CHAPITRE Y

Des perturbations du mouvemeut de la Lune.

La lune est à la fois attirée par le soleil et par la terre; mais son mouvement autour de la terre, n'est troublé que par la différence des actions du soleil, sur ces deux corps. Si le soleil était à uue distance infinie, il agirait sur eux également et suivant des droites parallèles; leur mouvement relatif ne serait donc point troublé par cette action qui leur serait commune. Mais sa distance, quoique très grande par rapport à celle de la lune, ne peut pas être supposée infinie : la lune est alternativement plus près et plus loin du soleil que la terre, et la droite qui joint son centre à celui du soleil, forme des angles plus ou moins aigus avec le rayon vecteur terrestre. Ainsi, le soleil asit inégalement et suivant des directions différentes, sur la terre et sur la lune; et de cette diversité d'actions, il doit résulter dans le mouvement lunaire, des inégalités dépendantes des positions respectives du soleil et de la lune. C'est dans leur recherche, que consiste le fameux problème des trois corps, dont la solution rigoureuse surpa.sse les lorces de l'analyse, mais que la proximité de la lune, eu égard à sa distance au soleil, et la petitesse de sa masse par rapport à celle de la terre, permettent de résoudre par approximation. Cependant, l'analyse la plus délicate est nécessaire pour démêler tous les termes dont l'influence est sensible. Leiw discussion est le point le plus important de cette analyse, lorscju'on se propose de la laire concourir à la perfection des tables lunaires , ce qui doit être son but principal. On peut facilement imaginer un grand nombre de moyens différens , de mettre en éipiation le problème des trois corps; mais sa vraie difficulté consisteà distingueiclans les équations différentielles

et à déterminer exactement les termes qui, quoique très petits en eux-mêmes, acquièrent une valeur sensible par les intégrations successives; ce qui exige un choix avantageux de coordonnées, des considérations délicates sur la nature des intégrales , des approximations bien conduites, et des calculs faits avec soin, et vérifiés plusieurs fois. Je nie suis attaché à remplir ces conditions, dans la théorie de la Lune que j'ai donnée dans ma Mécanique céleste; et l'ai eu la satisfaction de voir mes résultats coïncider avec ceux cjue Masson et Biirg ont trouvés par la comparaison de près de cinq raille observations de Bradiey et de Maskelyne, et qui ont donné aux tables lunaires une précision qu'il sera difficile de surpasser, et à laquelle la Géographie et l'Astronomie nautique sont principalement redevables de leurs progrès. On doit à Mayer, l'un des plus grands astronomes qui aient existé, la justice d'observer qu'il a le premier , porté ces tables, au degré d'exactitude nécessaire pour cet important objet. Masson et Biirg ont adopté la forme qu'il leur avait donnée : ils ont rectifié les coefficiens de ses inégalités, et ils en ont ajouté quelques autres indiquées par sa théorie. Mayer a de plus, par l'invention du cercle répétiteur perfectionné considérablement par Borda , donné aux observations sur mer, la même précision qu'il avait apportée dans les tables lunaires. Enfin M. Burckhardt vient de perfectionner les tables lunaires, en donnant à leurs argumens, uneforme plus simple et plus commode, et en déterminant leurs coefficiens par l'ensemble de toutes les observations modernes. L'objet de ma théorie, a été de montrer dans la seule loi de la pesanteur universelle, la source de toutes les inégalités du mouvement lunaire; et de me servir ensuite de cette loi, pour en perfectionner les tables, et pour en conclure plusieurs élémens importans du système du monde, tels que les équations séculaires de la lune, sa parallaxe, celle du soleil et l'aplatissement de la terre. Heureusement, lorstpie je m'occupais de ces recherches, Bûrg, de son côté, travaillait à periectionner les tables lunaires. Mon analyse lui a fourni plusieurs équations nouvelles et très sensibles ; et la comparaison (pi'il en a faite avec un grand nombre d'observations, en a constaté l'existence, et a répandu un grand jour sur les élémens dont je viens de parler.

Les mouvemens des nœuds et du périgée de la lune, sont les prin-

cipaux effets des perturbations que ce satellite éprouve. Une première approximation n'avait donné d'abord aux Géomètres, que la moitié du second de ces mouvemens. Clairaut en conclut que la loi de l'attraction n'est pas aussi simple qu'on l'avait cru jusque alors, et qu'elle est composée de deux parties dont la première réciproque au carré des distances, est seule sensible aux grandes distances des planètes au soleil, et dont la seconde croissant dans un plus grand rapport, quand la distance diminue , devient sensible à la distance de la lune à la terre. Cette conséquence fut vivement attaquée par Buffon : il se fondait sur ce que les lois primordiales de la nature, devant être les plus simples, elles ne peuvent dépendre que d'un seule module, et leur expression ne peut renfermer qu'un seul terme. Cette considération doit nous porter sans doute, à ne compliquer la loi de l'attraction, que dans un besoin extrême ; mais l'ignorance où nous sommes, de la nature de cette force ne permet pas de prononcer avec assurance , sur la simplicité de son expression. Quoi qu'il en soit, le Métapbysicien eut raison, cette fois, vis-à-vis du Géomètre qui reconnut lui-même son erreur, et fit l'importante remarque, qu'en poussant plus loin l'approximation, la loi de la pesanteur donne le mouvement du périgée lunaire, exactement conforme aux observations; ce qui a été confiimé depuis par tous ceux qui se sont occupés de cet objet. Le mouvement que j'ai conclu de rna théorie, ne diffère pas du véritable, de sa quatre-centquaranlième partie : la différence n'est pas d'un trois -cent- cinquantième , à l'égard du mouvement des nœuds.

