VN>VM

Corollaire. — // n'est pas possible de tracer un cercle gui passe, à partir du point de contact, entre la courbe, et le cercle de courbure. Cela résulte clairement de ce qu'on vient de lire. On verra même plus loin que la courbe est, dans les environs du point, de contact, infiniment plus voisine du cercle de courbure que de tout autre cercle tang-enl.

12, Le cercle de courbure est la limite du cercle tancent à la courbe au point considéré et passant par un second point de la courbe infiniment voisin.

Soit MX (fig. 1 1) un arc de la courbe. Supposons qu'à partir de M le rayon de courbure commence par croître quand on marche dans le sens MX. Soit MY un arc du cercle de courbure pris du mÈme cdté de la normale en M que l'are MX : l'arc MX court, dans les environs de M, entre l'arc MY et la tangente (lo).

Soit V un point situé sur MG au-delà de G par rapport à M : le cercle de centre V et de rayon VM passe, dans le voisina§:e du point M, entre l'arc MX et la tangente (ii), et, par suite, dans les environs du point M, l'arc MX passe entre ce cercle et le cercle de courbure, et ceci a lieu quelque petite que soit la distance GV.

Si maintenant on rapproche le point V indéfiniment de G, le cercle dont V est le centre se rapprochera indéfiniment du cercle de courbure et se confondra avec lui à la limite. Puis doncque ces deux cercles sont, dans le voisinag'e du M et du eôt^ MX, situés de part et d'autre de la courbe, il faut que celui dont le centre est V la coupe en un point qui aille se rapprochant indéfiniment de M lorsque V tend vers G. De là résulte la proposition.

Si l'on avait supposé que le rayon de courbure commençât par décroître à partir de M, on aurait pris le point V entre M et C, et la démonstration eût été la mémo.

Expressions de diverses grandeurs qui naissent de la considération d'un arc infinitésimal et des tangentes en ses extrémités.

13. L'angle que fait avec la corde d'un arc infiniment petit la tangente en l'une de ses extrémités est égal à la moitié de l'angle de contingence.

Soit MT (fig. 12) la tangente au point M : il s'agit do moutrer que l'ang'le TMM' a pour expression ^, c'est-à-dire qu'il ne diffère do -e que d'une fraction infiniment petite de lui-même.

Gonsidérons le cercle qui est tangent à la courbe donnée au point M et qui passe par M' ; appelant S l'arc MM' de ce cercle, son rayon

En vertu de la proposition établie au numéro précédent, la limite de ce rapport est égale au rayon de courbure en M; mais désignant, comme nous le ferons dorénavant, par As l'arc MM' do la courbe donnée, ce dernier rayon est, par définition, la limite du rapport ■ — .

Partant, les rapports ■■■ ; ■ ..- et — tendent vers la même limite. Or '*^ 2TMM' e

leurs numérateurs, étant des arcs de même corde, sont des infiniment

petits égaux; leurs dénominateurs sont dès lors aussi des infiniment

petits égaux, ce qui démontre la proposition.

Ce raiaonnemeat suppose que le rayon de courbure ne soit ni nul ni infini en M, c'est-à-dire que As et £ soient en ce point du même ordre. Il est en défaut si en M le rayon de courbure est nul ou infini.

Soit M'T' la tangente au point M' : l'ang'le T'M'M ayant de même pour expression :S, les angles TMM', T'M'M sont des infiniment petits égaux. Leur somme est exactement égale à s, comme on le reconnaît immédiatement au moyen du triangle que forment la corde et les deux tangentes. Quant à leur différence, nous en donnerons plus loin (27) l'expression, et l'on verra qu'elle est du second ordre.

