Lei rayons de courbure sont tangents à la développée

M et M' (fig, 5) étant toujours deux points infiniment voisins pris sur la ligne donnée, soient C et C les centres de courbure qui leur correspondent : il sera acquis que le rayon de courbure MG est tangent en C à la développée si l'on prouve que l'angle qu'il fait avec ce a zéro pour limite. Soit O l'intersection de MG et de M'G' ; la question est ramenée k faire voir que l'angic C du triangle OCC' est inËniment petit.

L'arc ce de la développée est du niÉme ordre infinitésimal que l'arc MM', car la longueur de la développée et celle de la courbe primitive, comptées sur l'une et sur l'autre ligne à partir d'un de ses points, sont deux variables fonctions l'une de l'autre, ce qui fait que leurs accroissements simultanés et infiniment petits sont en général du même ordre. L'angle MOM', égal à l'angle des tangentes en M et en M', est aussi du même ordre que l'arc MM'. 11 suit de là que le

rapport . ■ - tend vers une limite finie, et aussi par conséquent son '^'^ sin O '^ ^

iG' voisin des points C et G' (6). Donc l'angle C est infiniment petit.

8. J^emme. On a joint, par une droite, M' avec un point Q pris sur la tangente en M (fig. 6). On ne suppose pas la direction M'Q invariable, on suppose seulement que l'angle qu'elle fait avec la tangente en M tende vers une limite différente de zéro, M'Q est alors infiniment petit comparé à l'arc MM', et les longueurs arc MM' et MQ sont des infiniment petits égaux. L'arc MM' et sa corde étant égaux en tant qu'infiniment petits, on pourra dans le raisonnement substituer la corde à i'arc.

Le triangle MM'Q donne tttt;^^^- — jr ; or l'angle M tendant vers

. sin M zéro et l'ansfle vers une limite finie, —, — ^ tend vers zéro, et par * ^ sm Q ^

suite aussi — — - , -. Donc M'Q est infiniment petit par rapport à l'arc