Supposons irréductible le système (lo) ainsi quun autre

de m' {^m) /ormes linéaires.

Pour que ce second système soit agrégé au premier, il est nécessaire et suffisant que V abaque de ses mineurs d*un ordre quelconque q [non supérieur à m' ) soit agrégé par les lignes à celui des mineurs de même ordre du premier,

La nécessité de la condition posée résulte immédiatement du théorème du n** 68, et nous avons seulement à prouver qu'elle est suffisante.

Soit d'abord qz=m!\ admettons, pour fixer les idées, que A', déterminant du système ( 1 5 ) par rapport à ses m! premières variables iT, j, 5, ...,/>, est Vun de ceux qui, par hypothèse, ne s'évanouissent pas, et nommons A^,., . . ., A^^, . . ., A'^^, . . ., A^^, ceux qui lui sont contigus (58) par ses m' — i dernières colonnes. Associons en outre à m' de toutes les manières possibles les m formes du système (lo), et

dans les M = — ^^ — ^^ — ; systèmes partiels amsi obtenus

nommons respectivement

les déterminants semblables à ceux de la suite

c'est-à-dire pris par rapport aux mêmes variables.

La ligne (17) étant agrégée par hypothèse à celles de labaque (16), la forme X', dans laquelle les variables ^jj^, 5, ...,/?, r, ..., 5, /,..., ç' ont pour coefficients A', o, o, . . . , o, A^^, . . . , A^^, A^^, . . . , A^^, respectivement, est agrégée aux M formes 'X, "X, . . ., '"'X construites de la même manière avec les diverse^ lignes de l'abaque (16). Mais, d'après le n° 59, chacune des formes 'X, ..., ^*'^X est agrégée à celui des M systèmes partiels de m' formes du système (10), dont les déterminants lui ont fourni des coefficients, partant à ce système (10) tout entier; la forme X' qui leur est agrégée l'est donc aussi au même système.

Cela posé, dans le système (2)' en réduction apparente aux m variables saillantes a?, y, z, . . .,/;, qui est équivalent à (i5), X' est précisément la forme oij ^ a un coeftîcient différent de zéro; quant aux m — I autres formes Y', Z', ... P' de (2)', on prouverait de même que chacune d'elles est aussi agrégée à (lo).

Le système (2 y étant ainsi agrégé à (lo), son équivalent (r 5) jouit de la même propriété, ce qu'il fallait établir.

Supposons maintenant^ <[ m' et prenons au hasard ^ des formes (i 5). Comme les déterminants de ce système partiel ne peuvent tous s'évanouir, puisque, s'il en était autrement, lui et, par suite, le système (i5) dont il e^t une partie ne seraient pas irréductibles, contrairement à l'hypothèse, il résulte de ce qui précède que chacune de ses q formes e^-t agrégée au système (ïo); on prouve de même qu'il en est ainsi pour toute autre forme du système (ï5), qui est bien ainsi agrégé à (lo).

74. Dans le cas particulièrement intéressant où m! =^ m, et où l'on considère les déterminants proprement dits ou majeurs des deux systèmes, le théorème précédent fournit sous une forme très élégante les conditions de leur équivalence : il faut et il suffit que leurs déterminants semblables soient proportionnels. Le rapport invariable des seconds aux premiers est évidemment égal au déterminant de l'abaque d'agrégation du second système au premier.

75. La question suivante est encore au fond une composition de certains systèmes de formes linéaires; mais, ici, c'est au système simple qu'appartient le rôle moins saillant.

On appelle substitution linéaire l'opération consistant à transformer un système donné m formes (linéiiires ou non) à n variables or, y, ..., f^, en un autre de m formes toujours, mais à n' (=w) nouvelles variables, x\ y\ ...,/' par la substitution à ^, y, . •., ç^, des formes linéaires qui servent de seconds membres aux relations

X = rj\ x' -h |3',y -f- . . . -h e', /',

Vabaque de la substitution est celui même des nouvelles formes dont il s'agit. I^ système transformé est ainsi composé du système primitif, ici composant, et de celui des formes de la substitution, ici simple. Il y a, bien entendu, des substitutions de degrés supérieurs au premier ; mais elles augmentent les degrés des formes sur lesquelles on les exécuie, et n'ont pas à cause de cela la même importance que les substitutions linéaires.

