Si dans une forme linéaire

(6) F, ="X,7,-4-X2Î)2-f-...-*- >/ii?m

aux m variables Çj, (pa, ..., ^mf on remplace ces dernières par les formes de mêmes indices respectivement, dans le système (4) on en obtient une nouvelle /,' également linéaire aux mêmes variables (2), qui est composée des formes simples (4) et de la composante (6).

Une forme composée résulte ainsi de l'induction (2) des formes simples considérées en file

et de la file

(7 / ' I » Ào» . . . » ^'

des coefficients de la composante, qui a même longueur. Ses coeffi M. 2

( lo )

cients sont aussi respectivement les induits de la file (7) parles diverses colonnes de l'abaque (5) des formes simples. Nous dirons que la file de ces coefficients est Vinduit de la file (7) et de l'abaque {5) par les colonnes de celui-ci.

En composant successivement ainsi les formes simples (4) avec M composantes linéaires aux m mêmes variables ç, , . . ., (p,„,

on obtient, au lieu d'une seule forme composée, un système de M formes

qui est composé du système simple (4) et du système composant (S).

Ije système composé peut être considéré comme obtenu en induisant, la file des formes simples, et Tabaque du système composant, /^ar ses lignes.

Chaque ligne de l'abaque du système composé (9) résulte, comme nous l'avons dit, de l'induction de l'abaque du système simple par ses colonnes, et de la ligne correspondante de l'abaque du système composant, ce que nous exprimerons en disant que l'abaque du système composé est Vinduit, colonne à ligne^ de Vabaque du système simple par celui du composant,

6. Pour exprimer qu'une forme donnée peut être engendrée par la composition de formes simples données avec quelque composante linéaire, nous dirons qu'elle est agrégée à ces formes ou bien à leur système. Nous dirons de même qu'un système est agrégé k un autre s'il peut être considéré comme résultant de sa composition avec quelque système composant de formes linéaires.

Ces dénominations sont utiles, parce qu'elles dispensent de mentionner la forme ou le système composant, dont il y a effectivement lieu de faire souvent abstraction. Quelquefois, cependant, il faut y avoir

égard : nous dirons alors que les coefficients de la forme composante dans le premier cas sont les multiplicateurs ou éléments de la file d'agrégation de la forme composée aux formes simples données ou à leur système; que les coefficients du système composant dans le second cas forment V abaque d'agrégation du système composé au système simple.

Quand on fait ainsi abstraction des formes composantes pour ne considérer que leurs coefficients, il est plus commode de concevoir en colonne, comme sont écrites les formes simples, les éléments de chaque file d'agrégation. L'abaque d'agrégation a ainsi pour colonnes les lignes de l'abaque du système composant.

Ces définitions font saisir immédiatement ce que nous voudrons exprimer en disant quelquefois qu'une file d'éléments est agrégée à quelques autres (de même longueur) ou à leur abaque, par les files de ce même sens, avec telle ou telle file d'agrégation : qu'un abaque est agrégé à un autre ayant une dimension commune avec lui, par les files de cette dimension, avec tel ou tel abaque d'agrégation.

Une file vanescente (3) est agrégée à telles autres [de même longueur) que Von voudra; car des multiplicateurs tous nuls composent évidemment une file d'agrégation.

Une file agrégée à quelques autres l'est aussi aux mêmes accompagnées de telles autres que Von voudra; car on obtient évidemment une file d'agrégation de la première file considérée à toutes les autres, en adjoignant à sa file d'agrégation, avec celles du premier groupe, autant d(î zéros qu'il y a de files dans le second groupe.

7. Il est évident qu'aw système déformes linéaires ( ou abaque) agrégé à un autre qui Vest à un troisième est aussi agrégé à ce dernier.

8.' Nous dirons que deux systèmes de formes linéaires ou leurs abaques par les lignes sont équivalents, si chacun d'eux est agrégé à l'autre.

D'après la remarque précédente : deux systèmes dont chacun est équivalent à un même troisième le sont aussi l'un à Vautre.

9. Un système donné (ou abaque) est réductible ou irréductible y selon qu'il est possible ou non de trouver quelque système de formes (ou de files) en nombre moindre, auquel il soit agrégé. Nous considérerons

aussi comme réductible un système constitué par une seule forme dont la file des coefficients est vanescente.

D'après cette définition, deux systèmes irréductibles équiçalenls contiennent nécessairement des/ormes en nombres égaux.

10. Nous introduirons un nouveau terme dans le langage en disant que deux files d'éléments sont en symptose ( • ), si elles ont même longueur et un induit nul (2); qu'une file est en symptose avec un abaque par ses /îles de tel sens désigné ^ si elle l'est avec chacune des files en question, ou plus brièvement, si l'induit de cette file et de l'abaque par ses files du sens considéré (5) est une file vanescente.