Quoique l'analyse soit indispensable poiu' faire sentir les lapporls de toutes les inégalités du mouvement de la lune, à l'action du soleil combinée avec celle de la terre sur ce satellite; cependant, on peut sans y recourir, expliquer les causes de l'équation annuelle de la lune et de son équation séculaire. Je m'arrêterai d'autant plus volon tiers à les exposer, que l'on en verra naître les plus grandes inégalités lunaires qui jusqu'à présent , ont été peu sensibles, mais que la suite des siècles doit développer aux observateurs.

Dans ses conjonctions avec le soleil , la lune en esl plus près que la teire, et en éprouve une action plus considérable; la différence des attractions du soleil sur ces deux corps, tend donc alors à diminuer la pesanteur de la lune vers la tcric. Pareillement, dans les oppositions

DU SYSTÈME DU IMONDE. 23 r

lie la lune au soleil, ce satellite plus éloigné du soleil, que la terr, en est plus faiblement attiré; la différence des actions du soleil , tend donc encore à diminuer la pesanteur de la lune. Dans ces deux cas , cette diminution est à très peu près la même, et égale à deux fois le produit de la masse du soleil , par le quotient du rayon de l'orbe lunaire, divisé par le cube de la distance du soleil à la terre. Dans les quadratures, l'action du soleil sur la lune, décomposée suivant le rayon vectein- lunaire, tend à augmenter la pesanteur de la lune vers la terre ; mais l'accroissement de cette pesanteur, n'est que la moitié de la diminution qu'elle éprouve dans les syzygies. Ainsi , de toutes les actions du soleil sur la lune, dans le coiu-s de sa révolution synodique, il résulte une force moyenne, dirigée suivant le rayon vecteui lunaire, qui diminue la pesanteur de ce satellite, et qui est égale à la moitié du produit de la masse du soleil , par le quotient de ce rayon divisé par le cube de la distance du soleil à la terre.

Pour avoir le rapport de ce produit , à la pesanteur de la lune ; nous ob.servons que cette force qui la retient dans son orbite , est à très peu près égale à la somme des masses de la terre et de la lune , divisée par le carré de leur distance mutuelle ; et que la force qui retient la tei-re dans son orbite, égale à fort peu près , la masse du soleil , divisée par le carré de sa distance à la terre. Suivant la théorie des forces centrales, exposée dans le troisième livre, ces deux forces sont comme les rayons des orbes de la lune et du soleil, divisés respectivement par les carrés des temps des révolutions de ces astres; d'où il suit que le produit précédent est à la pesanteur de la lune , comme le carré du temps de la révolution sidérale de la lune, est au carré du (ernps de la révolution sidérale de la terre; ce produit est donc à fort peu près 7^9 de cette pesanteur que l'action moyenne du soleil diminue ainsi de sa 358" partie.

En vertu de cette diminution , la lune est soutenue à une plus grande distance de la terre, que si elle était abandonnée à l'action entière de sa pesanteur : le secteur décrit par son rayon vecteur autour de la terre, n'en est point altéré ; puisipie la force qui la produit, est tlirigée suivant ce rayon. Mais la vitesse réelle et le mouvement angulaire de cet astre sont diminués; et il est facile de voir qu'en éloignant la lune, de manière que sa force centrifuge soit égale à sa pesanteur diminuée

par l'action du soleil, et que son rayon vecteur décrive un secteur égal à celui qu'il eût décrit dans le même temps sans cette action; ce rayon sera augmenté de sa 358' partie , et le mouvement angulaire sera diminué d'im ■ 79".

