I. — V abaque d'agrégation [K)^ de ["i) à [[\) est

( d^-''^y, ... d^'"0^ ... ^^-"tm,

'c^i , . . . , 'T|, désignant les complémentaires [d'ordre m — q par conséquent) (50) de ô'j, • . .» ^M considérés comme mineurs du déterminant d des m premières colonnes de [i),

F/inductiou des m premières colonnes de (A)^ par la première <le ;K)^ devant fournir les m premiers éléments de la j)remiére ligne de ('3), on a, entre les éléments de la première colonne de (K)^, les /w équations linéaires non homogènes aux M inconnues 5,, ô^, . . ., fîj,,

^i^\ -f- . . . 4- ^ii îji =^ ^^»

6', ôi H- . . . -+- 5i, Îm = ^»

T, J| H-.. -+-Ti,(^M = O.

Comme nous supposons d non = o, ce système dVquations est déterminé, car l'abaque des coefficients des inconnues est composé des mêmes files que celui des M premières colonnes de (4), c'est-à-dire que l'abaque des mineurs d'ordre q de celui des m premières colonnes de (i), lequel est invanescexit, puisque ce dernier l'est (72).

En vertu des formules (5), (6) du n° 50, ces équations auraient |K>ur solutions 'S,, . . ., '^j,, si l'on divisait tous leurs seconds membres par rf^~*. Donc elles n'ont pas d'autres solutions que les produits de ces quantités par rf^~*, produits qui sont précisément les éléments de la première colonne de (5). Même raisonnement pour les autres coloiuies de (K)^.

II. Le déterminant 'à de l'abaque d'agrégation (5 j est donné par la formule

jm 11 i—

(G) 'A = rf '".

L'induction des M premières colonnes de (4) par celles de (R)^ reproduisant l'abaque des M premières de (3), le produit de leur déterminant A' par 'A est égal à celui de ce dernier abaque (63, 11), d'où Tidentité

Mais, par rapport à ses éléments, d étant un polynôme premier (47j, on conclut facilement de cette identité que deux certaines puissances de rf, dont les exposants 7s\ 'wont une somme égale à yM, divisent A' et 'A respectivement, en donnant des quotients constants (*).

Les degrés totaux de 'A, ûf par rapport aux éléments de ce dernier déterminant, étant M(/n — i)qelm respectivement, on a

m'vs =:M(/w — i)//, d'où

En réduisant, d'autre part, à i les éléments principaux de l'abaque de rf, et à zéro tous les autres, il viendra évidemment rf = 'A =:= i ; le quotient de 'A par d^ est donc égal à i , ce qui achève la vérification de la formule (6).

En raisonnant de la même manière, on trouve aussi

IIL En appelant 'Oq un déterminant mineur quelconque d'ordre Q de r abaque d'agrégation {b) et e^-Q le mineur de l'abaque des M premières colonnes de {^) qui est semblable à son complémentaire, on a la relation

(9) 'e^-rf^'^-eLo.

(») On raisonne en s'appuyant sur ce théorème d'Algèbre générale, bien connu dans le cas d'une seule variable indépendante : Un potynéme premier qui divise un produit de plusieurs polynômes divise nécessairement l'un d'eux. Il est inutile, sans doute, d'en fournir ici la démonstration.

^^ous supposerons, | our fixer les idées, que '0^ est relatif aux Q dernières lignes de (5) et à ses Q dernières colonnes notées par les lettres '0, . . ., 't, et nous considérerons l'abaque

d' fi' t'

(lo) ( O , . . d'f O . . . O

formé avec les M — Q premières lignes de (A )^ ou (4) el les Q dernières de (B)^ ou (3).

Ce nouvel abaque est évidemment agrégé à (A)^ avec Tabaque d'à grégation ici carré

' I o ... o rf^-"5, ... rf^-"T,,

o I ... o rf^-"(?.. ... rf^-*'T..,

(II) ^ o o ... I rf^"'*'5ji y ... ^^"*'Tm q,

O O ... O rf^~*'ÔM Q^, ... ^/^~*'t„q^.,

l O O ... O d'f-^'ôyi ... rf^ *'tm.

Cela posé, le déterminant des M premières colonnes de ( lo ) et celui de (ri) sont évidemment égaux à d'^^s'yi Q et '0q respectivement; en écrivant donc que le premier est égal au produit du second par A', déterminant des M premières colonnes de (4)» on trouve la relation

qui, simplifiée après la substitution à A' du second membre de l'identité (8), donne bien la formule (9) qu'il fallait établir.

La formule (9) se change en (6) si l'on y fait Q — M, en convenant de considérer comme égal à 1 tout déterminant d'ordre = o.

IV. L'abaque d'agrégation (R)^ étant actuellemenl connu» les relations mentionnées au n° 88 se formeront sans difficulté. Il serait sans

intérêt de les développer ici.