En opérant la substitution linéaire (ï8) dans un système de formes linéaires tel que (lo), on obtient évidemment un système transformé

{'9) A^Ây '-^fm

également linéaire, dont Vahaque

s'obtient en induisant ligne à colonne, celui du système primitif (\) par celui de la substitution, cet induit étant écrit de manière à avoir pour lignes ses files agrégées aux lignes de son second inducteur.

76. Il suffit donc de modifier tant soit peu dans la forme nos propositions générales sur la composition des systèmes de formes linéairt*s (n°® 66 et suiv.), pour obtenir celles qui concernent les substitutions linéaires. Par exemple :

L'abaque des déterminants mineurs d'ordre q [non supérieur au plus petit des nombres m, n, n*) du système [\C)) est l'induit ligne à colonne de ceux des mineurs de même ordre ^ tant du système primitif [ i o) que de la substitution (i8).

Ou bien encore :

Le déterminant de q des formes [i^) par rapport à q des nouçelles va-

riables cc\y ^ . . ., /' est égal à la somme des produits des déterminants des q formes de mêmes indices dans le système ( i o) relatifs à tous les groupes différents de q des anciennes variables x^y^ . . ., ^» multipliés par les déterminants relatifs aux q nouvelles variables considérées, des mêmes groupes formés avec les seconds membres des relations (i8) (66).

77. lae système (ic)) est réductible si le système primitif [lo) Vest luimême.

Si ce nouveau système est réductible, du système primitif ou de celui des formes (i8), l'un l'est certainement aussi (67).

78. On peut composer une première substitution linéaire telle que (i8) avec une secondt» remplaçant les n' variables or', j^, .. ., t' du nouveau système (19) par n" autres x'\ y\ . .; V abaque de la substitution résultante est évidemment l'induit, ligne à colonne, de ceux de la première substitution simple et de la seconde, cet induit étant écrit de manière à avoir pour lignes ses files agrégées à celles du second inducteur.

En raisonnant comme au n° 69, on aperçoit facilement les particularités relatives à la composition en une seule de tant de substitutions simples que l'on voudra.

79. La substitution (18) est réversible dans le cas très important où son abaque est carré et invanescent; car son déterminant A n'étant pas nul, sa composition avec la substitution inverse ayant pour abaque

«1, ... désignant les mineurs complémentaires des éléments a,, ...

(8? ) de A, donne la substitution d'abaque

qui est identique, c'est-à-dire laisse sans aucun changement tous les coefficients du système primitif (70). La sulDstitution inverse permet donc de revenir du nouveau système (19) à celui d'où il a procédé par la première substitution.

Réciproquement, la première substitution est l'inverse de son inverse et leurs déterminants ont pour produit 1 , déterminant de Tabaque (21) de leur substitution résultante.

Plus généralement, la substitution ( 18) est toujours réversible quand son abaque est invanescent par les lignes, quel qu'en soit le nombre.

80. La question que nous allons traiter se rattache d'une manière très indirecte à l'ensemble du présent paragraphe; mais elle serait encore moins bien placée ailleurs.

Généralisant la définition donnée au n° 10, nous dirons encore qu'il y a symptosepar les lignes entre les abaques

(Il t?! C^ , . , Ji

(\ J Un (?*% C t% ... /o

^m "/n ^in • • • Jm

^•1 p\ 7« • • • Çt

/ Q \ ^ Ûfa P2 7:2 • • • Ç2

\ Ofji P(JL YjjL • • • Çji,

tous deux de n colonnes, mais de lignes en nombres relatifs arbitraires, si deux lignes quelconques prises dans l'un et dans l'autre sont en symptose. Tels sont, par exemple, l'abaque d'un système d'équa-

tions linéaires et homogènes, et celui que forment quelques files de solutions de ces équations.