Corollaire. Soit L l'intersection des tangentes en M et en M' ; le

triang-Ie LMM' donne r7-T-=— ; — r7 > et comme, ensuite de ce qu'on " ML sm M ^

vient de lire, le second membre tend vers l'unité, il en est de même

du premier; ML et M'L sont donc des infiniment petits égaux. Mais

d'un autre côté nous avons vu (3, Remarque I) que ML + M'L et

arc MM' sont égaux en tant qu'infiniment petits. Par conséquent

ML et M'L sont, en tant qu'infiniment petits, égaux à la moitié de

l'arc MM'. En d'autres termes, la partie de la tangente comprise

entre le point de contact et son intersection avec la tangente en

un point infiniment voisin a pour expression ^is. As représentant

l'arc compris entre ces deux points.

La différence des longueurs ML et M'L est du second ordre, ainsi qu'on le reconnaîtra plus loin (28), quand nous en formerons l'expression.

14. Le supplément d'un angle inscrit dans un arc infiniment petit vaut la moitié de l'angle de contingence.

Soit H (fig-, i3) un point pris sur l'arc MM' : HI ét&nt le prolongement de la corde MH, il s'ag'it de montrer que l'ang'le lUM' est, en tant qu 'infiniment petit, ég'al à ,s.

Soit AB la (ao^^ente au point H, on a

!HM' = inB + BHM', ou 1HM' = AHiM + BHM'.

Désig'nynL par h, j3 les ang-les de contingence des arcs MU, M'H, on a, exactement, a + p = e. Or d'après le numéro précédent les angles AHM, BHM' sont ég-aux respectivement à ^, -(3 ; on a par conséquent, en négligeant une fraction infiniment petite de IIIM', IHM' = ^€.

15. Dislance de l'extrémité d'un arc infiniment petit à la tangente en son origine.

L {fig. i4) continuant h. être l'intersection des tangentes en M et en M', soitP le pied de la perpendiculaire abaissée de M' sur la tangente en M ; on a

]\rP = M'L slnM'LP = M'L sine.

On n'altère le second membre que d'une fraction infiniment petite de lui-même si l'on remplace M'L par jis (i3, Cor.) et sin e par s (3, Rem, II). Il devient alors tEAs, et l'on a cette proposition : La distance de l'extrémité d'an arc infiniment petit à la tangente en son origine est de l'ordre du carré de l'arc, et vaut la moitié du produit de l'arc par l'angle de contingence.

Remarque. La distance de M' à la tangente en M complée suivant une direction quelconque faisant avec cette tangente un angle qui devienne droit à la limite a aussi pour expression ^sAs. Car soit M'Q cette distance, on a

M'Q^ I M'P sinM'QP et comme, ensuite de l'hypothèse, le second membre (end vers l'unité, M'Q et M'P sont des infiniment petits égaux.

*16. Flèche d'un arc injinitésimal. Soient A (fig. i5) le milieu de la corde MM', et B le point où l'arc est coupé par la perpendiculaire élevée à !a corde au point A. C'est de la longueur AB, qui est

appelée la Jîèche de l'arc, que nous allons chercher l'expression. On a AB = corde MB sin AMB.

Les cordes MB et M'B étant ég-ales, elles valent ^is. Quant à l'angle AMB il est la moitié du supplément de celui que font entre elles ces cordes, et vaut par conséquent -s (i4). Remplaçant corde MB et sin AMB par jis et -s on obtient

AB = -Eis.

17. Différences entre les longueurs des trois chemins suivants, cjui conduisent de l'une à l'autre des deux extrémités d'un arc infiniment petit: i" la ligne brisée formée par les tangentes aux extrémités; a" l'arc lai-même; 3° sa corde.

Soit P (fig. i) le pied de la perpendiculaire abaissée de L, intersection des tang-enfes en M et en M', sur la corde MM'. Convenons de désîg'ner la longueur d'une ligne brisée par le signe Lr, suivi des lettres que portent les sommets. On a

l.r. MLM' — corde MM' = ML — MP -h M' L — M'P = ML(i — cosM) + M'L(i— cosM') = 2(ML sin2^M + M'L sin^^M').

