Recueil de problèmes. page

Première section 75

Deuxième section 81

Troisième section 88

Quatrième section 1 04

Cinquième section 124

Conclusion L38

Addition 1 I 39

Addition II 1 43

Notes 148

Corrections 1 52

L'histoire des mathématiques chez les Arabes est une des parties les plus curieuses et les plus obscures de l'histoire générale des sciences exactes. Les Arabes ont été, dans les sciences, les élèves et en partie les héritiers des Indiens et des Grecs, et ont transmis, à leur tour, le dépôt qu'ils avaient reçu, à l'Europe moderne, après l'avoir augmenté par leurs propres travaux. Ce n'est que par l'étude attentive des ouvrages des mathématiciens arabes de différentes époques, que nous pouvons nous rendre un compte exact de ce qu'ils ont emprunté à l'Inde ou à la Grèce, de ce qu'ils y ont ajouté eux-mêmes, et de l'état dans lequel les Européens ont reçu d'eux la science.

Ces études n'ont encore été faites que très-partiellement, quoiqu'il ait paru récemment des travaux considérables , surtout sur l'astronomie arabe. Mais les mathématiques proprement dites, et notamment l'algèbre des Arabes , laissent encore un vaste champ aux recherches des savants.

On avait publié à Calcutta, en 1812, le Khilâcet Alhiçâb' de Behâ Eddîn (h- 1622); mais ce traité ne peut donner aucune idée des progrès que les Arabes ont faits en algèbre.

« The Kkoolcuut-ool-Uisab , a Compen- « Muolowee Ruoshun Ulee of Juonpoor, lo

tt dium of Arithmetic and Geometry , in the « which is added a Treatise on Algebra by

«arabic language, by Buhae-ood-Deen of « NudjmoodDeen Ulee Khan, etc. b (Cal-

« Amool in Syria , with a translation into cutta, printed by P. Pereira al the hîndoos-

«persian and coramentary, by the late tanee press, 181a.)

Plus tard, M. Rosen publia à Londres l'Algèbre de Mohammed Ben Moûçâ*. Il démontra que cet ouvrage, écrit à l'invitation du khalife Almâmoùn, porte des traces évidentes d'une influence indienne, influence qui s'explique par la réputation dont les savants indiens jouissaient à la cour des premiers Abassides comnae astronomes, mathématiciens et médecins.

Cette publication donna un nouveau crédit à l'opinion généralement adoptée, que les Arabes n'avaient pas dépassé en algèbre les problèmes déterminés du premier et du second degré. Mais M. Sédillot découvrit à la Bibliothèque impériale un fragment de l'Algèbre d'Alkhayyâmî**, à l'aide duquel il put prouver que les Arabes s'étaient occupés aussi des équations déterminées du troisième degré.

J'ai publié récemment le traité complet d'Alkhayyâmî***, en y joignant des extraits tirés d'autres mathématiciens arabes. J'ai tâché de réunir dans ce petit ouvrage un ensemble de données sur la manière dont les Arabes traitaient les problèmes qui dépendent de l'intersection de deux coniques, et sur l'emploi qu'ils en ont fait pour la construction des équations déterminées du troisième et du quatrième degré.

Cependant, il restait une lacune importante à remplir; on manquait absolument de données authentiques sur l'Algèbre indéterminée des Arabes, au point qu'il paraissait douteux qu'ils se fussent jamais occupés de cette branche de la science. J'ai été assez heureux pour découvrir à la Bibliothèque impériale un manuscrit, dont le contenu me fournit le moyen de déterminer les progrès que les Arabes avaient faits à la fin du x® siècle, dans cette partie de Talgèbre.

