L.BS XjIC3-N"E3S ITOIST FXjA.rTH]S
Propriété fondamentale des surfaces, et premlËres notions sur
les surfaces dëveloppables
De lu tanyente.
Comme dans les lignes planes, un arc infiniment petit MM' et sa corde
sont deux infiniment petits égaux
Comme dans tes lignes planes, l'inclinaison de la tangente au point M sur la corde de l'arc MM' est du même ordre infinîlésimal que l'are
Du plan osculateur.
Sa définition
Il est identique à la limite du plan que déterminent la tangente en M et le point M'
Il est identique encore au plan mené par la tangente en M parallèlement à celle en M'
A l'exclusion de tout autre plan tangent, la courbe traverse en général le plan osculaleur ait point de contact
Le plan que déterminent trois points de la courbe infiniment voisins se confond avec le plan osculateur
L'angle des plans osculaleurs en M et M', ou l'angle de torsion, est de l'ordre de l'arc
La tangente MT du point M est la limite de l'intersection des plans osculaleurs en M et en M', et M est la limite du point de rencontre de ces deux droites, l'intersection et la tangente
L'intersection des plans osculaleurs en trois points d'une courbe infiniment voisins est infiniment voisine de ces trois points
Dlgresilon sur l'emploi des courbes auxiliaires.
Précaution sans laquelle leur introduction dans les raisonnements peut conduire à des résultats erronés. Exemple
Expressions de diverses grandeurs qui naissent de la considËratlon des tangentes et des plans osculateurs aux deux extrémités d'un arc inllnitésimal.
Quelques lemmes
Extension aux lignes non planes de théorcmes établis pour les lignes
planes
L'inclinaison de la laBgente en M' sur le plan osculateur en M est de l'ordre du carré de l'arc, et égale au demi produit des angles de conting^ence et de torsion
L'angple que fait l'intersection des pians oscuiateurs en M et M' avec la tangente ep l'un ou l'autre de ces deux points vaut la moitié de l'angle de contingeoce
L'iDClinaison, sur le plan osculateur au point M, du plan mené par la tangente en ce point parallèlement à celle en M', est égale au demi angle de torsion
La dislance de M' au plan osculateur en M est de l'ordre du cube de l'arc, et égale au sixième du produit de l'arc par les angles de contingence et de torsion
La distance des tangentes en M et M' est, pareillement, de l'ordre du cube de l'arc, et elle vaut le douzième du même produit
Déterminalion de divers infiniment petits ..-.-,
L'excès de l'arc MM' sur sa corde est de l'ordre du cube de l'arc, et égal k la viogt-quatrième partie du produit de l'arc par le carré de l'angle de contingence
Du cercle de courbure et du cercle osculateur.
Appelant i:ercle de courbure celui dont le rayon est la limite du rapport - — , il est égal au cei'cle de même définition de la projection de la courbe sur le plan osculateur
Appelant cercle osculateur celui dont le contact avec la courbe dans le voisinage du point M est le plus intime, il est situé dans le plan osculateur, son rayon est celui du cercle de courbure, et son centre est sur la normale principale, nommant ainsi la normale tirée dans le plan osculateur
Comme dans les lignes planes, le cercle osculateur est délermîaé par trois points de la courbe infiniment voisins
La limite du cercle tangent en M à ta courbe et passant par M' est identique au cercle osculateur
Lemme. — Considérant la projection de la courbe sur le plan osculateur en M et appelant m' la projection du point M', l'excès du rayon de courbure en m' à la projection sur le rayon de courbure en M' à la courbe projetée est de l'ordre du carré de l'arc et égal à ^ifl, it étant l'angle de torsion
Expressions de diverses grandeurs qui naissent de ia considération de certaines normales en deux points d'une ligne infiniment voisins, ainsi que de celle des centres de courbure.
