, les variations des trois coordonnées seront toutes arbitraires, et en égalant à zéro, le coefficient de chacune d'elles, on aura les trois équations différentielles du mouvement du point. Mais si le point n'est pas libre, on aura entre les trois coordonnées, une ou deux relations qui donneront un pareil nombre d'équations entre leurs variations arbitraires. En éliminant donc à leur moyen, autant de ces variations, ou égalera les coefficiens des variations"restantes,à zéro; et l'on aura les équations différentielles du mouvement, équations qui, combinées avec les relations des coordonnées détermineront pour un instant quelconque, la position du

point. . ,

L'intégration de ces équations est facile, quand la force est dirigée vers un centre fixe, mais souvent, la nature des forces la rend impossible. Cependant, la considération des équations différentielles, conduit à quelques principes intéressans de mécanique, tel que le suivant. La différentielle du carré de la vitesse d'un point soumis à l'action de forces accélératrices, est égale au double de la somme des produits de chaque force, par le petit espace dont le point s'avance suivant la direction de cette force. Il est aisé d'en conclure que la vitesse acquise par un corps pesant, le long d'une ligne ou d'une surlace courbe, est la même cjue s'il tombait verticalement de la même hauteur.

Plusieurs philosophes, frappés de l'ordre qui règne dans la nature, et de la fécondité de ses moyens dans la production des phénomènes,

i56 EXPOSITION

ont pensé qu'elle parvient toujours à son but par les voies les plus simples. En étendant cette manière de voir, à la mécanique; ils ont cherché l'économie que la nature avait eue pour objet , dans l'emploi des forces et du temps. Ptolémée avait reconnu que la lumière réfléchie parvient d'un point à un autre, par le chemin le plus court, et paiconséquent, dans le moins de temps possible , en supposant la vitesse du rayon lumineux, toujours la même. Fermât, l'un des plus beaux génies dont la France s'honore, généralisa ce principe, en l'étendant à la réfraction de la lumière. Il supposa donc qu'elle parvient d'un point pris au dehors d'iui milieu diaphane, à un point intérieur, dans le temps le plus court; regardant ensuite comme très vraisemblable, que sa vitesse devait ètie plus petite dans ce milieu, que dans le vide; il chercha dans ces hypothèses, la loi de la réfraction de la lumière. En appliquant à ce problème, sa belle méthode de maxitnis et de minimis , que l'on doit regarder comme le véritable germe du calcul différentiel; il trouva conformément à l'expérience, que les sinus d'incidence et de réfraction, devaient être dans un raj^port constant, plus grand que l'unité. La manière heureuse dont Newton a déduit ce rapport, de l'attraction des milieux, fît voir à Maupertuis, que la vitesse de la lumière augmente dans les milieux diaphanes, et qu'ainsi ce n'est point, comme Feimat le prétendait, la somme des quotiens des espaces décrits dans le vide et dans le milieu, et divisés par les vitesses correspondantes, mais la somme des produits de ces quantités, qui doit être un minimum. Euler éteiulit cette supposition , aux mouvemens variables à chaque instant; et il prouva par divers exemples, que parmi toutes les courbes qu'un corps peut décrire en allant d'un point à un autre, il choisit toujours celle dans laquelle l'intégrale du produit de sa masse par sa vitesse et par l'élément de la courbe, est un minimum. Ainsi la vitesse d'iui point mù dans une surface courbe et qui n'est sollicité par aucune force, étant constante; il parvient d'un point à un autre , par la ligne la plus courte sur cette surface. On a nommé l'intégrale précédente, action d'un corps; et la réunion des intégrales semblables, relatives à cha([ue corps d'un système, a été nommée action du système. Euler établit donc (pu; cette action est toujours un minimum, en sorte que l'économie de la nature consiste à l'épargner : c'est là ce qui constitue le principe de la moindre

action, dont on doir regarder Euler, comme le véritable inventein-, et que Lagrange ensuite, a dérivé des lois primordiales du mouvement. Ce principe n'est au fond, qu'un résultat curieux de ces lois qui, comme on l'a vu, sont les plus naturelles et les plus simples que l'on puisse imaginer , et qui par là , semblent découler de l'essence même de la matière. Il convient à toutes les relations mathématiquement possibles entre la force et la vitesse, pourvu que l'on substitue dans ce principe , au lieu de la vitesse , la fonction de la vitesse, par laquelle la force est exprimée. Le principe de la moindre action ne doit donc point être érigé en cause finale; et loin d'avoir donné naissance aux lois du mouvement, il n'a pas même contribué à leur découverte sans laquelle on disputerait encore sur ce qu'il faut entendre par la moindre action de la nature.

i58 EXPOSITION

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CHAPlTPxE III.