J'ai cru le sujet assez important pour me décider à donner un extrait complet de l'ouvrage d'Alkarkhi, et à entrer dans une discussion

* The Algebra of Mohammed ben Musa, de la Bibliothèque impériale, t. XIII, p. i3o-

edited and translated by Frédéric Rosen. i36. (London, i83i.) *** L'Algèbre d'Omar Alkhayyâmî, pu-

** Voir le Nouveau Journal asiatique, mai bliée, traduite et accompagnée d*ex traits de

i83â. — Notices et extraits des manuscrits ms. inédits, par F.Wœpcke. (Paris, i85i . )

détaillée de quelques points qui se rattachent aux questions qu'il a traitées. J'espère prouver dans ce mémoire les points suivants :

1** Que les Arabes connaissaient l'algèbre indéterminée;

2^ Que leurs travaux sur ce sujet sont basés sur l'ouvrage de Diophante ;

3° Qu'ils ont ajouté à l'algèbre de Diophante, tant en inventant de nouveaux procédés, qu'en se proposant des problèmes de degrés plus élevés;

4-° Que jusqu'à la fin du x® siècle ils ont ignoré les méthodes d'analyse indéterminée qu'on trouve chez les Indiens;

6** Que les travaux de Fibonaccî n'ont pas le degré d'originalité qu'on a été tenté de leur attribuer; mais qu'ils sont en grande partie empruntés aux Arabes, et particulièrement à Alkarkhi.

L'ouvrage que je vais analyser* a pour auteur Aboû Beqr Moham-

Le manuscrit dont je me suis servi a élé rapporté de Texpédition d'Egypte. La couleur brunie du papier ainsi que Tétat usé et taché de certaines pages attestent un âge considérable. De nombreuses restaurations ont été faîtes sur les bords, notamment au haut des pages, où ces restaurations ont quelquefois empiété sur ]*écriture. En ce cas, les lignes qui auraient été enlevées ont été restituées par une seconde main, dont on retrouve Tencre et récriture sur les feuillets 9 et 88, de même que sur les dix derniers feuillets du manuscrit, du 98" au 108*. Ces feuillets sont d'un papier plus neuf et remplacent évidemment des feuillets perdus du manuscrit original. Le restaurateur semble avoir relu le manuscrit entier, car on trouve en différents endroits des corrections marginales , de courtes gloses , des indications du contenu des chapitres, toutes de sa main. Dans la seconde partie du manuscrit, qui est formée par un recueil de pro-

blèmes, il a placé en marge, près du commencement de chaque problème des quatre premières sections, son numéro d'ordre. Enfin , on trouve des lignes et des passages marqués complètement de tous les signes de l'écriture : ceux-ci semblent avoir été ajoutés comme par distraction , pendant que le lecteur réfléchissait sur les théories proposées ; car ce ne sont pas exactement les passages obscurs dont on aurait voulu faciliter ainsi l'intelligence.

L'écriture du copiste original, large et lisible, a cela de particulier, qu'approchant du caractère africain , le point du cJ est placé sous la ligne. On trouve aussi de la main de ce copiste des corrections marginales , notamment des restitutions de passages omis dans le texte.

Malgré toutes ces corrections , il est resté encore des erreurs, quoique peu nombreuses : j'ai fait abstraction , dans mon analyse , de ces erreurs qu'O faut évidemment mettre sur le compte du copiste.

med Bea Alhaçan Alkarkhi\ et fut dédié par lui à Aboû Ghàlib Mohammed Ibn Khalaf , surnommé Fakhr Almoulq ", vizir du prince Bouïde Behâ Aldaoulah, fils du célèbre Adhad Aldaoulah ***.

Ce traité, qui doit donc avoir été composé à peu près au commencement du XI® siècle de notre ère, nous ofire d'abord la plus complète , ou plutôt la seule théorie du calcul algébrique chez les Arabes que nous connaissions jusqu'à présent; mais il devient beaucoup plus intéressant encore par un recueil de problèmes qui, en partie, forment presque une reproduction exacte de plusieurs livres de Diophante, et dont une autre partie se retrouve dans cet ouvi'age de Fibonacci, qui le premier enseigna Talgèbre aux Occidentaux.