Substituant dans le dernier membre les angles aus sinus, puis remplaçant M et M' par -£, ML et M'L par -As (i3), il vient

(i) Lr. MLM' — corde MM' = ^is.

L'ordre infinitésimal de l'erreur dont cette égalité est affectée est le cinquième pour le moins. Un petit calcul des plus simples permet de le vérifier dès à présent si l'on tient compte du fait que la somme des angles M et M' du triangle LMM' est e, et si nous ajoutons que la somme des longueurs ML, M'L ne surpasse As, comme on le verra tout à l'heure, que d'une quantité du troisième ordre, et que les deux différences

M — M' et M'L — ML,

de même signe parce qu'un plus grand ang^le d'un triangle est opposé à un plus grand côté, sont du second ordre, comme il résultera de leurs expressions qui seront formées on peu plus loin. C'est d'ailleurs comme exercice seulement que l'on propose ici cette vérification.

Nous allons maintenaat montrer que la limite du rapport des deux

fférencesLr. MLM' — arc MM', arc MM' — corde MM' est2.L'ég'aqui vient d'être obtenue fournira alore immédiatement les expresis de ces différences.

Soit B (fig. i6) le milieu de l'arc MM', et soient C, D les points en lesquels ML, M'L sont coupés par la tang-eote en B ; la difi'érence

Lr. MLM' — Lr. MGDM' étant égale a Lr. CLD — CD, on a

Lr. MLM' — Lr. MGDM' = 2(CL sin^^C + DL sinî^D).

L'arc MB étant la moitié tle l'arc MM', l'angle aigu C, qui est l'angle de contingence de l'arc MB, est, en tant qu'infiniment petit, égal à ;£ par le principe qui veut que les accroissements infiniment petits de la fonction soient proportionnels à ceux de la variable, et il en est de même de l'angle aigu D, qui, ajouté à C, donne précisément £. D'un autre côté, on a

CL =: ML — MC, DL — M'L — M'D ; or ML et M'L valant ^is, et MC, M'D valant ^arc MB, Jarc M'B, c'està dire jAs, CL et DL sont égaux à -As.

Si maintenaut dans le second membre de l'égalité ci-dessus on remplace les sinus par les angles, puis qu'on écrive =e aii lieu de C et de D, et -as au lieu de CL et de DL, il vient (a) Lr.MLM' — Lr.MCDM' = ^^As.

Tirons les cordes MB, M'B, et cherchons l'expression de la difi'érence Lr.MBM' — corde MM' ; on a

Lr.MBM' ~ corde MM' = 2(MB sina^EMM' -}- M'B sin^^BM'M).

Les cordes MB, M'B valent ^As. Les angles BMM', BM'M étant, de même que MB et M'B qui leur sont opposés dans le triangle MBM', des infiniment petits égaux, et leur somme valant 5e par la proposition du N" i4i chacun d'eux a pour expression tE. Si dans l'égalité précédente on remplace les sinus par les angles, puis qu'on écrive gAs au lieu de MB et de M'B, et *£ au lieu do BMM' et de BM'M, il vient (3) Lr. MBM' ~ corde MM' = h^As.

yGoosle

Le rapport des seconds membres des égalités (2) et (3) étant 2, ui de leurs premiers membres a 2 pour limite ; si donc on pose Lr.MLM' — Lr.MCDM'

*^^ U: MBM' — corde MM' ' "^ "•

w tend vers zéro avec l'arc MM'.

Soient E et F les milieux des arcs MB et M'B, G et H les points d'intersection des tangentes en M et en B avec celle au point E, I et K les points d'intersection des tangentes en B et en M' avec celle au point F. Appliquant l'égalité (4) aux arcs MB, M'B, il vient

Lr.MCB — Lr.MGHB *'*' Lr. MES — corde MB — ^ + w ,

Lr.BDM' — Lr.BlKM' * '' Lr. BPM' — corde BM' — '' + "^ •

w' et m" désignant des mfiaiment petits

La fraction qui a pour numérateur la somme des numérateurs des fractions qui forment les piemins membres des égalités (4), (5) et (6) et pour dénominateui la somme de leurs dénominateurs, est comprise entre la plus grande et la plus petite de ces fractions. Elle diffère donc infiniment peu de 2. Si 1 on appelle polygone circonscrit la longueur MGHIKM', et polygone inscrit la longueur MEBFM', la somme des numérateurs est égale à

Lr. MLM' — ■ polygone circonscrit, et celle des dénominateurs à

Polygone inscrit — corde MM'.