81 . Si les abaques (22), (23) sont en symptose par les lignes , il en est encore ainsi pour deux autres quelconques qui leur sont respectivement agrégés par les lignes.

Soient (22)' et (23)' les deux abaques agrégés aux proposés, et considérons (22) et (22)' comme appartenant à deux systèmes d'équations linéaires et homogènes aux n mêmes inconnues. Les lignes de (23) sont des files de solutions pour le premier système, à cause de la symptose supposée, et par suite pour le second, puisqu'il est agrégé au premier (27). Celles de (23)' sont donc aussi des files de solutions pour le second système, puisqu'elles sont agrégées à celles de (23) (31). Donc il y a symptose entre chacune d'elles et Tabaque (22)', qui appartient à ce système.

82- Les mêmes choses étant posées, les abaques des déterminants mineurs d'un même ordœ q [non supérieur à /i, /w, [/.) de (22), (23) sont aussi en symptose par les lignes.

En induisant ligne a ligne les deux abaques proposés, on en forme un troisième dont tous les éléments sont nuls par hypothèse, et par suite aussi tous ceux de l'abaque de ses déterminants mineurs d'ordre y.

Or ce dernier abaque est précisément l'induit, ligne à ligne, de ceux des mineurs d'ordre q des proposés (64); ces deux derniers abaques sont donc en symptose par les lignes, puisque les éléments de leur induit sont tous nuls.

83. Les abaques (22), (23) ne peuvent être invanescents tous deux par les lignes s'ils sont en symptose de cette manière ^ et si le nombre total m -f- (jl de ces dernières surpasse le nombre commun n de leurs colonnes.

Si le premier abaque est invanescent,. il appartient à quelque système irréductible (S) d'équations linéaires et homogènes, qui, à cause de la symptose supposée, admet chaque ligne du second abaque pour lile de solutions.

Si donc //z = /î, le système (S) est déterminé, et chaque ligne du second abaque est vanescente (29). Si m<^n, prenons au hasard

n —m[<^ fi) lignes dans le second abaque; ou bien cet abaque partiel est vanescent, et notre proposition est établie : ou bien il est invanescent, et alors chacune des [l — [n — m) autres lignes de Tabaque (23) lui est forcémeut agrégée (31).

84. Nous dirons que les abaques (22), (28) sont supplémentaires s'ils sont en symptose par les lignes, et si le nombre total m -h [x de celles-ci est précisément égal au nombre commun n de leurs colonnes.

Si les abaques (22), (23) sorti supplémentaires et invanescenls, tout autre ensymptose ai^ec l'un est agrégé à Vautre.

Le second abaque peut être considéré comme composé de files de solutions cardinales (31) du système d'équations linéaires et homogènes qui a les éléments du premier pour coefficients, et le troisième comme composé, par exemple, de files quelconques de solutions des mêmes équations. Cela posé, le point en question est une conséquence immédiate du numéro cité.

Deux abaques sont donc équivalents quand, par les lignes , ils sont invanescents et supplémentaires à un même autre im^anescent ; par ce qui précède, chacun d'eux e^t effectivement agrégé à l'autre.

85. La réunion de deux abaques supplémentaires donne un abaqiu* total évidemment carré, dont chaque déterminant de Tun des proposés est un mineur ayant pour mineur complémentaire (50) un certain déterminant de l'autre abaque. Nous appellerons supplémentaires deux déterminants de nos abaques, qui sont ainsi mineurs mutuellement complémentaires dans l'abaque carré ci dessus mentionné. Cela posé, on a ce théorème :

Si les abaques (22), 23) sont supplémentaires^ des deux lignes formées par leurs déterminants supplémentaires écrits de manière à y occuper respectivement les mêmes places, lune est agrégée à Vautre.