De l équilibre d'un système de corps.

Le cas le plus simple de l'équilibre de plusieurs corps, est celui de deux points matériels qui se rencontrent avec des vitesses égales et directement contraires. Leur impénétrabilité mutuelle, propriété de la matière . en vertu de laquelle deux corps ne peuvent pas occuper le même lieu au même instant, anéantit évidemment leurs vitesses et les réduit à l'état du repos. Mais si deux corps de masses différentes viennent à se choquer avec des vitesses opposées , quel est le rapport des vitesses aux masses, dans le cas de l'équilibre? Pour résoudre ce problème, imaginons un système de points matériels contigus, rangés sur une même droite , et animés d'une vitesse commune dans sa direction : concevons pareillement un second système de points matériels contigus, disposés sur la même droite, et animés d'une vitesse commune et contraire à la précédente, de manière que les deux systèmes se choquent mutuellement en se faisant équilibre. Il est clair que si le premier système n'était composé que d'un seul point matériel , chaque point du second système éteindrait dans le point choquant, une partie de sa vitesse, égale à la vitesse de ce système ; la vitesse du point choquant, doit donc être dans le cas de l'équilibre, égale au produit de la vitesse du second système, par le nombre de ses points, et l'on peut substituer au premier système, un seul point animé d'une vitesse égale à ce produit. On peut semblablement substituer au second système, un point matériel animé d'une vitesse égale au produit de la vitesse du premier système, par le nombre de ses points. Ainsi, au lieu des deux systèmes, on aura deux points qui se feront équilibre avec des vitesses contraires dont l'une sera

DU SYSTÈME DU MONDE. ,5g

le produit de la vitesse du premier système par le nombre de ses points, et dont l'autre sera le produit de la vitesse des points du second système, par leur nombre; ces produits doivent donc être égaux dans le cas de l'équilibre. -.

La masse d'un corps est la somme de ses points matériels. On nomme quantité de mouvement, le produit de la masse par la vitesse : c'est aussi ce que l'on entend par \a force d'un corps. Pour l'étiuilibre de deux corps ou de deux systèmes de points matériels qui se choquent en sens contraires, les quantités de mouvement ou les forces opposées doivent être égales, et par conséquent, les vitesses doivent être réciproques aux masses.

Deux points matériels ne peuvent évidemment agir l'un sur l'autre, que suivant la droite qui les joint : l'action que le premier exerce sur le second, lui communique inie certaine quantité de mouvement; or on peut avant l'action, concevoir le second corps sollicité par cette quantité et par une autre égale et directement opposée; l'action du premier corps se réduit ainsi à détruire cette dernière quantité de mouvement; mais pour cela, il doit employer une quantité de mouvement égale et contraire, qui sera détruite. On voit donc généralement, que dans l'action mutuelle des corps, la réaction est toujours égale et contraire à l'action. On voit encore que cette égalité ne suppose point une force particulière dans la matière , elle résulte de ce qu'un corps ne peut acquérir de mouvement, par l'action d'un autre corps, sans l'en dépouiller; de même qu'un vase se remplit aux dépens d'un vase plein qui communique avec lui.

L'égalité de l'action à la réaction, se manifeste dans toutes les actions de la nature : le fer attire l'aimant comme il en est attiré; on observe la même chose dans les attractions et dans les répulsions électriques , et même dans le développement des forces animales; car quel que soit le principe moteur de l'homme et des animaux, il est constant qu'ils reçoivent par la réaction de la matière, luie force égale et contraire à celles qu'ils lui communiquent, et qu'ainsi sous ce rapport, ils sont assujettis aux mêmes lois que les êtres animés.