On savait, depuis longtemps, que l'ouvrage de Diophante avait été connu aux Arabes; qu'il avait été traduit et commenté par Aboûl Wafâ. On savait, d'un autre côté, que Léonard de Pise avait voyagé en Egypte et en Syrie, et qu'une partie plus ou moins grande des connaissances nouvelles contenues dans son Traité de l'Abacus devait avoir été puisée par l'auteur à des sources arabes.

Mais cela n'était connu qu'historiquement. On avait grandement regretté que l'ouvrage d' Aboûl Wafâ semblait manquer aux bibliothèques de l'Europe. On avait vivement discuté le degré d'originalité ^u'on devait accorder aux travaux de Fibonacci.

Un ouvrage arabe , qui contient presque une traduction d'un livre

L*ouvrage actuel, ainsi qi]*un traité du même auteur qui avait pour titre j \S0 \ c^L«ifcJl fjf sont mentionnés par Hadji Khalfa, éd. de Fluegel, vol. IV. p. 388, et vol. V, p. ao. D'après Hadji Khalfa, Alkarkhi avait le surnom de Fakhr Eddîn, était vizir de Behâ Aldaoulah , et avait composé le Fakhrt pour ce prince. Mais ce dernier détail paraît inexact.

** C est probablement en honneur de ce vizir que Touvrage reçut le titre d'Alfakhrî.

*** Ibn I(.hallican, manuscrit de la Bibliothèque impériale, n" 70a, suppl. ar.

fol. 264 V': oiJllI ^jAi. ^ 0^ oJLc j^J yy^y\ {J^<^^ O^^ *Hy j^'

(Traduction anglaise de M. de Siane, volume III, page 283 sqq.) — Ce vizir mourut le vingt-septième de rabîa premier de Tan 407 (septembre de Tan 1017 de noire ère). Voir aussi Abulfedee Annales muslemici, éd. de Reiskeet Adler, tom. III , p. 6 et 7.

entier de Diophante et des extraits considérables de deux autres, dans lequel on retrouve textuellement les énoncés d'un grand nombre de problèmes de Fibonacci et quelques-uns des procédés de résolution qu'on a considérés comme faisant particulièrement honneur au géomètre dePise, cet ouvrage, dis-je, me semble avoir une certaine importance historique.

Cependant, ce n est pas à ce seul titre que l'algèbre d'Alkarkhî doive nous intéresser. On ne connaît, jusqu'à présent, «aucun ouvrage arabe où des questions un peu élevées d'analyse indéterminée soient traitées* ». Or, l'ouvrage d'Alkarkhi contient plus de soixante problèmes d'algèbre indéterminée en dehors de ceux tirés de Diophante; et remarquons que ce sont en majeure partie des problèmes des degrés supérieurs jusqu'au neuvième inclusivement, tandis que l'auteur n'a pris d^ Diophante que des problèmes du second degré. Ajoutons que l'auteur donne une véritable théorie, quoique imparfaite, de la résolution des équations indéterminées du second degré; qu'il réunit, dans un chapitre à part, plusieurs des porismes les plus importants de l'analyse indéterminée du second degré ; qu'on rencontre , dans son recueil de problèmes, diverses méthodes originales et ingénieuses pour résoudre les égalités doubles , et l'on accordera peut-être quelque attention à l'examen détaillé de ce traité auquel je procède.

L'ouvrage d'Alkarkhî est divisé en deux parties. La première partie contient la théorie du calcul algébrique, de l'algèbre déterminée et de l'algèbre indéterminée. La seconde partie est formée par un recueil de problèmes algébriques.