V. Nous noterons toutefois les suivantes, qui nous seront bientôt utiles. Considérons, dans (B)^, deux groupes chacun de M colonnes et composés : le premier des M premières, dont les mineurs dépendent seulement des éléments des colonnes saillantes de (2), le second d'une colonne dont les mineurs dépendent des éléments des colonnes de rangs m -h ly 2, 3, . . ., ç' — I, y de (B) et des M — i colonnes restant dans le premier groupe ci-dessus défini, quand on en ôte celle dont les mineurs ont été formés avec les éléments des g premières colonnes de (B). Les déterminants de ces deux groupes de colonnes (écrites pour chacun dans un ordre convenable) se réduisent évidemment à H"^^ et cl'f^~^ d,,/, respectivement. Mais, à cause de Téquivalence des abaques (B)^, ( A)^, ils sont proportionnels (74) aux déterminants semblables de ce dernier, savoir A' et un autre que nous représenterons par Aj^;^^. En d'autres termes, on a la proportion

^ cti^-'d„n qui, divisée par rf'^*'"*, devient simplement

En raisonnant de même, on trouvera sans peine d'autres relations analogues, en vertu desquelles le déterminant d de l'abaque {2) et tous ses contigus (58) sont proportionnels à des déterminants de[k.)^ dont la loi de formation est évidente.

90. Les formules (6), (9) sont 1res employées dans le cas particulier de y = 1. Des deu^ abaques (4), (5)» le premier coïncide avec le proposé (i); le second, avec celui des mineurs complémentaires des éléments des/?2 premières colonnes, dans l'abaque carré qu'elles forment; il se nomme l'abaqne à éléments réciproques de cet abaque carré.

( ÏOO )

(lomnie M = /w, ces formules deviennent respectivement

(i3) 'A = rf'"-\

Pour Q = /w — f , la dernière donne cette proposition, qui est très souvent utile :

Les mineurs d'ordre m — \ de l'abaque à éléments réciproques d'un abaque carré donné de hauteur m reproduisent les éléments de celui-ci multipliés par la puissance m — i de son déterminant.

91. En appelant d le déterminant de m colonnes a^ b, c^ , .., g de r abaque (i) et (/i) un second déterminant contenant une colonne h qui n appartient pas au premier y on obtient une somme nulle en ajoutant à leur produit d[h)^ après les avoir midtipliées par —i y les m expressions dahU » fhh{b), . . ., dgff[g) qui s'en déduisent par les écfuinges successifs de la colonne h de [h) avec les colonnes a^ b, c, ,..y g ded. Plus brièvement, on a

(i5) ^(A)- d^h[a) ~di,h[b) - d^,,{c) - ...- d^^{g\ :-: o.

Effectivement (87) la ligne des n déterminants

adjointe à Tabaque (2), donne un abaque vanescent de m 4- i lignes. Cela posé, on obtient immédiatement la relation (i:>) en développant le déterminant des m -h i premières colonnes de ce nouvel abaque, régalant à zéro et divisant le résultat parrf''

tm—l

92. Dans les questions impliquant la considération d'un système de formes linéaires, les coefficients de ces formes n'entrent généralement dans les formules que par Tintermédiairedes déterminants du système. Os derniers y figurent d'une manière homogène, en jouant exactement le même rôle que les coefficients d'une simple forme dans les cas où il s'en présente une seide. Si l'on modifie arbitrairement les formes du système s.ms qu'il cesse de rester équivalent à lui-même, ils varient

( 'ot ) tous clans le même rapport (74), etc.; bref, on peut les considérer, eux ou d»s quantités proportionnelles, comme les coefficients du système conçu en bloc et, indépendamment de l'individualité spéciale et variable à rinfnii, de chacune des formes qui peuvent y entrer, la nature de ce système, caractérisée par sa propriété d'être équivalent ou non équivalent à tels ou tels autres donnés de mêmes dimensions, restant toujours invariable.

Ces considérations nous conduisent à chercher s'il existe un système déformes ayant des déterminants proportionnels à des quanti tésdonnées et à le construire le cas échéant. La solution de cette question est fournie par le théorème suivant :

Pour qu il existe quelque système de informes linéaires à n(^m) variables, dont les déterminants soient proportionnels à des quantités données, il est nécessaire et suffisant que ces quantités satisfassent à la relation ( 1 5) et à toutes celles du même genre.

La nécessité de la condition posée résulte immédiatement de ce que les relations en question sont homogènes (du deuxième degré) par rapport aux déterminants qui y figurent, par suite, qu'elles ont lieu ' aussi entre des quantités proportionnelles à ces déterminants.