Ces quantités varient réciproquement aux cubes des distances du soleil à la terre. Quand le soleil est périgée, son action devenue plus puissante , dilate l'orbe de la lune ; mais cet orbe se contracte à mesure que le soleil s'avance vers son apogée. La lune décrit donc une suite d'épicycloides dont les centres sont sur l'orbe terrestre, et qui se dilatent ou se resserrent, suivant que la terre s'approche ou s'éloigne du soleil. De là résulte dans son mouvement angulaire, une inégalité semblable à l'équation du centre du soleil , avec cette différence, qu'elle ralentit ce mouvement, quand celui du soleil augmente, et cpi'elle l'accélère, quand le mouvement du soleil diminue; en sorte que ces deux équations, sont affectées d'un signe contraire. Le mouvement angulaire du soleil est, comme on l'a vu dans le premier livre, réciproque au carré de sa distance : dans le périgée, cette distance étant d'un 60° plus petite que sa grandeur moyenne, la vitesse angulaire est augmentée d'un 3o^ : la diminution d'un 179' produite par l'ac tion du soleil, dans le mouvement lunaire, étant proportionnelle à l'augmentation du cube de la distance du soleil à la terre, elle est alors plus grande d'un vingtième, l'accroissement de cette diminution est donc la 358o« partie de ce mouvement. De là il suit que l'équation du centre du soleil , est à l'équation annuelle de la lune, comme un trentième du mouvemeiit solaire, est à un 358o° du mouvement lunaire ; ce qui donne -2398" pour l'équation annuelle. Elle est d'un huitième environ plus petite , suivant les observations : cette différence dé: end des quantités négligées dans ce premier calcul.

Une cause semblable à celle de Jéquation aniuielle, produit l'équation séculaire de la lune. Halley a remanpié le premier, cette équation que Dunthorne et Mayer ont confirmée par une discussion approfondie des observations. Ces deux savans astronomes ont recoinui que le même moyen mouvement lunaire ne peut pas satisfaire aux observations modernes, et aux éclipses observées par les Chaldéens et par les Aiabes. Us ont essayé de les représenter, en ajoutant aux longitudes moyennes de ce satellite, une quantité proportionnelle au carré

du nomliredes siècles avant ou après (700. Suivant Dunthorne, cette quantité est de 3o",9 pour le premier siècle : Mayer l'a faite de ai" 6 dans ses premières Tables de la lune, et l'a portée à 3 7",8 dans les dernières. Enfin, Lalande , par une discussion nouvelle de cet objet, a été conduit au résultat de Dunthorne.

Les observations arabes dont on a principalement fait usage , sont deux éclipses de soleil et une éclipse de lune , observées au Caire par Ebn-Junis vers la fin du dixième siècle, et depuis long-temps extraites d'un manuscrit de cet astronome, existant dans la bibliothèque de Leyde. On avait élevé des doutes sur la réalité de ces éclipses; mais la traduction que Caussin vient de faire, de la partie de ce précieux manuscrit, qui renferme les observations, a dissipé ces doutes : de plus, elle nous a fait connaître vingt-cinq autres éclipses observées par les Arabes, et qui confirment l'accélération du moyen mouvement de la lune. Il suffit d'ailleurs, pour l'établir, de comparer les observations modernes, à celles des Grecs et des Chaldéens. En effet, Delambre , Bouvard et Bûrg ayant déterminé au moyen d'un grand nombre d'observations des deux siècles précédens, le mouvement séculaire actuel , avec une précision qui ne laisse cpi'une très légère incertitude ; ils l'ont trouvé de six ou sept cents secondes, plus grand que par les observations modernes comparées aux anciennes; le mouvement lunaire s'est donc accéléré depuis les Chaldéens ; et les observations arabes faites dans l'intervalle qui nous en sépare , venant à l'appui de ce résultat, il est impossible de le révoquer en doute.

Maintenant, quelle est la cause de ce phénomène? La gravitation universelle qui nous a fait si bien connaître les nombreuses inégalités de la lune, rend-elle également raison de son inégalité séculaire? Ces questions sont d'autant plus intéressantes à résoudre, que si l'on y parvient, on aura la loi des variations séculaires du mouvement de la lune; car on sent que l'hypotiièse d'une accélération proportionnelle au temps, admise par les astronomes, n'est qu'approchée et ne doit pas s'étendre à un temps illimité.

Cet objet a beaucoup exercé les géomètres; mais leurs recherches pendant long -temps infructueuses n'ayant fait découvrir, soit dans l'action du soleil et des planètes sur la lune, soit dans les figures non sphcrif[nps de ce satellite et de la terre, rien qui puisse altérer sensi-

blement son mouvement moyen ; quelques-uns avaient pris le parti de rejeter son équation séculaire; d'autres, pour l'expliquer, avaient eu recours à divers moyens tels que l'action des comètes, la résistance de l'éther, et la transmission successive de la gravité. Cependant la correspondance des autres phénomènes célestes avec la théorie de la pesanteur, est si parfaite ; que l'on ne peut voir sans regret, l'équation séculaire de la lune se refuser à cette théorie, et faire seule , exception d'une loi générale et simple dont la découverte, par la grandeur et la variété des objets qu'elle embrasse, fait tant d'honneur à l'esprit humain. Cette réflexion m'ayant déterminé à considérer de nouveau, ce phénomène; après quelques tentatives, je suis enfin parvenu à découvrir sa cause.