On a donc, en écrivant le rapport et passant à la limite,

Lr. MLM' — [lolyg. cire. '-'' ' Polyg. insc. — corde MM'

Qu'on forme à présent deux nouveaux polygones, l'un circonscrit et l'autre inscrit, le premier en menant les tangentes aux milieux des arcs ME, EB, BF, FM', et le second en joignant ces milieux aux points M, E, B, F et M' : l'égalité (7) subsistera pour ces deux nouveaux polygones, ainsi que pour tous les couples de polj-gones qu'on obtiandra successivement en continuant indéfiniment à subdiviser

l'arc MM'. Nous allons recoiinattre qu'elle subsiste encore si l'on y remplace les deux polygones par cet arc.

A cet effet supposons pour un instant que le point M' soit fixe; l'arc MM' el la diftV;rence

Lr. MLM'—polyg. cire, seront des quantités finies. Les côtés des deux polygones croissant en nombre indéfiniment, la différence

Polyg. cire. — arc MM' tendra vers zéro (3, Cor.), et, par suite, le rapport L r. MLM' — polyg- cire.

Lr. MLM' — arc MM' aiiia pour limite l'unité. Cela est vrai quel que soit l'arc MM', et par conséquent aussi quand il est infiniment petit. Il est ainsi acquis que, l'arc tendant vers zéro et le nombre des côtés du polygone circonscrit croissant indéfiniment, les différences

Lr. MLM' — polyg. cire. et Lr. MLM' — arc MM' sont des infiniment petits égaux. On verrait par un raisonnement semblable qu'il en est de même des deux différences

Polyg. inscr. — corde MM' et arc MM' — corde MM' ; par conséquent, en vertu de l'égalité (7), ou a ,, Lr. MLM' — arc MM'

c MM' — corde M'M

ce qui est la relation qu'il s'agissait d'établir.

Maintenant, la différence Lr. MLM' — corde MM', qui d'après l'égalité (i) a pour expression ^e^ As, est la somme des deux différences

Lr. MLM' — arc MM' et arc MM' — corde MM' ; et comme le rapport de celles-ci a pour limite 2, la première est, en tant qu'infiniment petite, égale aux deux tiers, et la seconde au tierb de jî^As. On a donc

c MM' — corde MM' :

yGoosle

Ainsi, l'excès d'un arc infiniment petit sur sa corde est égal à la vingt-quatrième partie da produit de l'arc par le carré de son angle de contingence, et la différence entre l'arc et la ligne brisée formée par les tangentes en ses extrémités est égale à la douzième partie du même produit.

*0n peut encore, à partir de la formule (7), et après avoir fait observer qu'elle subsiste pour tous les couples de polygones qu'on obtient successivement en continuant indéfiniment à subdiviser l'arc MM', achever la démonstration comme suit :

Faisons tendre l'arc vers zéro et croître le nombre des côtés du polygone inscrit suivant la loi que voici, qui fixera le discours ; l'arc MM' partant d'un état initial quelconque de grandeur sera réduit d'abord à sa moitié, et cette moitié sera divisée en deux parties égales, dont les cordes seront les côtés du premier polygone inscrit, ainsi composé de deux côtés. L'arc sera ensuite réduit au quart de ce qu'il était en commençant, et ce quart sera divisé en quatre parties égales dont les cordes seront les eûtes du second polygone inscrit, ainsi formé de quatre côtés. On continuera de même, réduisant l'arc successivement au 5, au —, au j, etc., de sa longueur première, et, en même temps, le polygone com.ptera successivement 8, 16, 3a, etc., côtés. Le polygone circonscrit aura évidement sans cesse un côté de plus que le polygone inscrit. Nous allons chercher l'ordre infinitésimal de la différence des longueurs des deux polygones. Désignons ces longueurs respectivement par C et par I, initiales des mots circonscrit et inscrit. C'est donc de C — I que nous nous proposons de déterminer l'ordre infinitésimal.