La réciprocité des vitesses aux masses, dans le cas de l'équilibre, sert à déterminer le rapport des masses des différens corps. Celles des corps homogènes sont proportionnelles à leurs volumes que la Géo-

i6o EXPOSITION

métrie apprend à mesurer. IMais tous les corps ne sont pas de même nature, et les différences qui existent, soit dans leurs molécules intégrantes, soit dans le nombre et la grandeur des intervalles ou pores qui séparent ces molécules, en apportent de très grandes entre leurs masses renfermées sous le même volume. La Géométrie devient alors insuffisante pour déterminer le rapport de ces masses, et il est indispensable de recourir à la Mécanique.

Si l'on imagine deux globes de différentes matières, et que l'on fasse varier leurs diamètres, jusqu'à ce qu'en les animant de vitesses égales et directement contraires , ils se fassent équilibre ; on sera sûr qu'ils renfermeront le même nombre de poinis matériels, et par conséquent, des masses égales. On aura donc ainsi le rapport des volumes de ces substances à égalité de masse; ensuite, à l'aide de la Géométrie , on en conclura le rapport des masses de deux volumes quelconques des mêmes substances. Mais cette métbode serait d'un usage très pénible dans les comparaisons nombreuses qu'exigent à chaque instant, les besoins du commerce. Heureusement, la nature nous offre dans la pesanteur des corps, un moyen très simple de comparer leurs masses.

On a vu dans le chapitre précédent, cpie chaque point matériel dans le même lieu de la terre, tend à se mouvoir avec la même vitesse par l'action de la pesanteur : la somme de ces tendances est ce qui constitue le poids d'un corps; ainsi les poids sont proportionnels aux masses. H suit de là que si deux corps suspendus aux extrémités d'un fil qui passe sur une poulie, se font équilibre lorsque les deux parties du fil sont égales de chaque côté de la poulie; les masses de ces corps sont égales, puisque tendant à se mouvoir avec la même vitesse par l'action de la pesanteur, elles agissent l'une sur l'autre, comme si elles se choquaient avec des vitesses égales et directement contraires. On peut encore mettre les deux corps en é(juilibre, au moyen d'une balance dont les bras et les bassins sont parfaitement égaux, et alors on sera sûr de l'égalité de leurs niasses. On aura ainsi le rapport des masses de diflerens corps, au mo\en d'une balance exacte et sensible, et d'un grand nombre de petits poids égaux; en déterminant le nombre de ces poids, nécessaire pour tenir ces masses en équilibi-e. ,,,.., .-. . , ■. ■ ■ ,,

DU SYSTEME DU MONDE. i6i

La densité d'un corps dépend du nombre de ses points matériels renfermés sous un volume donné; elle est donc proportionnelle au lapportde la masse au volume. Une substance qui n'aurait point de pores aurait la plus grande densité possible : en lui comparant la densité des autres corps, on aurait la quantité de matière qu'ils renferment. Mais ne connaissant point de substances semblables, nous ne pouvons avoir que les densités relatives des corps. Ces densités sont en raison des poids sous un même volume, puisque les poids sont proportionnels aux masses : en prenant ainsi pour unité, la densité d'une .substance quelconque, à une température constante, par exemple, le maximum de densité de l'eau distillée; la densité d'un corps sera le rapport de son poids à celui d'un pareil volume d'eau réduite à ce maximum. Ce rapport est ce que l'on numme pesanteur spécifique.

Tout cela semble supposer que la matière est homogène, et que les corps ne diffèrent que par la figure et lu grandeur de leurs pores et de leurs molécules intégrantes. 11 est cependant possible qu'il y ait des différences essentielles dans la nature même de ces molécules; et il ne répugne point au peu de notions que nous avons de la matière, de supposer l'espace céleste plein d'un fluide dénué de pores, et cependant tel qu'il n'oppose cpi'une résistance insensible, aux mouvemens planétaires. On pourrait ainsi concilier l'inaltérabilité de ces mouvemens , prouvée par les phénomènes, avec l'opinion de ceux qui regardent le vide comme impossible. Mais cela est indifférent à la Mécanique qui ne considère dans les corps, que réfendue et le mouvement. On peut alors sans craindre aucune erreui' , admettre l'homogénéité des élémens de la matière; pourvu que l'on entende par masses égales, des masses qui, animées de vitesses égales et directement contraires, se font équilibre.