L/inclinaison de la normale principale en M' sur le plan normal en M est égale à l'angle de contingence
J .'iaclÎDaison de cette normale sur le plan osculaleur en M est égale à i'angle de torsion
Angle des normales principales en M et M' ou théorème de Lancrel, obtenu au moyen des deux déterminal ions précédentes
La démonstration de Lancret
Direction de la commune perpendiculaire aux deux normales
Plus courte distance de ces deux normales
Expression de la distance MD du point M à cette commune perpendiculaire, D étant la limite de son intersection par la normale princi-
iMD est plus petit que le rayon p du cercle osculaleur, et le point D tombe entre M et le ceatre de ce cercle
Lieu du point D, ou ligne de striction de ia surface des normales principales; il court sur cette surface entre la ligne primitive et le lieu des centres des cercles osculateurs
De la Dormale perpendiculaire au plan osculateur, ou binorraale. L'inclinaison de la binormale en M' sur ie plan normal en M est de l'ordre du carré de l'arc, et éjfale au demi produit des angles de contingence et de torsion
L'inclinaison, sur le plan normal au point M, du plan mené par la binormale en ce pomt parallèlement à celle en M' vaut la moitié de l'angie de contingence
La ligne de striction du lieu des binormales coïncide avec la courbe primitive. Conséquences
Remarques ,
La tangente au lieu des centres des cercles osculateurs est située dans le plan normal
Expression de l'arc CC du lieu du centre de courbure, correspondant à l'arc MM' de la ligne primitive
Direction de la tangente au lieu du centre de courbure
Dans les lignes non planes le lieu du centre de courbure n'est plus une développée de la primitive
Nations sur les surfaces réglées ^^
De la polaire (intersection limite des plans Qorniadx en M et M')
8t de la surface polaire 113
La polaire se confond avec la normale au plan osculateur menée par le centre de courbure H S'-
La surface polaire est dèveîoppabje, et les plans normaux de la courbe sont ses pUns tant^ento Le* polaires sont les tangentes de 1 arête de rebroussement de la surfai-e, et les plans nornnux de H courbe sont les plans osculateurs de celle arête, dont tout point, dès lors, est l'intersection limite des plans normaux en trois points de la courtx' infiniment \oisins IIH
Construction qui, indépendamment de& théorèmes sur les surfaces rég'lées, rend sensible le fait que la surface polaire présente deux nappes symétriques se rencontrant suivant une ligne qui forme arête de rebroussement 117
Construction qui rend sensible le lait qu'un point de l'arête de rebroussement de la surface polaire est l' intersection des plans normaux de la ligne primitive en trois de ses points infiniment voisins, f 13
Les normales principales de l'arête de la surface polaire sont parallèles à celles de la courbe primitive, et les angles de contingence et de torsion de l'une de ces deux lignes sont égaux respectivement aux angles de torsion et de contingence de l'aulre. Conséquences H9
Appelant S le point où cette arête est touchée par la polaire, et C celui ois la polaire traverse le plan osculateur de la courbe primitive, donc le centre de courbure do cette dernière ligne, la distance CS a pour expression — 13t>
Détermination de la position, selon les cas, du point S, relativement au plan osculateur de la primitive 131
Valeur de l'arc SS' du lieu des points S, S' étant le point de l'arête qui correspond à M' 122
Détermination, faite en vue de justifier un certain tracé, de la position que prend selon les cas le point C, centre du cercle osculateur en
M', relativement au plan normal en M à la primitive 12,1
Du lieu des centres de courbure.
Son angle de contingence. 124
Position de son plan osculateur l^S
Son angle de torsion 127
De la sphère oiculatrice.
Définilion de celte sphère; sa dislance à la courbe dans le voisinage du
point de conlacl est d'ordre supérieur au troisième 133
'La aphère déterminée par la double condition de contenir le cercle osculaleur et de passer par le point M' se confond à la limite avec
la sphère osculatrice 131
Centre et rayon de la sphère osculatrice. Ce centre n'est autre que le point S, c'est-à-dire que le point où l'axe du cercle osculateur touche
l'arête de rebroussement de la surface polaire «
Une seconde manière de former l'expression de l'arc SS' 13H
La sphère déterminée par quatre points de la courbe infiniment voisins
coïncide avec la sphère osculatrice lltii
Construction qui rend sensible le fait que le centre de la sphère osculatrice est situé sur l'arête de rebroussement de la surface polaire. , 137
Angle des deux rayons MS et M'S' 13S
La commune perpendiculaire à ces deux rayons; sa distance au point M et sa direction. Expression de la partie comprise entre les deux rayons. La ligne de striction de la surface lieu des droites MS;
expression de son arc infinitésimal et direction de sa tangente 139
Un lemme liO
Le cercle osculateur est l'interseclion limite des sphères osculatrices
en M et M' 141
Angle de ces deux sphères 144
Deu.ï théorèmes sur la sphère osculatrice "
Parmi les cônes ronds qui contiennent le cercle osculateur et dont les sommets, par suite, sont sur l'axe de ce cercle, autrement dit sur la polaire, il en est un qui serre la courbe d'infiniment plus près que tous les autres. Sa distance à la courbe, près du point de contact, est la même que celle de la, sphère osculatrice, et si l'on appelle A
son sommet, AM et SM sont à angle droit 147
Distance de A au plan osculaleur 14S
Ce cône est la limite du cône rond assujetti à contenir le cercle osculateur en M et le point M' liô
Des dËveloppées- Si l'on fait rouler le plan tangent sur la surface polaire, ce pian, qui dans SOD mouvement est toujours normal à la ligne primitive, est
constamment traversé par elle au même point »
Génération des développée» 1S2
Il n'exisle pas <le développées hors de la surface polaire (5u
Les développées d'une courbe sont les lignes géodésiques de sa surface polaire 164
Si l'on développe la surface polaire sur un plan, les transformées des développées iront toutes concourir en un même point »
Les développées d'une liji^ne non plane sont, elles aussi, des lignes non planes, et, à part le lieu des centres de courbure, les développées d'une ligae plane sont des hélices 155
Le plan osoulateur d'une développée en un point N est le plan NMT, MT étant la tan^çenle à la primitive 1 5ii
Si l'on fait rouler le plan normal sur la surface polaire, le plan NMT, supposé invariablement lié au plan normal, reste pendant tout le cours du mouvement osculateur à la développée 137
La variation que subit, quand on passe de M à M', l'ang'le des plans oscuiateurs à la primitive et à l'une quelconque de ses développées est égale k v, c'est-à-dire à l'angle de torsion de la première de ces deux lignes 159
Expression de l'arc NN' d'une développée correspondant à l'arc MM'
de la pi'irailive, et valeurs de ses angles de torsion et de conling'ence 16ft
De la surface rectltiiuile et des développantes.
