DE LA
ET
1 . Le rôle si considérable que les déterminants jouent eu Algèbre et dans toute l'Analyse' a pour cause unique ce double fait : premièrement, qu'ils sont les éléments essentiels des formules de résolution des équations linéaires simultanées, ou, pourdire encore plus vrai, de toutes les relations que Ton rencontre dans l'étude des polynômes du premier degré ; deuxièmement, que la théorie de ces polynômes précède et supporte celle des polynômes de degrés supérieurs, c'est-à-dire toute l'Algèbre, exactement comme les propriétés de la ligne droite et du plan dominent la Géométrie tout entière. Un peu d'attention convaincra chacun que les choses se passent bien ainsi, et cependant ce n'est pas de cette manière, tant s'en faut, qu'elles sont habituellement présentées.
On définit les déterminants par la loi de formation des termes de leui'S développements, d'où l'on déduit la plupart de leurs propriétés, le lout a priori. Ces résultats sont ensuite appliqués indistinctement à la résolution des équations linéaires simultanées et à une suite de questions d'Algèbre, de Géométrie, de Mécanique, sans rapports directs les unes avec les autres.
Il semble ainsi que le hasard seul ait conduit les géomètres à la connaissance de ces expressions, et assuré une corrélation si extraor-
d inaire entre leurs propriétés et les problèmes à résoudre. Il semble encore que Ton réussirait à doter l'Analyse de nouvelles ressources d'égale importance, en faisant pareille provision de formules relatives à telles ou telles autres expressions construites d'avance au gré des caprices de Timagination. D'un autre côté, l'enchaînement des propositions et le mécanisme des démonstrations conservent le caractère factice de la conception primitive d'où on les a fait dériver. En général, tout se borne à la vérification, assez pénible quelquefois, d'une suite de formules dont l'origine et la portée demeurent également obscures. La règle de multiplication de deux déterminants, par exemple, est réduite aux proportions exiguës du premier venu des artifices de calcul, sans que rien dans l'énoncé ni dans la démonstration puisse faire seulement soupçonner que l'on touche à une loi fondamentale de la composition et de la transformation des systèmes de formes.
Ces réflexions critiques, et d'autres que je supprime, se sont présentées à mon esprit avec une force nouvelle, dans le cours des recherches sur l'Analyse indéterminée du premier degré dont j'ai publié dernièrement le résultat [Annales scientifiques de l'École Normale; mars i883); elles m'ont amené à refondre toute la matière en remettant chaque chose à sa place, c'est-à-dire les formes linéaires au premier plan, et les déterminants au second. Le public jugera si j'ai réussi à rendre cette théorie plus claire, à lui donner plus d'ampleur et de cohérence.
J'ai supprimé toute application particulière; il était bon sans doute d'en joindre quelques-unes à la théorie des déterminants, à l'époque encore peu éloignée où elle était à peine connue. Mais, actuellement, cette théorie a conquis dans l'enseignement la place qu'elle mérite d'y occuper; elle est devenue d'un usage courant dans toutes les parties des Mathématiques, et, pas plus que pour la formule du binôme ou pour la théorie des dérivées, il n'y a lieu désormais d'en réunir les innombrables applications.
Systèmes de formes linéaires en général.
2. La théorie des fonctions entières de degrés quelconques se ramène sans difficulté à celle des fonctions entières de mêmes degrés.
mais homogènes. Cette dernière fournit des énoncés beaucoup plus élégants et généraux qui, en outre, ont des avantages spéciaux pour le^ applications géométriques, et on la traite de préférence.
Pour abréger, on nomme/ormes les fonctions entières et homogènes d'un groupe donné de variables indépendantes en nombre quelconque, et linéaires les formes du premier degré dont nous avons à nous occuper.
Le type d'une forme linéaire est
(i ) ax -h- by -hcz -h...-^ gs 'h hi-^-. . .-h iu -+-yV,
où
(2) X, y, s, ..,, s, /, ..., w, 1^ désignent les variables, et
(3) a, h^ c, ..., g, A, ..., iy j
des constantes en même nombre qui sont les coefficients de la forme.