Dans la théorie de l'équilibre et du mouvement des corps, on fait abstraction du nombre et de la figure des pores dont il sont parsemés. On peut avoir égard à la différence de leurs densités respectives, en les supp()sant formés de points matériels plus ou moins denses, parfaitement libres dans les (luides, unis entre eux par des droites sans masse, inOexihles dans les corps durs, flexibles et extensibles (!ans les corps élastiques et mous. Il est clair (pie dans ces sii|)positions, les corps offriraient les apparences qu'ils nous présentent.

ai

l6a EXPOSITION

Les conditioQS de l'équilibre d'un système de corps, peuvent toujours être déterminées par la loi de la composition des forces, exposée dans le premier chapitre de ce livre. Car on peut concevoir la force dont chaque point matériel est animé, appliquée au point de sa direction, où vont concourir les forces qui la détruisent, ou qui, en se composant avec elle, forment une résultante qui, dans lecas de l'équilibre, est anéantie par les points fixes du système. Considérons, par exemple, deux points matériels attachés aux extiémités d'un levier inflexible; et supposons ces points sollicités par des forces dont les directions soient dans un plan passant par le levier. En concevant ces forces réunies au point de concours de leurs directions, leur résultante doit, pour l'équilibre, passer par le point d'appui qui peut seul la détruire; et suivant la loi de la composition des forces, les deux composantes doivent être alors réciproques aux perpendiculaires menées du point d'appui, sur leurs directions.

Si l'on imagine deux corps pesans attachés aux extrémités d'un levier inflexible, dont la masse soit supposée infiniment petite par rapport à celle des corps , on pourra concevoir les directions parallèles de la pesanteur, réunies à une distance infinie : dans ce cas, les forces dont chaque corps pesant est animé, ou ce qui revient au même, leurs poids doivent pour l'équilibre, être réciproques aux perpendiculaires menées du point d'appui, sur les directions de ces forces : ces perpendiculaires sont proportionnelles aux bras du levier; ainsi les poids de deux corps en équilibre sont réciproques aux bras du levier auquel ils sont attachés.

Un très petit poids peut donc au moyen du levier et des machines qui s'y rapportent, faire équilibre à un poids très considérable, et l'on peut (le cette manière, soulever un énorme fardeau, avec un léger effort; mais il faut pour cela, que le bras du levier auquel la puissance est attachée , soit fort long par rapport à celui qui soulève le fardeau , et ([ue la puissance parcoure un grand espace, pour élever le fardeau à une petite hauteur. Alors on perd en temps, ce que l'on gagne en force, et c'est ce qui a lieu généralement dans les machines. Mais souvent on peut disposer du temps à volonté, tandis que l'on ne peut em|)loyer qu'une force limitée. Dans d'autres circonstances où il faut se procurer une grande vitesse, on peut y parvenir au moyen du

DU SYSTÈME DU MONDE. i63

levier , en appliquant la puissance au bras le plus court. C'est dans la possibilité d'augmenter suivant les besoins, la masse ou la vitesse des corps à mouvoir , que consiste le principal avantage des machines.

La considération du levier a fait naître l'idée desmomens. On nomme moment d'une force, pour faire tourner le système autour d'un point , le produit de cette force par la distance du point à sa direction. Ainsi dans le cas de l'équilibre d'un levier aux extrémités duquel deux forces sont appliquées, les momens de ces forces par rapport au point d'appui , doivent être égaux et contraires , ou , ce qui revient au même , la somme des momens doit être nulle relativement à ce point.

La projection d'une force sur un plan mené parmi point fixe , multipliée par la distance du point à cette projection , est ce que l'on nomme moment de la force pour faire tourner le système autour de l'axe qui passant par le point fixe, est perpendiculaire au plan.

Le moment de la résultante d'un nombre quelconque de forces , par rapport à un point ou à un axe quelconque , est égal à la somme des momens semblables des forces composantes.