A cet effet remarquons d'abord que les subdivisions de l'arc MM' sont des grandeurs de l'ordre du carré de cet arc, donc du second ordre. Représentons en effet par n le nombre de ces subdivisions à un instant quelconque, et appelons k la valeur initiale de l'arc. Lorsque l'arc est réduit k — chaque subdivision vaut — ; or le rapport de cette quantité au carré de — est une grandeur finie, puisque ee rapport est —.

Soient à présent a cî h les deux extcéniités de l'un des côtés du po-

lygone inscrit, et c le point d'intersection des tangentes k la courbe en a et en A ; la différence C — I est la somnie de n différences telles que Lr. acb — corde ab. Nous avons obtenu (voir l'égalité (i) cidessus) l'expression des différences de ce genre, et il résulte de cette expression que Lr. acb — corde ab est de l'ordre du cube de l'arc ab, donc du sixième ofdre, puisque l'arc ab est du second, d'après la remarque qui a été faite tout à l'heure. Dès lors C— I est la somme de n îjrandeurs du sixième ordre. Or n fois l'arc MM', qui est du premier ordre, étant une quantité finie, puisqu'elle est constamment égale à la valeur initiale de l'arc MM', la somme de n grandeurs du sixième ordre est une grandeur du cinquième. Donc C — I est du cinquième ordre infinitésimal.

Cela posc^, si l'on ajoute C — I à la somme des deux dilférences Lr. MLM' — C et I — corde MM', on obtient Lr. MLM' — corde MM' , qui est égal à ;«^is, d'après l'égalité (i). Cette expression étant du troisième ordre, et C — 1 étant d'un ordre supérieur au troisième, la somme des deux différences en question est aussi égale à î^^b. Comme d'un autre côté leur rapport a pour limite 3 d'après la relation (7), elles sont respectivement les deux tiers et le tiers de leur somme, ce qui fait qu'on a

Lr. MLM' — C = f/^is, I — corde MM' =^^^As.

D'après ces égalités, nos deux différences sont du troisième ordre. On ne les altère donc que de fractions infiniment petites d'elles-mêmes si on leur ajoute C — I, qui est du cinquième, ou bien si on leur ajoute respectivement les quantités C — arc MM' et arc MM' — I, qui sont inférieures l'une et l'autre à C — 1, puisqu'on a G > arcMM'> I. Elles deviennent alors, la première, Lr. MLM' — arc MM', et, la seconde, arc MM' — corde MM', Etc, {*)

(*) Si l'on multiplie et diïise par is* l'expression de cette dcriiiÈre différence, puis que l'on écrive -^ au heu de — e)le devient ^r — ^. C'est là le premier terme, le terme principal, du développement de l'excès de l'arc sur [a corde, iea suivants étant, en As, des degrés plue élevés que le troisième. On aura les premiers d'entre eus en ouvrant les Annales scientifiques de l'Ecole normale sapérieare à la page HO du tome III (1874) de la deuxième série, pag« qui fait partie d'un travail de M. Charles Brisse, de son Exposition analytiqae de la théorie des sapfaces.

Du cercle osculateur.

18. Lorsque deux lignes ont un point commun et en ce point même tangente, on dit qu'elles se touchent, qu'il y a contact. Si au contraire leurs tangentes au point commun sont distinctes, alors les deux lignes ne se touchent pas, elles se coupent ; il n'y a pas contact, mais intersection.