Il convient de concevoir ces deux sortes de quantités comme nous venons de les écrire, c'est-à-dire comme se correspondant chacune à chacune dans deux Jiles parallèles dont elles sont les éléments, et qui ont pour longueur commune le nombre des unes ou des autres.
La forme (i) pouvant être écrite aussi bien
xa -h v6 -H zc H- . . . -h 5^ -H M H- ... -h m/ -4- «y,
il y a parité parfaite entre les deux files (2), (3) relativement à sa structure. Cette réciprocité entre les variables et les coefficients appartient exclusivement aux formes linéaires, et imprime à leur théorie un caractère tout à fait spécial.
L'opération consistant à construire l'expression (1) au moyen des files de longueurs égales (2), (3) a beaucoup d'analogie avec la multiplication de deux facteurs, et se présente à chaque instant dans notre théorie. Nous l'appellerons Y induction mutuelle de ces deux files; l'expression (1), résultat de cette opération, est Vinduit de ces deux files inductrices.
5. Une forme linéaire telle que ( i ) s'évanouit^ quelles que soient les valeurs de ses coefficients ^ quand on attribue zéro pour valeur particulière à chaque variable; c'est évident.
Mais pour quelle s'évanouisse identiquement^ c'est-à-dire quelles que soient les valeurs particulières attribuées aux variables^ il faut et il suffit que tous ses coefficients soient nuls.
Il faut effectivement, en particulier, que la forme s'évanouisse pour j =z=..., 5 = /=...= a = (' = o, a? non = o, ce qui entraîne a = o. Il faut, de même, que l'on ait aussi
La condition posée est donc nécessaire; il est évident, d'ailleurs, qu'elle est suffisante.
Dans beaucoup d'autres circonstances, nous aurons à distinguer, comme ici, les files dont les éléments sont tous nuls de celles où quelqu'un d'eux ne l'est pas; nous dirons les premières vanescentes; les dernières invanescentes,
4. Un système de formes linéaires est un ensemble de fonctions de cette espèce en nombre quelconque, qui dépendent toutes des mêmes variables, et que l'on considère simultanément; il peut, à la rigueur, ne contenir qu'une seule forme.
On écrit toujours dans le même ordre les variables de chaque forme, et habituellement les formes les unes au-dessus des autres, de manière à avoir pour type d'un système de m formes yj,^, . . .,/„ aux n variables (.2),
lf\ ]^'^ = a^x-\- b^-h c^z-\-...-h g^s -h h^t -f-...-Hi2tt -hji^f • ••• ,
fm= «m^+ b^-hC^Z-h. . . H- gmS-hh^t-h. . . 4- /,«W -hjm^,
OÙ les termes semblables s'alignent dans le sens vertical.
Il est avantageux de faire habituellement abstraction des variables
(9 ) et de concevoir le système, par ce que nous appellerons son abaque, c'est-à-dire par sa notation ci-dessus, réduite aux coefficients des formes laissés aux places qu'ils y occupent :
a< b^ c< ... g', A, ... i^ Jn
ffy\ / ^2 ^2 C2 . . . §^2 ^2 • • • *2 72»
^m *^in ^m • • • ^w '^m • • • 'm J m*
Cet abaque affecte ainsi la disposition d'un quadrillage rectangulaire; on peut le décomposer en m files horizontales de méfme longueur (2) ou lignes ayant chacune pour éléments les coefficients d'une même forme, et aussi bien en n files verticales de longueurs égales ou colonnes, ayant chacune pour éléments les coefficients d'une même variable dans les diverses formes du système.
lia largeur et la hauteur de l'abaque sont respectivement les longueurs de ses lignes et de ses colonnes; toutes deux, indistinctement, sont ses dimensions.
Une file, et même un seul élément, sont des abaques dont une dimension ou bien toutes deux se réduisent à i .