Les forces parallèles pouvant être supposées se réunira une distance infinie , elles sont réductibles à une résultante égale à leur somme et qui leur est parallèle; en décomposant donc chaque force d'un système de corps , en deux , l'une située dans un plan , l'autre perpendiculaire à ce plan; toutes les forces situées dans le plan , seront réductibles à une seule , ainsi que toutes les forces perpendiculaires au plan. Il existe toujours un plan passant par le point fixe , et tel que la résultante des forces qui lui sont perpendiculaires est nulle ou passe par ce point : dans ces deux cas, le moment de cette résultante est nul relativement aux axes qui ont ce point pour origine, et le moment des forces du système par rapport à ces axes , se réduit au moment de la résultante située dans le plan dont il s'agit. L'axe autour duquel ce moment est un maximum , est celui qui est perpendiculaire à ce plan , et le moment des forces du système , relatif à un axe qui , passant par le point fixe , forme un angle quelconque avec l'axe du plus grand moment , est égal au plus grand moment du système, multiplié par le cosinus de cet angle; en sorte que ce moment est nul pour tous les axes situés dans le plan auquel l'axe du plus grand mouvement est perpendiculaire.

ai..

i64 EXPOSITION

La somme des carrés des cosinus des angles formés par l'axe du plus grand moment , et par trois axes quelconques perpendiculaires entre eux et passant par le point fixe , étant égale à l'unité , les carrés des trois sommes des momens de forces, relativement à ces axes , sont égaux au carré du plus grand moment.

Pour l'équilibre d'un système de corps liés invariablement entre eux et pouvant se mouvoir autour d'un point fixe, la somme des momens des forces doit être nulle par rapport à un axe quelconque passant par ce point. Il suit de ce qui précède, que cela aura lieu généralement , si cette somme est nulle relativement à trois axes fixes perpendiculaires entre eux. S'il n'y a pas de point fixe dans le système; il faut de plus pour l'équilibre, que les trois sommes des forces décomposées parallèlement à ces axes, soient nulles séparément.

Considérons un système de points pesans attachés fixement ensemble, et rapportés à trois plans perpendiculaires entre eux et liés au système. En décomposant l'action de la pesanteur, parallèlement aux intersections de ces plans; toutes les forces parallèles au même plan, peuvent se réduire à une seule résultante parallèle à ce plan , et égale à leur somme. Les trois résultantes relatives aux trois plans doivent concourir au même point; puisque les actions de la pesanteur sur les divers points du système, étant parallèles, elles ont une résultante unique que l'on obtient en composant d'abord deux de ces forces; ensuite leur résultante, avec une troisième; la résultante des trois forces avec une quatrième, et ainsi du reste. La situation de ce point de concours, par rapport au système, est indépendante de l'inclinaison des plans sur la direction de la pesanteur ; car une inclinaison plus ou monis grande ne fait que changer les valeurs des trois résultantes partielles, sans altérer leur position relative aux plans ; en supposant clone ce point, fixe; tous les efforts des ])oids du système seront anéantis, dans toutes les positions qu'il peut prendre en tournant autoiu- de ce point que l'on a nommé par cette raison , centre de gracile du système.

Concevons la position de ce centre, et celle des divers points du .système, déterminées par les coordonnées parallèles à trois axes perpendiculaires entre eux. Les actions de la pesanteur étant égales et parallèles, et la résultante de ces actions sur le système, passant dans

DU SYSTÈME DU MONDE. i65

toutes ses positions , par son centre de gravité ; si l'on suppose cette résultante successivement parallèle à chacun des trois axes, l'égalité du moment de la résultante, à la somme des momens des composantes, donne l'une quelconque des coordonnées de ce centre, multipliée par la masse entière du système, égale à la somme des produits de la masse de chaque point, par sa cooj-donnée corespondante. Ainsi la détermination du centre de gravité, dont la pesanteur a fait naître l'idée, en est indépendante. La considération de ce centre, étendue à un système de corps pesans ou non pesans, libres ou liés entre eux d'une manière quelconque, est très utile dans la mécanique.

En généralisant le théorème que nous avons donné à la fin du premier chapitre, sur l'équilibre d'un point; on est conduit au théorème suivant qui renferme de la manière la plus générale, les conditions de l'équilibre d'un système de points matériels animés par des forces quelconques.