L'équation séculaire de la lune est due à l'action du soleil sur ce satellite , combinée avec la variation séculaire de l'excentricité de l'orbe terrestre. Pour nous former une idée juste de cette cause, rappelons-nous que les élémens de l'orbe de la terre , éprouvent des altérations par l'action des planètes : son grand axe reste toujours le même; mais son excentricité, son inclinaison sur un plan fixe, la position de ses nœuds et de son périhélie, varient sans cesse. Rappelons-nous encore que l'action du soleil sur la lune, diminue d'un 179°, sa vitesse angulaire, et que son coefficient numérique varie réciproquement au cube de la distance de la terre au soleil ; or en développant la puissance cubique inverse de cette distance, dans une série ordonnée par rapport au sinus et au cosinus du moyen mouvement de la terre et de ses multiples, le demi-grand axe de l'orbe terrestre étant pris pour unité; on trouve que cette série contient un terme égal à trois fois la moitié du carré de l'excentricité de cet orbe ; la diminution de la vitesse angulaire de la lune, renferme donc le |)roduit de ce terme, par un 179" de cette vitesse. Ce produit se confondrait avec la vitesse moyenne angulaire de la lune , si l'excentricité de l'orbe terrestre était constante; mais sa variation , quoique très petite , a une influence sensible à la longue, sur le mouvement lunaire. 11 est visible qu'il accélère ce mouvement, quand l'excentricité diminue; ce qui a eu lieu depuis les observations anciennes jusqu'à nos jours : cette accélération se changera en retardement, quand l'excentricité parvenue à son minimum , cessera de dimiiuier, poiu- commencer à croître.

DU SYSTÈME DU MONDE. aaS

Dans l'intervalle de 1750 à i85o, le carré de l'excentricité de l'orbe terrestre a diminué de 0,00000 i4o595 ; l'accroissement correspondant de la vitesse angulaire de la lune a donc été un 0,00000001 17821° de cette vitesse. Cet accroissement ayant eu lieu successivement et proportionnellement au temps, son effet sur le mouvement de la lune, a été de moitié moindre que si dans tout le cours du siècle, il eût été le même qu'à la fin; il faut donc pour déterminer cet effet, ou l'équation séciilaire de la lune, à la fin d'un siècle à partir de 1801 , multiplier le mouvement séculaire de la lune, par la moitié d'un très petit accroissement de sa vitesse angulaire; or dans un siècle, le mouvement de la lune est de 53474o546"; on aura ainsi 3i",5oi7 pour son équation séculaire.

Tant que la diminution du carré de l'excentricité de l'orbe terrestre pourra être supposée proportionnelle au temps, l'équation séculaire de la lune croîtra sensiblement comme le carré du temps; il suffira donc denuiltiplier 3i",5oi7 par le carré du nombre des siècles écoulés entre le temps pour lequel on calcule, et le commencement du dixneuvième siècle. Mais j'ai reconnu qu'en remontant aux observations chakléennes, le terme proportionnel au cube du temps, dans l'expression en série, de l'équation séculaire de la lune, devenait sensible. Ce terme est égal à o",o572i4 pour le premier siècle : il doit être multiplié par le cube du nombre des siècles, à partir de 1801, ce produit étant négatif pour les siècles antérieurs.

L'action moyenne du soleil sur la lune dépend encore de l'inclinaison de l'orbe lunaire à l'écliptique; et l'on pourrait croire que la position de récli|)tique étant variable , il doit en résulter dans le mouvement de ce satellite , des inégalités séculaires semblables à celle qu'y produit l'excentricité de l'orbe terrestre. Mais j'ai reconnu par l'analyse , que l'orbe limaire est ramené sans cesse par l'action du soleil , à la même inclinaison sur celui de la terre; en sorte que les plus grandes et les plus petites déclinaisons de la lune sont assujetties en vertu des variations séculaires de l'obliquité de l'écliptique, aux mêmes changemens que les déclinaisons semblables du soleil. Cette constance dans l'inclinaison do l'orbe huiaire, est confirmée par toutes les observations anciennes et modernes. L'excentricité de l'orbe lunaire et son grand axe n'éprouvent pareillement que des altérations

insensibles , par les changemens de l'excentricité de l'orbe terrestre.

Il n'en est pas ainsi des variations du mouvement des noeuds et du périgée lunaire. En soumettant ces variations, à l'analyse, j'ai trouvé que l'influence des termes dépendans du carré de la force perturbatrice , et qui , comme on l'a vu , doublent le moyen mouvement du périgée, est plus grande encore sur la variation de ce mouvement. Le résultat de cette épineuse analyse, m'a donné une équation séculaire, triple de l'équation séculaire du moyen mouvement de la lune, et soustractive de la longitude moyenne de son périgée; en sorte que le moyen mouvement du périgée se ralentit, lorsque celui de la lune s'accélère. J'ai trouvé semblablement dans le mouvement des nœuds de l'orbe lunaire, sur l'écliptique vraie, une équation séculaire additive à leur longitude moyenne, et égale à 735 millièmes de l'équation séculaire du moyen mouvement. Ainsi le mouvement des noeuds se ralentit, comme celui du périgée, quand celui de la lune augmente; et les équations séculaires de ces trois mouvemens, sont constamment dans le rapport des nombres 0,-35 ; 3 et i. Il est facile d'en conclure que les trois mouvemens de la lune par rapport au soleil , à son périgée et à ses nœuds, vont en s'accélérant,et que leurs équations séculaires sont comme les nombres i; 4; o,a65.