Considérons le cas de contact. Soient {fig. i'j)Mle point commun, MX, MY, MT les deux courbes et la tangente commune, et MQ une longueur du premier ordre prise sur la tangente MT, Une droite tirée de Q coupe MX et MY en des points K et H, et si seulement on l'assujettit à la condition que son inclinaison sur MT ne tende pas vers zéro lorsque Q s'approche indéfiniment de M, l'ordre infinitésimal de la distance HK reste le même quelle que soit cette inclinaison. Tirons en effet une seconde droite QK'H' et menons KH" parallèle à K'H', Les angles Q et K' du triangle QKK' sont finis, c'est-à-dire différents de zéro, et alors KK' est du même ordre que QK, donc infiniment petit compai'é a. MK, par quoi K'H' et KH" sont des infiniment petits égaux. Mais KH" et KH sont du même ordre, car les angles H et H" du triangle KHH" sont finis. Donc KH et K'H' sont aussi du même ordre.

On appelle ordre de contact de deux lignes l'ordre infinitésimal

du rapport ^-r^- D'après cela, l'ordre du contact est toujours inférieur

d'une unité à l'ordre infinitésimal de HK. Il suit de cette définition et de la proposition du 'H'- i5 que le contact de la courbe et de la tangente est, en général, un contact du premier ordre.

19- Le cercle osculateur en un point M d'une courbe est de tous les cercles qu'on peut mener par M celui qui a avec la courbe le contact de l'ordre le plus élevé, celui qui, aux environs de ce point, serre la courbe de plus près que tous les autres. Afin d'en déterminer le rayon, dans la figure du numéro précédent supposons que MY soit un arc de cercle. Prenons les cordes MH, MK d'égales longueurs; la droite HKQ sera alors, à la limite, perpendiculaire à MT. Désignons

— 29 ~ par a la longiioiir commiino des deux cordos, et par t, s' les angles que l'orment avec MT les tangentes en K à !a courbe et en H au cercle. La corde et l'arc étant des infîniments petits égaux, la remarque qui termine le N" lô nous permet décrire

KQ = !<.., HQ=Ja.', et l'on tire de là, pur soustraction,

à une quantité près d'ordre supi5rieur au second.

On voit par ce résultat que HK est du second ordre seulement toutes les fois que e et £' ne sont pas des infiniment petits égaux, et qu'il est d'un ordre plus élevé si la limite de la fraction — est l'unité. Appelons as, is' les arcs MK, MH. Puisque Ses cordes qui sootendent

ces arcs sont éa-ales on a lim —, = i. Alors, si lim — = i, on a is s'

lim— , = iim-, donc Hm - = lim—. Or— est le rayon du

As s' £ s' i'

cei'cle, lim — est le rajon de courbure de la ligne MX au point M, et

le cercle osculateur n'est autre que le cercle de courbure.

La longueur HK est du troisième ordre si MY est le cercle osculateur. On en aura la preuve au N" aS, où sera formée l'expression de la distance de la courbe à ce cercle dans le voisinage du point de con-

20- En cherchant le cercle que déterminent trois points iVI, M', M" (fig. 1 8) d'une ligne infiniment voisins, on tombe encore sur le cercle de courbure. Soit en effet « l'angle extérieur des cordes MM', M'M" ; le rayon du cercle des trois points est égal au rapport arc de cercle MM'JVl"

et par conséquent le rayon du cercle cherché est la limite vers laquelle tend ce rapport lorsque M' et M° s'approchent indéfiniment de M.

Désijjoons par 4s et î î'arc MM'M" de la ligne considérée et l'ang-le

i extrêmes : l'are 4s et l'are de cercle MM'M" ayaut les mêmes extrémités sont des infiniment petits ég^aux, et il en est de mfime des angles set 2« (i4). On peut donc, sans altérer la limite du rapport ci-dessus, en remplacer les termes respectivement par is et s. Dès lors le rayon cherché est é§:al à lim — , c'est-à-dire au rayon de

courbure en M.