Si l'on change inliniment peu la position du système , d'une manière compatible avec la liaison de ses parties, chaque point matériel s'avancera dans la direction de la force qui le sollicite, d'une quantité égale à la partie de cette direction , comprise entre la première position du point, et la perpendiculaire abaissée de la seconde position du point, sur cette direction. Cela posé : dans P état d'équilibre, la somme des produits de chaque force par la quantité dont le point auquel elle est appliquée, s'avance dans sa direction, est nulle; et réciproquement, si cette somme est nulle, quelle que soit la variation du système , il est en équilibre. C'est en cela que consiste le principe des vitesses virtuelles, principe dont on est redevable à Jean Bernouilli. Mais pour en faire usage, il faut observer de prendre négativement, les produits que nous venons d'indiquer, relatifs aux points qui, dans le changement de position du système, s'avancent en sens contraire de la direction de leurs forces : il faut se rappeler encore, que ia force est le produit de la masse d'un point matériel, par la vitesse qu'elle lui ferait prendre, s'il était libre.

En concevant ia position de chatpie point du système, déterminée par trois coordonnées rectangles; la somme des produits de chaque force, par la quantité dont le point qu'elle sollicite, s'avance dans sa direction, lorsqu'on fait varier infiniment peu le système!, sera ex-

<i66 EXPOSITION

primée par une fonction linéaire des variations des coordonnées de ses différens points : ces variations ont entre elles, des rapports résultans de la liaison des parties du système; en réduisant donc au moyen de ces rapports, les variations arbitraires au plus petit nombre possible, dans la somme précédente qui doit étrenalle pour l'équilibre, il faudra pour qu'il ait lieu dans tous les sens, égaler séparément à zéro, le coefficient de chacune des variations restantes, ce qui donnera autant d"équations qu'il y aura de ces variations arbitraires. Ces équations réunies à celles que donne la liaison des parties du système renfermeront toutes les conditions de son équilibre.

Il existe deux états d'équilibre, très distincts. Dans l'un, si l'on trouble un peu l'équilibre, tous les corps dusystèmenefont que de petites oscillations autour de leur position primitive; et alors, l'équilibre est ferme ou stable. Cette stabilité est absolue, si elle a lieu quelles que soient les oscillations du système : elle n'est que relative, si elle n'a lieu que par rapport aux oscillations d'une certaine espèce. Dans l'autre état d'équilibre, les corps s'éloignent de plus en plus de leur position primitive, lorsqu'on les en écarte. On aura une juste idée de ces deux états, en considérant une ellipse placée verticalement sur un plan horizontal. Si l'ellipse est en équilibre sur son petit axe, il est clair qu'en l'écartant un peu de cette situation, par un petit mouvement sur elle-même, elle tend à y revenir en faisant des oscillations que les frottemens et la résistance de l'air auront bientôt anéanties. Mais si l'ellipse est en équilibre sur son grand axe; une fois écartée de cette situation, elle tend à s'en éloigner davantage, et finit par se renverser sur son petit axe. La stabilité de l'équilibre dépend donc de la nature des petites oscillations que le système troublé d'une manière quelconque, fait autour de cet état. Pour déterminer généralement de quelle manière les divers états d'équilibre stable ou non stable se succèdent, considérons une courbe rentrante placée verticalement dans une .situation d'équilibre stable. Dérangée un peu de cet état, elle tend à y revenir : cette tendance varie à mesure que l'écartement augmente, et lorsqu'elle devient nulle, la courbe se retrouve dans une situation nouvelle il'écpiilihrc, mais tpii n'est point stable, puis(pie la cor.rbe avant d'y arriver, tendait encore vers son |)remier état. Au-delà de cette dernière situation , la tendance vers le premier état et par consé-

quent vers le second, devient négative jusqu'à ce qu'elle redevienne encore nulle ; et alors , la courbe est dans une situation d'équilibre stable. En continuant ainsi , on voit que les états d'équilibre stable et non stable , se succèdent alternativement , comme les maxima et les minima des ordonnées dans les courbes. Il est facile d'étendre le même raisonnement , aux divers états d'équilibre d'un système de corps.

i68 EXPOSITION

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