Pour démontrer qu'elle est hufû-ante, supposons d'abord que les quantités données ne soient pas toutes nulles; représentons-le^ en ajoutant un accent aux notations mêmes des déterminants qui doivent leur être proportionnels. Avec une de ces quantités d\ différente de zéro, et celles auxquelles doivent être proportionnels les déterminants contigus à d, formons l'abaque de m lignes et n colonnes

d' o o .., o d'^^ ... d\^., o d' o ... o dlf^ ... dlj,

o o o ... d* d'g^ ... d'gj,

et prouvons qu'il appartient à un .système qui satisfait aux conditions voulues.

D'abord, en développant le déterminant rf cfes m premières colonnes

et tous ses contigus rf^, ..., dgj, on constate immédiatement l'existence des proportions

Ensuite, en appelant {h) un déterminant du même abaque contenant m — 2 colonnes de d, et deux autres colonnes ne lui appartenant pas, dont la [m -h i)'^°** pour fixer les idées, la relation (i5) donne

d[h} = daH{a) -h di,h[b) -h. . .-h rf^A(^),

et [a], yb), ..., (g^) qui ont chacun en commun avec rf une colonne de plus que (A) sont maintenant contigus à ce déterminant comme H„f,, . . ., dgh* D'autre part, on a, par hypothèse,

Ces deux relations divisées membre à membre donnent

/ I « ^ ^ ij^ — dah{a) -»-...+ e/^/,(^) (i,m-\ \2

Effectivement, les déterminants qui entrent dans le numérateur du second membre étant tous contigus à c/, les proportions (17^ donnent

d'où

dah (fO __df,n (j^ ,,„., ^ d'à,. ~ (ay-'"-dl., - {g)'-'' '

d:,n(ay-"'- d;^,(gy -^" ^ •

En divisant les deux membres de (18) par ^ qui esl égal à r/''"~', il

vient finalement

Ainsi les déterminants (A), qui ont seulement m — 3 colonnes com-

nuiiies avec d, sont bien aussi, comme ce déterminant et ses contigiis, proportionnels aux quantités correspondantes dans la suite donnée.

En s'appuyant sur cette extension de la proportionnalité voulue, aux déterminants dont il s'agit, on Tétendra au moyen du même raisonnement à ceux qui ont seulement m — S colonnes communes avec d, puis de là à ceux qui n'en ont que /w — 4» ^ — 5, . . ., puis finalement à tous les déterminants de Tabaque (i6).

En induisant (iG) par tous les abaques carrés imaginables de hauteur m et de délerminant non = 0, on obtiendra évidemment (71;, (74) les abaques de tous les systèmes irréductibles qui répondent à la question.

En prenant enfin un système réductible quelconque de m formes, ses déterminants seront nuls, partant proportionnels à la rigueur aux quantités données, et Ton aura le reste des systèmes qui peuvent être considérés comme i^atisfaisant aux conditions du problème.

Si les quantités données sont toutes nulles, ce qui n'est pas incompatible avec les relations (i5), le problème n'a pas d'autre solution qu'un système réductible quelconque de m formes.

93. Le problème que nous venons de résoudre est un cas particulier de celui-ci :

Étant donnés les éléments d'un abaque de M = — '-—^ — ^ - — -

,. 7-ii.T '*('i — \), , An — 7H-i) 7 /^ >^s

lignes et de ri =^ ~ colonnes [n^m^q], trouver un

système de m formes linéaires à n variables, dont l'abaque des déterminants mineurs d'ordre q soit équi{^alent au proposé [par les lignes).

Puisque l'abaque des mineurs d'ordre q du système cherché doit être équivalent à celui des quantités donnres, les déterminants majeurs de ces deux abaques doivent être proportionnels (74). Les relations (12) subsisteront donc encore si, à leurs dénominateurs qui sont inconnus, on substitue les déterminants majeurs correspondants de l'abaque donné qui sont connus. Transformées de cette manière, elles fournissent évidemment des quantités proportionnelles à un déterminant du système cherché et à tous ses contigus, quantités à l'aide desquelles on formera les coefficients de ce système en opérant comme cide sus; 92).

Théoriquement, ce problème a autant d'importance que le précédent; car, à un certain point de vue, les éléments de 1 abaque des mineurs d'ordre quelconque ^r d'un système de formes linéaires, comme ceux de l'abaque unilinéaire des majeurs, comme ceux des mineurs d'ordre i, c'est-à-dire comme les coefficients eux-mêmes, peuvent être considérés comme constituant un ensemble d'autres coefficients spé- ( iaux du système. Ce point de vue s'impose de lui-même quand on a à concevoir les formes par groupes dey. Mais son utilité pratique qui est encore nulle me dispense d'insister davantage, et notamment de formuler les conditions de possibilité.

PARIS. IMPaCMERlE GAUTHIER-VILLAHS, QVkl DF.8 GR.\!<DS-AC<;i'BTIN8, 05.