MM

Il résulte de là que MM' et MQ sont des infiniment petit égaux,

puisque, formant deux côtés du triangle, leur différence est plus petite que M'Q, qui forme le troisième.

9. L'accroissement que prend le rayon de courbure quand on passe de l'une à l'autre des deux extrémités d'un arc est égal en longueur à l'arc correspondant de la développée (*).

Durant tout le cours de cette Exposition l'arc infiniment petit MM' sera considéré comme étant du premier'ordre infinitésimal. Ceci convenu, et les mêmes lettres (fig. 7) continuant à représenter les mêmes choses, nous montrerons d'abord que M'C — MC, quantité dont le rajoa de courbure crott de M à M', ne peut différer de l'arc GC que d'une grandeur d'ordre supérieur au premier.

Soient H et K les points en lesquels les perpendiculaires élevées à MC de M et de C coupent M'C ; on a arc ce — (M'C — MC) = M'H — (KC — arc CC) — (HK — MC).

D'après le précédent numéro, M'H et KC — arc CC sont infiniment petits, le premier par rapport à l'arc MM', le second par rapport à l'arc CC ; il sont donc d'ordres supérieurs au premier. Et quant a la différence HK — MC, elle est du second ordre puisque l'angle des directions HK, MC, étant égal à celui des tangentes en M et en M', est du premier. Les termes du second membre de l'ég^alité sont donc tous trois d'ordres supérieurs au premier ; par suite M'C — MC ne peut différer de l'arc CC que d'une quantité d'ordre supérieur au premier.

Dès lors, si l'on prend un arc fini Ali de la lig'ne primitive et qu'on le décompose en arcs infiniment petits tels que MM', la somme des différences entre les arcs correspondants CC de la développée et les quantités M'C — MC sera infiniment petite comparée à la somme des arcs MM', c'est-à-dire à l'arc AB, et conséquemment elle sera nulle. En d'autres termes la somme des arcs CC, laquelle n'est autre que l'arc de développée qui correspond à l'arc AB de la ligne primitive, est précisément égale à la somme des différences M'C — MG. Mais cette dernière somme est l'accroissement que prend le rayon de courbure quand on passe de l'une à l'autre des deux extrémités de l'arc est emprimlée aux EtémenU de calcul infini-

AB, Cet accroissement est donc égal en longueur à l'arc correspondant de ia développée.

Corollaire. Menons une tangente à ia développée, en la prolongeant, du côté de la courbe primitive, seulement jusqu'à sa rencontre avec celle-ci ; puis faisons-la rouler, sans glisser, sur la développée. Au bout d'un temps quelconque sa longueur, comptée à partir du point de contact, a crû ou décru exactement de la longueur de l'arc ■de développée sur lequel elle a roulé pendant ce t«mps. Par conséquent, en vertu de la proposition de tout à l'heure, son extrémité n'a point quitté la ligne primitive. Dès lors, quand la langent* roule sur le lieu du centre de courbure, l'un de ses points décrit la ligne primitive. Si donc on se représente que, par l'effet du contact, les points de ce lieu restent adhérents à la tangente, celle-ci les entraînera l'un après l'autre dans son mouvement, transformant par là en une droite le lieu en question, lequel se trouvera alors engendrer la courbe primitive par son développement en ligne droite. De là vient que le lieu du centre de courbure a reçu le nom de développée (*).

10. Un arc MN est tout entier hors du cercle de courbure au point M lorsque le rayon de courbure va croissant toujours de M Jusqu'à N; il est dans l'intérieur de ce cercle si au contraire le rayon de courbure va décroissant.

Il suffit évidemment, se plaçant dans la première bypothèse, de faire voir que le point N est situé hors du cercle de courbure en M, et que le point M se trouve dans l'intérieur du cercle de courbure enN.

Soit CD (fig. 8) l'arc de la développée qui correspond à l'arc MN, Cl étant le centre de courbure au point M, etD celui au point N; on a

CN + arcGD>DN, d'où, à cause de DN = CM + arc CD, CN > CM.

Le point N est donc extérieur au cercle de courbure en M. Puis

DM < CM + arc CD,

(*) Par rapport à la développée, la courbe primitive est une dévehppante. Il sera parlé des développantes dans la seconde partie de l'onvragc.

et par conséquent, ensuite de la même ég-alité, DM < DM.

Le point M est donc situé dans l'intérieur du cercle de courbure eiiN.

Corollaire. 11 résulte de ce qu'on vient de lire que le cercle de courbure en un point quelconque A de l'arc MN comprend dans son intérieuv l'arc AM et laisse en dehors de lui l'arc AN. Partant, le cercle de courbure traverse en général la courbe au point de contact.

Pour que le cercle de courbure ne traverse pas la courbe au point de contact il faut qu'en ce point le rayon de courbure cesse de croître pour commencer à décroître, ou qu'il cesse de décroître pour commencer à croître. Dans te premier cas la courbe se voit dans l'intérieur du cercle de courbure de part et d'autre du point de contact ; dans le second cas, au contraire, elle est, de part et d'autre du point de contact, extérieure à ce cercle. Les extrémités du petit axe de l'ellipse offrent un exemple de points où le rayon de courbure cesse de croître pour commencer à décroître, et passe donc par un maximum. En celles du grand axe, ce rayon passe par un minimum.

11. Parmi les cercles tangents à une courbe en un point donné aucun ne la traverse en ce point, à part le cercle de courbure.

Le rayon d'un cercle tangent à la courbe au point M peut être plus grand ou plus petit que le rayon de courbure CM. Nous montrerons que s'il est plus grand le cercle est situé, dans le voisinage de M et de part et d'autre de ce point, entre la courbe et la tangente, et que s'il est plus petit c'est au contraire la courbe qui est située, dans le voisinage de M et de part et d'autre de ce point, entre le cercle et la tangente. Le théorème énoncé résultera de là, A cause de la proposition précédente il suffira dans le premier cas de considérer le côté où le rayon de courbure va croissant à partir de M, et, dans le second, de considérer le côté où ce rayon va décroissant.

ler cas. Soit V (fig. 9), situé sur la normale MC au-delà do G par rapport à M, le centre du cercle. On suppose que le rayon de courbure commence par aller croissant lorsque, parlant de M, on marche dans le sens MX.

donc, à forti

Par un point pris sur la normale entre C et V menons une seconde tang-cnte à la développée. Soient D le point de contact et N le point où. elle coupe l'arc MX. Nous allons reconnaître qu'on a, en supposant assez voisin de C ponr que l'arc CD soit convexe, VN <, VM, et, cooséquemment, que le point N est situé dans l'intérieur du cercle de centre V. Il suivra de là que ce cercle passe entre la tang:enle et l'arc MN,

Puiscfue l'arc CD est convexe, on a

arc CD < DO 4- OC, d'où

arc CD + CM < DO + OM,

DN<DO + OM, d'où