Les siècles à venir développeront ces grandes inégalités qui produiront, un jour, des variations au moins égales au quarantième de la circonférence, dans le mouvement séculaire de la lune, et au treizième de la circonférence dans celui du périgée. Ces inégalités ne sont pas toujours croissantes : elles sont périodiques, comme celles de l'excentricité de l'orbe terrestre dont elles dépendent, et ne se rétablissent qu'après des millions d'années. Elles doivent altérer à la longue, les périodes imaginées pour embrasser des nombres entiers de révolutions de la lune, par rapport à ses nœuds, à son périgée et au soleil, périodes qui varient sensiblement dans les diverses parties de l'immense période de l'équation séculaire. La période lunisolairc de six cents ans , a été rigoureuse à une époque à laquelle il serait facile de remonter par l'analyse , si les masses des planètes étaient exactement connues; mais cette connaissance si désirable pour la perfection des théories astronomiques, nous manque encore. Ifoureusoment, Jupiter dont on a bien déterminé la masse, est celle des planètes, qui a le

plus d'influence sur l'équation séculaire de la lune ; et les valeurs des autres niasses planétaires , sont assez approchées, pour que l'on n'ait point à craindre sur la grandeur de cette équation , une erreur très sensible.

Déjà, les obsei-vations anciennes, malgré leur imperfection, confirment ces inégalités; et l'on peut en suivre la marche, soit dans les observations , soit dans les Tables astronomiques qui se sont succédé jusqu'à nos jours. On a vu que les anciennes éclipses avaient fait connaître l'accélération du mouvement de la lune, avant que la théorie de la pesanteur en eût développé la cause. En comparant à cette théorie , les observations modernes , et les éclipses observées par les Arabes, les Grecs et les Chaldéens; on trouve entre elles , un accord qui paraît surprenant, quand on considère l'imperfection des observations anciennes, et l'incertitude que laisse encore sur les variations de l'excentricité de l'orbe de la terre, celle où nous sommes siu' les masses de Vénus et de Mars. Le développement des équations séculaires de la lune, sera une des données les plus propres à déterminer ces masses.

Il était surtout intéressant de vérifier la théorie de la pesanteur, relativement à l'équation séculaire du périgée de l'orbe lunaire, ou à celle de l'anomalie, quatre fois plus grande que l'équation séculaire du moyen mouvement. Sa découverte me fit juger qu'il fallait diminuer de quinze à seize minutes , le mouvement sécidaire actuel du périgée, employé par les Astronomes, et qu'ils avaient conclu par la comparaison des observations modernes aux anciennes. En effet, n'ayant point eu égard à son équation séculaire, ils ont dû trouver ce mouvement trop rapide; de même qu'ils assignaient un moyen mouvement trop petit à la lune, lorsqu'ils ne tenaient point compte de son équation séculaire. C'est ce que MM. lîouvard et Biirg ont confirmé en déterminant le mouvement séculaire actuel du périgée lunaire, au moyen d'un très grand nombre d'observations modernes. M. Bouvard a de plus retrouvé le même mouvement, par les observations les plus anciennes et par celles des Arabes, en ayant égard à son équarion séculaire dont il a ainsi prouvé l'existence d'une manière incontestable.

Les moyens mouvemens et les époques des Tables de l'Alniageste

et des Arabes , indiquent évidemment ces trois équations séculaires des mouvemens de la lune. Les Tables de Ptolémée sont le résultat d'immenses calculs faits par cet astronome et par Hipparque. Le travail d'Hipparque ne nous est point parvenu : nous savons seulement par le témoignage de Ptolémée, qu'il avait mis le plus grand soin à choisir les éclipses les plus avantageuses à la détermination des élémens qu'il cherchait à connaître. Ptolémée, après deux siècles et demi d'observations nouvelles, ne changea que très peu ces élémens; il est donc certain que ceux qu'il a employés dans ses Tables, ont été déterminés par un très grand nombre d'éclipsés dont il n'a rapporté que celles qui lui paraissaient le plus conformes aux résultats moyens qu'Hipparque et lui avaient obtenus. Les éclipses ne font bien connaître que le moyen mouvement synodique de la lune, et ses distances à ses nœuds et à son périgée; on ne peut donc compter que sur ces élémens, dans les Tables de l'Alraageste; or en remontant à la première époque de ces Tables, au moyen des mouvemens déterminés par les seules observations modernes, on ne retrouve point les moyennes distances de la lune, à ses nœuds, à son périgée et au soleil , que ces Tables donnent à cette époque. Les quantités qu'il faut ajouter à ces distances , sont a fort peu près celles qui résultent des équations séculaires; les élémens de ces Tables confirment donc à la fois , l'existence de ces équations et les valeurs que je leur ai assignées.