11. Un abaque de dimensions inégales étant donnée on peut toujours mettre en sy/nptose avec lui par ses files les plus longues quelque file im^anescente; et même il y a dans cette file un groupe d'éléments en nombre au moins égal à la différence des dimensions de l'abaque, dont on peut choisir arbitrairement les valeurs.

S'il s'agit, par exemple, de l'abaque (5), et si l'on y suppose m<^n^ la recherche des éléments

(ïo) X, y, z, ..., s, t, ..., u, V

de toute file de longueur n en symptose avec lui par les lignes dépendra de la résolution des m équations

a,ir-i- 6,y-}- c^2-h. ..-hg',^ -f-A</ -h. . .-h«,M -+-yi^ = o,

/..\j «2^-+- b,,y -f- c^z-h. . .-{- g^s -hh^t-\-...-\-i2U -hj^^ = o,

a^x-h b,^y-hc,„z-h . . --hg^nS-hh^nt-h.. . -h i,n^i -hj\n^ = o.

(*) De (Tuv, ensemble, Trrwaiç, chute. Un point tombe en quelque sorte sur un plan, sur une droite, sUI y a ainsi symptose entre la file de ses coordonnées homogènes et celle des coefficients de l'équation du plan, ou bien celles des coefficients des deux équations de la droite. Un plan tom,be aussi sur i, a ou 3 points, s'il y a symptose entre la file des coefficients de son équation et celles des coordonnées do. ces points, etc. Ce sont des considérations de ce genre qui me font proposer cette dénomination pour une relation qui se présente très fréquemment dans notre théorie.

et nous avons à prouver qu'elles admettent toujours quelque file de solutions dont les valeurs de n — m au moins peuvent être choisies à volonté.

i^ Notre proposition est vraie quand l'abaque contient une seule ligne, sa première, par exemple.

Si d'abord cette ligne est vanescente, l'équation unique à résoudre

est satisfaite pour toutes les valeurs possibles de x, j, . . . (3), et dans

la file (lo) il y a bien /i — - i et même n éléments tout à fait arbitraires.

Dans le cas contraire, soit a< un de ses éléments non nuls. On peut

alors diviser par a^ tous les termes de l'équation précédente et 1 écrire

Sous cette forme, on voit immédiatement que l'on satisfera à cette équation en attribuant des valeurs quelconques y\ z\ . . . , ç^' aux n — i derniers éléments de la file ( ro), et en prenant le premier x égal à .

2® Elle est vraie pour l'abaque (5) tout entier^ si elle l'est pour un abaque dem — \ lignes et de n ou rt — i colonnes.

Si la première ligne de l'abaque est vanescente, toutes les files de valeurs des quantités (lo) satisfaisant aux m — i dernières équations (i i) satisferont forcément aussi à la première. Or, d'après l'hypothèse, cette condition laisse arbitraires n — {m — i) = n — m-{-i de ces éléments au moins et à plus forte raison /i — m au moins.

Si cette ligne est invanescente, soit encore a^ un de ses éléments non nuls. Comme nous venons de le voir (i*'), on satisfera à la première équation (i i) en choisissant arbitrairement les valeurs de y, z^ ..,!', et en donnant simultanément k x Isl valeur déterminée par la formule (12). De plus, toutes ces valeurs satisferont aux m — 1 autres

équations, si, en les y portant, les égalités résultantes

ont lieu, c'est-à-dire si Ton a pris pour j, z, ..., p une file Ae n — i éléments en symptose par les lignes avec Tabaque des coefficients de ces quantités dans ces égalités, abaque qui n'a plus que m — i lignes et n — i colonnes. Or c'est ce qui est réalisable d'après Thypothèse, cela même en choisissant arbitrairement les valeurs de w — i — (m — \)=^n — /w certains de ces éléments.

3^ Notre proposition est donc générale, car le raisonnement ci-dessus en réduit successivement la vérification à l'examen des cas où dans l'abaque il y a m — i , m — 2, . . , 2, i lignes avec /i — i , /i — 2, . . . , n — /n-f-a, n — m-]- i colonnes au moins, cas dans le dernier desquels son exactitude a été établie direclement (i**).

12. Nous dirons qu'un abaque est vanescent ou invanescent par ses files de tel sens déterminé^ selon qu'il est possible ou non d'assigner une file invanescente en symptose avec lui par ses files de l'autre sens.

Un abaque vanescent par les files d'un certain sens l'est encore si on lui ajoute d'autres files quelconques du même sens, ou bien si on lui en retranche quelques-unes de l'autre sens. Car on obtient évidemment une file invanescente en symptose avec lui par ses files de l'autre sens, en ajoutant quelques zéros à celle qui est supposée être en symptose avec lui avant l'adjonction de ses nouvelles files.

Un abaque invanescent par les files d'un certain sens ne cesse pas de l'être si ron vient à en supprimer quelques-unes ou bien à en ajouter arbitrairement dans l'autre sens. Car si l'abaque ainsi tronqué était vanescent, l'abaque tout entier le serait aussi par ce qui précède, ce qui est contraire à ce que l'on suppose.