Le centre du cei^le des trois points M, M', M" a d'ailleurs pour limite le centre de courbure, puisqu'il se trouve sur la perpendiculaire élevée à la corde MM' en son milieu et que cette perpendiculaire finit par se confondre avec la normale au point M.

21 . Autrement : Ce théorème se déduit aussi de la proposition du N" 12. Remarquons à cet effet que cette proposition peut être énoncée comme suit : Le centre de courbure est l'intersection de la noi'male au point considéré et de la perpendiculaire élevée sur le milieu de la corde qui le joint à un point de la courbe infiniment voisin.

Cela posé, soit A (flg. 19) l'intersection des perpendiculaires aux cordes MM', M'M° en leurs milieux : A est le centre du cercle des trois points M, M' et M", La normale en M' coupe en des points F et G ces deux perpendiculaires. D'après la proposition du N" 12 énoncée comme tout à l'heure, F et G sont infiniment voisins du centi-e de courbure en M', ce qui fait que la long^ueur FG est infiniment petite. Mais dans le triangle AFG le côté FG est le plus grand côté, puisque l'ang'le A, tendant vers deux droits, est le plus g'rand angfle. Dès lors les côtés AF, AG sont aussi infiniment petits, et par conséquent le point A est, de même que F et G, infiniment voisin du centre de courbure en M'. Or le centre de courbure en M' est infiniment voisin du centre de courbure en M ; donc A se confond à la limite avec le centre de courbure en M. ce qu'on voulait montrer.

Expressions de diverses grandeurs qui dépendent de la variation du rayon de courbure,

22. t'Ai commençant remarquons qu'il n'y a pas lieu de s'enquérir des intersections de deux cercles osculateurs infiniment voisins, car ils ne se coupent point. Soit en effet MN un arc où d'une extré-

mité à l'autre le rayon de cotirbure varie constamment dans le même sens, et soit CD l'arc correspondant de la développée ; la différence des rayons des cercles oscillateurs en M et en N est ég-ale à l'arc CD, tandis que la distance de leurs centres est la longueur de la corde CD. La distance des centres étant moindre que la différence des rayons, l'un des deux cercles est intérieur à l'autre. La plus courte distance de ces cercles se compte sur la direction CD, et est ég-ale à l'excès de l'arc CD sur sa corde.

23. Lemme. A, B, C sont les trois côtés d'un triangle rectangle variable, et a, 6, c sont ceux d'un autre triangle rectangle, variable aussi ; A et a sont les hypoténuses. Supposons que le rapport — ne

surpasse jamais un nombre déterminé, qui peut d'ailleurs être pris aussi grand qu'on voudra : si alors a est infiniment petit comparé à A, la différence A — B est infiniment petite comparée à la diiFércncc a — b. La propriété du carré de l'hypoténuse donne

A2 B2 ou (A-J-B) (A— B) = G^ a3 i,2ou(n + fe)(« — è) = c2.

Divisant ces deux égalités membre à membre on obtient une relation qui peut s'écrire

A — B Ca a-^b

Maintenant, comme a est infiniment petit par rapport à A, il en est de même de 6, puisqu'on a è < a ; donc — - — est infiniment petit,

et à plus forte raison r-. D'un autre côté, il résulte de l'hypo-

Ca thèse que — ne croît point au-delà d'une limite déterminée. Par

suite, le second membre de l'égalité précédente tend vers zéro. Le premier tend alors aussi vers zéro, c'est-à-dire que A — B est infiniment petit comparé à a — é, ce qui est la proposition qu'on voulait établir.

C'en est un cas particulier qui sera utilisé quelquefois ci-après, et on va le détacher dans un numéro à part pour la plus grande commodité des

24. Si AB (%. 20) est intininient petit, si AC ne l'osl point, et si P est la projection de A sur BC, CA — GP est infiniment petit comparé à BA—BP.