\^ Voici d'abord un lemme qui e>t utile dans plusieurs circonstances :

Dans un même abaque de dimension minimum /w, deux déterminants

non nuls sont toujours les extrêmes de quelque suite d autres non nuls

aussi, dont chacun est contigu au suivant (58) />ar m — i files de cette

dimension,

Soient, par exemple, {abctù), {hijtù) deux déterminants non nuls de raba(|ue (212), ayant m — 3 colonnes communes dont l'ensemble a été

représenté par gj. Chacune des colonnes du second est agrégée à celles (lu premier, dont Tabaque est carré et invanescent par hypothèse (18), et l'on a en particulier

d'où

(hij(ù) =x(ayco) -f- [f-ibiju)) -+- ^{cij'j^)^

car les déterminants déduits de {hij(,i) par la substitution à la colonne /i, de l'une de celles de l'ensemble w, ont chacun deux colonnes identiques et s'évanouissent tous. Les déterminants (a//w), {biju))^

(ay^o),dontchacunestcontiguà (Jiijui) par m — i colonnes, ne peuvent donc pas être tous nuls, puisque celui-ci ne l'est pas. Comme tous ont

m — 2 colonnes appartenant à (aicw), il existe quelque déterminant

non nul qui est contigu à (fiijcù) et possède une colonne de plus que

lui commune avec {aboa). En poursuivant ce raisonnement à partir de ce nouveau déterminant, on réussira évidemment à insérer entre les proposés une suite de déterminants non nuls et contigus chacun à ses deux voisins.

2** Notre théorème est évident quand l'une des deux lignes des déterminants mentionnés dans Ténoncé est vanescente, et nous avons à considérer seulement le cas où dans chacune d'elles il existe quelque déterminant non nul.

On peut alora considérer l'abaque (22) comme appartenant au système irréductible (3) du n** 29, et l'autre (23) comme un abaque cardinal de solutions de ces équations.

Soient {abc. ..g) un déterminant non nul de l'abaque (22), [abc. ..h) un de ses contigus non nuls (s'il en existe), et {t...ui^), {s...uv) les déterminants des cot»ffîcients de t, ..., v, © dans les» n — m dernières formules (24) du n® 35, et dans la m*^™® suivie des

(9' ) n — m — i dernières, respectivement. Des relations évid< ntes

(t... u^) = {abc . . . g)"*,

[s . . .ui^) = — [abc, . , g)'"'^ {abc . . .A),

on conclut que {/...m('), {s...uv) ne sont pas nuls non plus et que l'on a entre ces quatre déterminants la relation

(abc. . ./Ç^) (abc. . ,/i)

(C. . ,uv) (s, ..«»')

Maintenant les abaques (23) et (A), ce dernier ayant pour lignes les files de coefficient de r, . . ., u, <p dans les formules citées (2^, n** 55) sont équivalents, puisqu'ils sont l'un et l'autre cardinaux pour un même système d'équations linéaires, et ceux de leur» déterminants semblables qui ne sont pas simultanément nuls sont proportionnels (74). Donc(>î. ..tÇ), (x...«Ç), déterminants de (23) semblables à (/. . .wt'), {s . . .uv) déterminants de (A), ne sont pas nuls, et Ton a

(l, . .IH') (s. . .«r)

(t). . .iÇ) (x. . .tj)

proportion dont la combinaison avec la précédente donne

, . {abc. g) __ {abc. h)

^ *^ (r,...tÇ) ~" -(X. ..'.;)'

et les dénominateurs sont évidemment les déterminants supplémentaires des numérateurs, ou tout au moins ces supplémentaires multipliés tous deux par — 1 . En d'autres termes, si deux déterminants non nuls de (22) sont contigus, leurs supplémentaires dans (23) ne le sont pas non plus et sont proportionnels aux premier^. En vertu de notre lemme (1°), cette conclusion s'étend d'elle-même au cas où les déterminants non nuls considérés ne >ont pas contigus, ce qui achève évidemment notre démonstration.