Les mouvemens de la lune par rapport à son périgée et au soleil, plus lents dans les Tables de l'Almageste, que de nos jours, indiquent encore dans ces mouvemens , une accélération pareillement indiquée, soit par les corrections qu'Albaténius , huit siècles après Ptolémée, fit aux élémens de ces Tables, soit par les époques des Tables qu'Ebn- Junis construisit vers !'an mil, sur l'ensemble des observations chaldéennes, grecques et arabes.

Il est remarquable que la diminution de l'excentricité de l'orbe terrestre soit beaucoup plus sensible dans les mouvemens de la lune, que par elle-même. Cette diminution qui depuis l'éclipsé la plus ancienne dont nous ayons connaissance , n'a pas altéré de quinze minutes, l'équation du centre du soleil, a produit une variation de deux degrés dans la longitude de la lune, et de huit degrés dans son anomalie moyenne : on pouvait à peine la soupçonner d'après

les observations d'Hipparqiie et de Ptolémée : celles des Arabes l'indiquaient avec beaucoup de vraisemblance; mais les anciennes éclipses comparées à la théorie de la pesanteur, ne laissent aucun doute à cet égard. Cette réflexion , si je puis ainsi dire , des variations séculaires de l'orbe terrestre par le mouvement de la lune, en vertu de l'action du soleil , a lieu même pour les inégalités périodiques. C'est ainsi que l'équation du centre de l'orbe terrestre , reparaît dans le mouvement lunaire, avec lui signe contraire, et réduite environ au dixième de sa valeur; pareillement l'inégalité causée par l'action lunaire dans le mouvement de la terre , se reproduit dans celui de la lune, mais affaiblie à peu près dans le rapport d'un à deux. Enfin l'action du soleil , en transmettant à la lune, les inégalités que les planètes font éprouver au mouvement de la terre, rend cette action indirecte des planètes sur la lune , plus considérable que leur action directe sur ce satellite.

Ici nous voyons un exemple de la manière dont les phénomènes en se développant, nous éclairent sur leurs véritables causes. Lorsque la seule accélération du moyen mouvement de la lune était connue , on pouvait l'attribuer à la résistance de l'éther , ou à la transmission successive de la gravité. Mais l'analyse nous montre que ces deux causes ne peuvent produire aucune altération sensible dans les moyens mouvemens des nœuds et du périgée lunaire; et cela seul suffirait pour les exclure, quand même la vraie cause des variations observées dans ses mouvemens serait encore ienorée. L'accord de la théorie avec les observations, nous prouve que si les moyens mouvemens de la lune sont altérés par des causes étrangères à la pesanteur universelle, leur influence est très petite et jusqu'à présent insensible.

Cet accord établit d'une manière certaine, la constance de la durée du jour, élément essentiel de toutes les théories astronomiques. Si cette durée surpassait maintenant, d'un centième de seconde, celle du temps d'IIipparque; la durée du siècle actuel serait plus grande qu'alors, de 365",25 : dans cet intervalle, la lune décrit un arc de 5.34",G; le moyen mouvement séculaire actuel de la lune, en paraîtrait donc augmenté de cette quantité, ce qui augmenterait de i3",5i son équation séculaire pour le premier siècle, à partir de 1801 , et qui, par ce qui précède, est de 3i",5oi7. Les observations ne permettent

23o EXPOSITION

pas de supposer une augmentation aussi considérable; on peut donc assurer que de|)uis Hipparque, la durée d'un jour n'a pas varié d'un centième de seconde.

Une des équations les plus importantes de la théorie lunaire , en ce qu'elle dépend de Taplatissement de la terre, est relative au mouvement de la lune en latitude. Cette inégalité est proportionnelle au sinus de la longitude vraie de ce satellite. Elle est le résultat d'une natation dans l'orbe lunaire, produite par l'action du sphéroïde terrestre, et correspondante à celle que la lune produit dans notre équateur, de manière que lune de ces natations est la réaction de l'autre; et si toutes les molécules de la terre et de la lune, étaient liées fixement entre elles, par des droites inflexibles et sans masse, le système entier serait en équilibre autour du centre de gravité de la terre, en vertu des forces qui produisent ces deux nutations; la force qui anime la lune, compensant sa petitesse, par la longueur du levier auquel elle serait attachée. On peut représenter cette inégalité en latitude , en concevant que l'orbe lunaire , au lieu de se mouvoir uniformément sur l'écliptique , avec une inclinaison constante , se meut avec les mêmes conditions, sur un plan très peu incliné à l'écliptique, et passant constamment par les équinoxes , entre l'écliptique et l'équateur; phénomène qui se reproduit d'une manière plus sensible , dans les mouvemens des satellites de Jupiter, en vertu de l'aplatissement considérable de cette planète. Ainsi, cette inégalité diminue l'inclinaison de l'orbe lunaire à l'écliptique, lorsque sou nœud ascendant coïncide avec l'équinoxe du printemps : elle l'augmente, lorsque ce nœud coïncide avec l'équinoxe d'automne; ce qui ayant eu lieu en 1755, a rendu trop grande, l'inclinaison que Masson a déterminée par les obsen'ations de Rradley de 1 760 à 1 760. En effet, M. Biirg qui l'a déterminée par des observations faites pendant un plus long intervalle, et en ayant égard à l'inégalité précédente, a trouvé une inclinaison plus petite de 1 1 ' j. Cet astronome a bien voulu, à ma prière, déterminer le coefficient de cette inégalité, par un très grand nombre d'observations, et il l'a trouvé égala — 24",69i4; M. Burckhardt en employant à cet objet, un nombre plus grand encore d'observations , vient de retrouver le