Définitions 161
Il n'y a, pour une ligne donnée, qu'une seule surface recliGante 162
Une développée a pour surfac* rectifiante la surface polaire de la lig-ne primitive »
Inclinaison de la droite reclifiaote sur la tangenlc et sui' le plan osculateur de la ligne primitive 163
Angle de la droite rectifiante et de la tangente au lieu du centre de courbure »
Direction du plan osculateur d'une développante. II est parallèle à deux normales principales de la ligne primitive infiniment voisines. Conséquences 161
Rayon de courbure et rayon de torsion des développantes 163
Arête de reforousseraent de la surface rectifiante; son angle de contingence et son angle de torsion 166
Expression de l'arc PP', P et P' étant les points de cette arête qui correspondent i M et à M', et expression de la distance MP 167
Détermination du cdté du plan osculateur de la ligne considérée où se trouve, selon les cas, le point P »
Propriété caractéristique de ta droite rectifiante.
La rectifiante rciativu au point M est, de toutes les droites, la plus également iftclinée sur les tangeates en M et M', et la plus également inclinée aussi sur les binormales en ces deux points ITd
Le cfine rond oscuiaUur, le long d'une génératrice, à la surface lieu des tangentes
Sa détermination, l'ondée sur la propriété caractéristique de la droite
rectifiante. Son axe coïncide avec cette droite 172
Les sections faites dans la surface lieu des tangentes par deux plans menés d'us mêitte point A de la tang;enté MT perpendiculairement, l'un à cette tangente, l'autre à l'axe du cône osculateur. Leurs centres de courbure au point A sont situés tous deux sur cet axe . . 175
Ces deux résultats rattachés l'un à l'autre par le théorème de Meusnierv Démonstration purement géométrique de ce théorème 177
L'angle Irlédre de la tangente, de la binormale, et de la normale principale.
Appelant T, B, P, R lés quatre cônes que l'on formerait en menant d'un point Odes parallèles à toutes les tangentes, k toutes lesbinormaies, à toutes les normales principales, à toutes les droites rectiiianlcs d'une courbe, et appelant Ol, Oi, 0/> les parallèles à la tangente, à la binormate, à la normale principale en un même point (Je la courbe, si sur le cdne R on fait rouler le plan lOb, qui est parallèle au plan rectifiant relatif à ce point, les droites Ol, 06, Qp, en les supposant invariablement liées au plan tOb et entraînées dans son mouvement, décriront respectivement les trois cônes T, B, P. . 178
De l'hélice osculatrice.
§ 1. Nouons préliminaires sur l'hélice 183
§ 3. De l'hélice ti'acée sur un cylindre rond 189
g 3. De i'iiélîce mise en contact avec une autre courbe non plane
quelconque 190
g 4. De l'hélice osculatrice. Sa distance h la courbe dans le voisinage du point de contact est du troisième ordre, et elle s'exprime par la même formule que la distance de la courbe au cercle osculateur dans les lignes planes. Son axe, appelant ainsi l'axe de son cylindre, est 8 perpendiculaire à deux normales principales infiniment
I s. Surface lieu des axes des hélices osculatrices. La ligne de striction de cette surface coïncide avec celle du lieu des normales principales, et en chaque point de cette ligne les deux surfaces ont le même plan tangent. La commune perpendiculaire aux axes des hélices osculatrices en deux pointe de ta courbe infiniment voisins se confond avec la normale principale
Expression de l'arc 11' de la lifçne de siriction correspondant à l'arc MM' de la courhe primitive; direction de la tangente en 1 à cette ligne, et angle des plans tangents à la surface aux deux extrémités de l'arc
Distance de la courbe h la sphère osculalrice dans le voisinage du point de contact.
Expression la plus simple de cette grandeur du quatrième ordre ... .
Plaache I
Fi^tiT-es 1 à20
Expos^^qéom'^'^des pwpr. ^ên.°'"deù- coiLi-hes,6™^èd,.
Planche II
Fjmire,? 2i à,35 M B- L K
Expos""'^è4)m^'"'des propr. gài''^"<les conrbes.6''^éd..
Planche III
Maures 36àS3
Kvpos""'qcom'^'"'âcs prvpr. ç/én"^ des courbes, ô^^èâ..
Planche N
Expos^'^qévm '^""des- propi: aén"''" des courbe.^, ô"'^éêi.
Planche V
Figijj'e.â- 6'8àSJ
Expos"''Qéom '^"^despwpr.gén^'^des courbes, 6"^ éd..
Planche VI
lïaiiT-es 82 à 94
^pos"'^gèont^''^des propn gén'^ d&s courbes.6"^é(t.
ai H
.98 Planche VII et dernière
J-iffiu-es .95 à ni
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