Une autre démonstration peut être tirée de con>idérations toutes différentes : un déterminant non nul de l'abaque ( 22) associé dans un

ordre convenable à ses conligii-» et à m — i zéros forme une ligne de quantités qui est agrégée à Tabaque en question (59), Le supplémentaire de ce déterminant, ses contigus et (jl — i zéros forment de même luie ligne agrégée au second abaque. Cela posé, si Ton exprime que les deux lignes ainsi obtenues sont en symptose (81), on retrouvera une proportion telle que (2^1).

En prenant dans nos deux abaques deux groupes, l'un de q^Sm], l'autre de y^[S \l) lignes, puis formant par le même procédé deux lignes composées de zéros et de déterminants contigus d'ordres q et ;(, qui soient respectivement agrégés à ces deux abaques partiels, puis écrivant qu'elles sont en symptose (81), on obtient, entre les mineurs d'ordres y et ;^ des abarjues considérés, des relations analogues à celles ci-dessus établies pour leurs déterminants majeurs. Mais chacune de ces relations a plus de deux termes.

8C Réciproquement, les abaques (22) (23) sont en symptose s'ils sont invanescents et si, le nombre total m -h [x de leurs lignes égalant le nombre commun n de leurs colonnes, les déterminants de l'un sont proportionnels à ceux que l'on obtient en associant dans l* ordre ci-dessus spécifié les colonnes de rangs différents dans l'autre.

Un abaque quelconque (A) de solutions cardinales du système d'équations linéaires et homogènes d'abaque (22) est évidemment supplémentaire à celui-ci; il en résulte (85) que les déterminants de (A) sont proportionnels à ceux de (22) et par suite à ceux de (23), que Ton suppose tels par rapport à ces derniers. I^es abaques (A) et (23j sont donc équivalent^ (74), puisque leurs dimensions sont re pectivement égales; donc (23) est en symptose avec (22) comme hon équivalent (A) (81), et ces deux abaques sont bien supplémentaires, puisque le nombre total de leurs lignes est égal à celui de leurs colonnes.

Cette proposition fournit un nouveau moyen de vérifier si un abaque invanesc nt donné, de n — m lignes et de n colonnes, est cardinal pour un système donné irréductible de m équations linéaires et homogènes à n inconnues.

Relations entre lfs déterminants majeurs et mineurs d'un même systkme de formes linéairfs.

87. Relativement aux éléments de Tabaque d'un système donné de formes linéaires, que nous considérerons désormais comme autant de variables indépendantes, les déterminants majeurs et mineurs du système sont des (onctions exactement définies qui sont habituellement en nombre beaucoup plus considérable. On voit ainsi a priori qu'il doit exister entre tous ces déterminants des identités fort nombreuses. Nous allons donner une méthode générale pour les former, en nous bornant toutefois à signaler les plus intéressantes.

Quelquefois nos raisonnements supposeront que les valeurs particulières des éléments considérés ne rendent pas certains abaques vanescents; mais les relations trouvées n'en seront pas moins générales, car elles sont entières par rapport à ces éléments, ou peuvent être amenées à revêtir une pareille forme. D'ailleurs, dans les cas exceptionnels dont il s'agit, elles deviennent évidentes ou peuvent, tout au moins, être établies directement avec une facilité extrême.

Soient

la, b^ c, .../?, A, ... y,

\ ^m ^m ^m • • • ffm ^m • • • Jm

/'abaque d'un système de m /ormes linéaires à n (^m) variables^ et y, y', . . ., y^'^ des entiers quelconques chacun <^ /w, mais dont la somme Q soit supérieure à m. Prenons arbitrairement q' des /ormes données, et, avec des déterminants contigus du système partiel qu elles constituent^ construisons (t>7) r abaque \q'] d'un système équivalent en réduction apparente. Soient encore [y"], . . ., [y^*^] des abaques construits de même avec des systèmes partiels deq'\ . . ., q^^^ /ormes empruntées tout à /ait au hasard au système proposé. Cela posé, r abaque [Q] /orme par la réunion de [y'], [y"], . . ., [q^^^] est vanescent par les lignes, et ses déterminants mineurs d'ordres supérieurs à m sont tous nuls.