même résultat qui donne , pour l'aplatissement de la terre.

On peut encore déterminer cet aplatissement, au moyen de l'inégalité du mouvement lunaire en longitude, qui dépend de la longitude du noeud de la lune. L'observation l'avait indiquée àMayer, et Masson l'avait fixée à 23",765;mais comme elle ne paraissait pas résulter de la théorie de la pesanteur, la plupart des Astronomes la négligeaient. Cette théorie m'a fait voir qu'elle a pour cause , l'aplatissement de la terre. MM. Bûrg et Burckhardt l'ont fixée par un grand nombre d'observations, à 2o'',987; ce qui répond à l'aplatissement

5-= — p, le même à très peu près, que donne l'inégalité précédente du

mouvement en latitude. Ainsi la lune, par l'observation de ses mouvemens, rend sensible à l'Astronomie perfectionnée, l'ellipticité de la terre dont elle fit connaître la rondeur aux premiers Astronomes, par ses éclipses.

Les deux inégalités précédentes méritent toute l'attention des observateurs: elles ont sur les mesures géodésiques, l'avantage de donner l'aplatissement de la terre, d'une manière moins dépendante des irrégularités de sa figure. Si la terre était homogène, elles seraient beaucoup plus grandes que suivant les observations qui, par conséquent, excluent cette homogénéité. Il en résulte encore que la pesanteur de la lune vers la terre, se compose des attractions de toutes les molécules de cette planète; ce qui fournit une nouvelle preuve de l'attraction de toutes les parties de la matière.

La théorie combinée avec les expériences du pendule et les mesures des degrés terrestres, donne, comme on Ta vu dans le premier chapitre de ce livre, la parallaxe de la lune, à très peu près conforme aux observations; en sorte que l'on pourrait réciproquement conclure de ces observations, la grandeur de la terre.

Enfin, la parallaxe solaire peut être déterminée avec précision, au moyen d'une équation lunaire en longitude, qui dépend de la simple distance angulaire de la lune au soleil. Pour cela, j'ai calculé avec un soin particulier, le coefficient de cette équation; et en l'égalant à celui que MM. Burckhardt et Bûrg ont trouvé par la comparaison d'une longue série d'observations, j'en ai conclu la parallaxe moyenne du soleil, de 2G",58, la même que plusieurs Astronomes ont déduite du dernier passage de Vénus.

Il est très remarquable qu'un Astronome , sans sortir de son observatoire, en comparant seulement ses observations à l'analyse, eût pu déterminer exactement la grandeur et l'aplatissement de la terre, et sa distance au soleil et à la lune, élémens dont la connaissance a été le fruit de longs et pénibles voyages dans les deux hémispbères. L'accord des résultats obtenus par ces deux métbodes , est une des preuves les plus frappantes de la gravitation universelle.

Nos meilleures Tables lunaires sont fondées sur la théorie et sur les observations. Elles empruntent de la théorie, lesargumens des inégalités, qu'il eût été très difficile de connaître par les observations seules. J'ai déterminé, dans mon Traité de Mécanique céleste , les coefficiens de ces argumens, d'une manière fort approchée; mais le peu de convergence des approximations , et la difficulté de démêler dans le nombre immense des termes que l'analyse développe, ceux qui peuvent acquérir par les intégrations une valeur sensible, rendent très épineuse, la recherche de ces coefficiens. La nature elle même nous offre dans les recueils d'observations, les résultats de ces intégrations si difficiles à obtenir par l'analyse. JMM.Burckhardt et Bûrg ont employé à les déterminer,plusieurs milliers d'observations, et ils ont ainsi donné une grande précision à leurs Tables lunaires. Désirant d'en bannir tout empirisme, et de voir discuter par d'autres Géomètres, plusieurs points délicats de la théorie auxquels je suis parvenu le premier, tels que les équations séculaires des mouvemens de la lune; j'obtins de l'Académie des Sciences, qu'elle proposerait pour le sujet de son prix de mathématiques de l'année 1820, la formation par la seule théorie, de Tables lunaires aussi parfaites que celles que l'on a formées par le concours de la théorie et des observations. Deux pièces ont été couronnées par l'Académie : l'auteur de l'une d'elles, M. Damoiseau, l'avait accompagnée de tables qui , comparées aux observations , les ont représentées avec l'exactitude de nos meilleures tables. Les auteurs des deux pièces s'accordent sur les inégalités périodicpies et séculaires des mouvemens de la lune. Ils diffèrent peu de mon résultat sur l'écjuation séculaire du moyen mouvement; mais au lieu des nombres 1 ; 4;o,265 par lesquels j'ai représenté les rap])orts des équations séculaires du mouvement de la lune, relativement au soleil, au périgée de l'orbe lunaire et à ses nœuds; ils ont trouvé les nombres 1 ; 456776; 0,39t. M. Damoiseau