Il résulte en particulier du lemme ci-dessus (11) qu'un abaque de

dimensions inégales est toujours vanescent par ses files les moins longues, [ou les plus nombreuses). En exprimant Tinvanescence d'un abaque, on peut donc se dispenser de spécifier le sens des files pour lequel elle a lieu; il ne peut effectivement s'agir alors que des plus longues.

13. Un abaque est carré quand ses deux dimensions sont égales; il convient alors de choisir le mot hauteur pour désigner leur valeur* commune.

Un abaque carré ne peut être vanescent, ni par suite imanescenty dans un senSy sans Vëtre en même temps dans l'autre sens.

L'abaque (5), par exemple, étant carré avec m files dans chaque sens, supposons qu'il soit vanescent par les colonnes, et que la file ( i o) où a?, par exemple, a une valeur différente de zéro, soit en symptose avec lui par les hgnes. On aura alors les relations (i i).

Maintenant (il), on peut assigner une file invanescente de m éléments

(12 t)lSj A|, A.^, ..., A,;j,

avec laquelle soit en symptose chacune des n — i =m — i dernières colonnes de cet abaque. Cela posé, induisons par cette file les m relations (il), c'est-à-dire ajoutons-les membre à membre, préalablement multipliéespar les éléments correspondants de cette file. Il viendra

d'où

puisque x non = o. La file invanescente (12 6w), qui était déjà en symptose avec les /w — i dernières colonnes, l'est donc encore avec la première, et notre abaque est vanescent parles lignes.

Pour un abaque carré, il est donc inutile de spécifier les files par lesquelles il est vanescent ou invanescent.

14. Dans un sens donné de l'abaque (5), il existe ou non quelque file agrégée (6) à ses parallèles, suivant que cet abaque est vanescent ou

invanescent par les files dont il s'' agit.

Supposons, par exemple, que la première ligne soit agrégée aux autres avec X2» ^3» • • •> \n pour file d'agrégation. On aura, pour une colonne quelconque notée par la lettre ^, la relation

qui peut s'écrire

L'abaque est donc en symptose par les colonnes avec la file inva- ' nescente

partant vanescent par les lignes.

Supposons au contraire notre abaque vanescent par les lignes, et par exemple en symptose par les colonnes avec la file invanescente X,, ^21 • • 9 ^m- Si rélément >.|, pour fixer les idées, e.>t l'un de ceux qui ne Font pas nuls, on pourra diviser par X, les relations telles que

A I At I "T" A 2 ATj — T~ • • • ~r" ^ffi f^jn — O ,

qui ont lieu pour toutes les colonnes de l'abaque et les écrire sous la forme

On voit ainsi que la première ligne est agi'égée aux autres avec

A, Aj Aj

pour multiplicateurs d'agrégation.

On remarquera que, dans unahaque vanescent par certaines Jiles y on peut considérer l'une d'elles comme agrégée à ses parallèles si elle correspond à quelque élément non nul dans une fde invanescente en symptose avec l'abaque par ses files de l'autre sens.

15. Le système des formes linéaires (4) est réductible ou irréductible selon que, par les lignes, son abaque est vanescent ou invanescent.

Quand m = i , cet énoncé ne fait que reproduire la définition du n^ 9.

Supposons donc m>i, et ce système agrégé à celui des wl <^m formes

par les identités

L'abaque des multiplicateurs X, . . ., cr;„ étant plus haut que large, à cause de m > m\ on peut assigner une file invanescente de m éléments

(l3) ©«, $29 .. ., Om

en sjmaptose avec lui par les colonnes (11).

En induisant donc par cette file les relations précédentes, il viendra l'identité

en vertu de laquelle (3) les induits de la file (i3) et de Tabaque (5) par ses colonnes sont tous nuls. Cet abaque est donc, par les colonnes, en symptose avec la file invanescente (i3), c'est-à-dire vanescent par les lignes (12).

Si, au contraire, l'abaque (5) estvanescent par les lignes, quelqu'une d'elles, la première par exemple, est agrégée aux autres (14), ou, ce qui revient au même, la première forme /< du système (4) est agrégée aux /w — I autres. Or, chacune de ces m — i formes est agrégée à leur propre système à cause des identités évidentes

/, = 0./a-f- I./,-f-...-hoX^ • >

Le système (4) est donc agrégé à celui que constituent ses m — i dernières formes seulement, partant réductible.

16. Dans un système irréductible, le nombre des formes ne peut surpasser celui des variables, car sinon Tabaque du système serait plus haut que large et, en conséquence, vanescent par les lignes (12).

On peut s'en assurer autrement en remarquant que chacune des n variables œ,y, z, . . .ç peut être considérée comme étant une forme linéaire, et que toutes ensemble elles constituent un système spécial .'uiquel tout autre est évidemment agrégé. Si donc m est > n, le système (4) est agrégé à un autre dont les formes sont en moindre nombre, partant réductible.