Chaque ligne de l'abaque [Q] est agrégée à l'abaque du système partiel dont les déterminants lui ont fourni des éléments (59), et par

suite aussi à l'abaque (i) tout entier. Considérons m quelconques de ces lignes : si leur abaque (A) est invanescent, il est équivalent à (i) parce qu'il lui est agrégé et a même hauteur (19); une autre ligne i

quelconque de [Q] lui est donc aussi agrégée ; il en résulte que l'abaque de ces m -h i lignes est vanescent, et par suite que tous ses déterminants sont nuls. Or ce sont précisément des mineurs quelconques d*ordre m -h i de [Q].

Si (A) est vanescent, Tabaque ci-dessus considéré de /w -4- i lignes Test aussi : ce qui conduit à la même conclusion.

Comme les éléments des abaques [y'], [q"^, . ... [y^'^] sont, oulre quelques zéros, des mineurs d'ordres q\ q'\ . . ., q^^^ du proposé, quelquefois des majeurs, chaque équation exprimant la nullité des mineurs d'ordre m -f- r de [Q] est une relation entre ces déterminants mineurs ou majeurs.

On obtient des relations différentes des précédentes, ou tout au moins présentant une aiitre forme, en remarquant que l'abaque drs mineurs d'un ordre quelconque de [Q] est aussi vanescent (72), et égalant à zéro des déterminants mineurs d'ordres convenables de ce nouvel abaque.

Enfin on en trouvera d'autres encore, en appliquant les considérations précédentes à l'abaque des déterminants mineurs d'un ordre quelconque de (i).

88. Voici une autre manière de former des relations de celte espèce : en supposant d'abord invanescent l'abaque (A) du numéro précédent, quelques autres lignes de l'abaque [Q] forment, comme nous l'avons vu, un abaque (B) qui lui est agrégé. Cela posé, on cherchera l'abaque d'agrégation (R) de (B) à (A), et l'on écrira que l'abaque des mineurs d'un ordre donné de (B) est l'induit des abaques de mineurs du même ordre de (A) et de (K) (64).

Pour la cause indiquée ci-dessus (87), les relations ainsi obtenues onl lieu, même quand l'abaque (A) n'est pas invanescent.

Nous faisons ci-après une application importante de ces diverses considérations.

89. Prenant égal à /w -f- i le nombre total i des entiers q\ q", .. .q

(lu n** 87, nous ferons les m premiers égaux à i , le dernier à m, et nous formerons Tabaque [Q] en adjoignant au proposé lui-même (i) l'abaque équivalent par les lignes, mais en réduction apparente :

d o o ... o da/i . . . rf^»

o d o ... o difj^ . . . rf^y, V ^ J I o o rf . . . o dcfi . . . d^jf

o o "O ... d dgf^ . . . dgj»

Ici d représente le déterminant des m premières colonnes de (i), et dah^ ..., daj\ ..., dgj les déterminants contigus s'en déduisant par la substitution à la colonne a de la colonne A, ..., à la même de la colonne y; . . ., à la colonne g de la colonney. Pour l'abaque (A) du numéro précédent, nous prendrons (i)et, pour (B), celui qui vient d'être écrit. Nous construirons d'une même manière les abaques (A)^, (B)^ des mineurs d'un même ordre q[<^m) de (A) et de (B), qui ont cha-

1 |. 1 ' 1 ^ TtT mim — i). . .(m — 7 -H i)

cun des lignes en nombre égal a M = — ^^ ^^ ^ et nous

ferons en sorte que le dernier soit

c'est-à-dire que les M premières places y soient occupées par les colonnes dont les éléments sont exclusivement formés avec ceux des m premières colonnes de (2). Mettant en évidence les M premières colonnes de ( A)^, dont les éléments ne dépendent aussi que de ceux des m premières colonnes de (i), nous l'écrirons

l ^U ■ • • Vu ... Tu ....

(96) Cela j>osé, on a ce qui suit :