dans sa pièce, avait donné le second de ces nombres à fort peu près égal à 4 ; mais ayant revu ses calculs avec un soin particulier, il est parvenu au résultat de MM. Plana et Carlini, auteurs de l'autre pièce. Comme ils ont porté fort loin les approximations; leurs nombres paraissent préférables à ceux que j'avais déterminés. Enfin, ces approximations leur ont donné les moyens mouvemens du périgée et des nœuds de l'orbe lunaire, exactement conformes aux observations.

Il suit incontestablement de ce qu'on vient de voir, que la loi de la gravitation universelle, est la cause unique de toutes les inégalités delà lune; et si l'on considère le grand nombre et l'étendue de ces inégalités, et la proximité de ce satellite à la terre; on jugera qu'd est de tous les corps célestes, le plus propre à établir cette grande loi de la nature, et la puissance de l'analyse, de ce merveilleux instrument sans lequel il eût été impossible à l'esprit bumain , de pénétrer dans une théorie aussi compliquée, et qui peut être employé comme un moyen de découvertes , aussi certain que l'observation elle-même.

Quelques partisans des causes finales, ont imaginé que la lune avait été donnée à la terre, pour l'éclairer pendant les nuits. Dans ce cas, la nature n'aurait point atteint le but qu'elle se serait proposé, puisque souvent, nous sommes privés k la fois de la lumière du soleil et de celle de la lune. Pour y parvenir, il eût suffit de mettre à l'origine, la lune en opposition avec le soleil, dans le plan même de l'écliptique , à une distance de la terre , égale à la centième partie de la distance de la terre au soleil; et de donner à la lune et à la terre, des vitesses parallèles proportionnelles à leurs distances à cet astre. Alors, la Urne sans cesse en opposition au soleil , eût décrit autour de lui, une ellipse semblable à celle de la terre; ces deux astres se seraient succédé l'un à l'autre sur l'horizon; et comme à cette distance, la lune n'eût point été éclipsée, sa lumière aurait constamment remplacé celle

du soleil.

D'autres philosophes frappés de l'opinion singulière des Arcadiens qui se croyaient plus anciens que la lune, ont pensé que ce satellite était primitivement une comète qui, passant fort près de la terre, avait été forcée par son attraction , de l'accompagner. Mais en remontant par l'analyse, aux temps les plus reculés; on voit toujours la lune se mouvoir dans un orbe presque circulaire, comme les planètes

autour du soleil. Ainsi , ni la lune, ni aucun satellite n'a été originairement une comète.

La pesanteur à la surface de la lune , étant beaucoup plu's petite qu'à la surface de la terre, et cet astre n'ayant point d'atmosphère qui puisse opposer une résistance sensible au mouvement des projectiles; on conçoit qu'un corps lancé avec une grande force, par l'explosion d'un volcan lunaire, peut atteindre et dépasser la limite où l'attraction de la terre commence à l'emporter sur l'attraction de la lune. Il suffit pour cela, que sa vitesse initiale suivant la verticale, soit de 25oo mètres par seconde. Alors au lieu de retomber sur la lune, il devient un satellite de la terre, et décrit autour d'elle, une orbite plus ou moins allongée. Son impulsion primitive peut être tellement dirigée, qu'il aille rencontrer directement l'atmosphère terrestre : il peut aussi ne l'atteindre qu'après plusieurs et même un très grand nombre de révolutions; car il est visible que l'action du soleil, qui change d'une manière très sensible les distances de la lune à la terre, doit produire dans le rayon vecteur d'un satellite mû dans un orbe fort excentrique, des variations beaucoup plus considérables, et peut diminuer à la longue la distance périgée du satellite, en sorte qu'il pénètre dans notre atmosphère. Ce corps, en la traversant avec une grande vitesse, éprouverait une très forte résistance, et finirait bientôt par se précipiter sur la terre : le frottement de l'air, contre sa surface, suffirait pour l'enflareimer et le foire détoner, s'il renfermait des matières propres à ces effets ; et alors il nous offrirait tous les phénomènes que présentent les aérolithes. S'il était bien prouvé qu'ils ne sont point des produits des volcans ou de l'atmosphère , et qu'il faut en chercher la cause au-delà , dans l'espace céleste; l'hypothèse précédente qui d'ailleurs, explique l'identité de composition, observée dans les aérolithes, par celle de leur origine, ne serait point destituée de vraisemblance.

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