La première partie se compose d'une suite de chapitres que j'ai numérotés, afin de pouvoir les citer plus facilement. Les neuf premiers chapitres nous présentent pour la première fois une théorie complète du calcul algébrique chez les Arabes ; car ce qu'on en trouve dans le traité de Mohammed Ben Moûçâ n'est qu'un commencement bien faible et bien incomplet en comparaison des développements qu'Alkarkhî donne à ce sujet. Et, d'un autre côté, les règles conte-

Libri, Histoire des sciences mathématiques en Italie, vol. II, p. 3oâ.

nues dans la première partie de Touvrage de Behâ Ëddîn ne se rapportent pas au calcul algébrique, mais à Tarithmétique vulgaire.

Les deux premiers chapitres traitent des puissances algébriques et de leiu:*s valeurs réciproques, et rappellent respectivement les définitions 1, 4 et 3, 5, 7, 8 que Diophante a placées en tête de son ouvrage. Seulement Diophante , qui n emploie les puissances que jusqu'à la 6' inclusivement, s'arrête à cette dernière, tandis qu Alkarkhî, qui définit et discute encore les trois degrés suivants, fait réellement usage de ces puissances, jusqu à la 8^ dans les problèmes déterminés, et jusqu à la 9^ dans les problèmes indéterminés.

Les chapitres in-viii traitent de la multiplication , delà division , durapport , de l'extraction de la racine carrée , de Taddition et de la soustraction des expressions algébriques rationnelles, s'élevant toujours des expressions les plus simples à des expressions de plus en plus compliquées.

Les règles exprimées en termes algébriques que contiennent ces chapitres sont généralement suivies d'un exemple numérique servant moitié de preuve et moitié d'explication. Souvent l'exposé de cet exemple numérique est entremêlé de raisonnements qui approchent quelquefois d'une démonstration de la règle. Mais, en général, l'auteur ne donne que rarement des démonstrations, et, s'il en donne, il se borne à les ébaucher et à faire ressortir seulement les points essentiels sur lesquels repose le théorème. Il dit même expressément qu'il a adopté à dessein ce mode de rédaction*; et, en plusieurs en -

Par exemple, fol. 29 v* : eM"^ 0^^

dJi ^^ '6ySiS3\ iJbUifl^ J:3^Wf t/Jf^

Lt^^j

jrt

3« ij

«Je me suis fait une loi, dans cet ouvrage, d*en bannir les démonstrations, et les longues explications, et les exemples nombreux; mais, malgré cela, je ne peux pas me passer d*un exposé succinct et abré-

gé de la démonstration des problèmes com> posés (du second degré) et de la raison pourquoi on prend la moitié (du coefficient) des racines , et des opérations qui s'y rattachent. B

Je fais remarquer à cette occasion que (^Uy signifie, chez les algébristes arabes plus spécialement, une démonstration au moyen d'une construction géométrique , et que '^yJi « explication » correspond ici à ce que nous appellerions une démonstration algébrique ou arithmétique.

droits, il renvoie, pour des explications ultérieures et détaillées, à un commentaire dont il se proposait d'accompagner l'ouvrage actuel. D'un autre côté , Tauteur fait souvent observer qu'on doit être préparé à Inintelligence des règles du calcid algébrique (c:»^^^^! c^Um.».) par les règles de l'arithmétique vulgaire («^U^Xjdt v^^*»*^) qu'il dit avoir enseignées dans une première partie ( J^^l iOUJlt) de son ouvrage. Il y a lieu de croire que cette première partie était formée par le Qâfifil Hiçâb, ouvrage du même auteur, qui est mentionné par Ibn Khallican et Hadji Khalfa.

Dans le ix^ chapitre on trouve les règles qui se rapportent au calcul des racines de différents degrés. Ce chapitre, ainsi que le chapitre suivant, qui contient la sommation d'un certain nombre de suites, fixeront sans doute l'attention du lecteur. Si l'auteur abandonne dans ces deux chapitres les expressions générales et n'opère que sur des nombres donnés , cela ne tient pas à ce que ses méthodes soient ici moins générales que dans les chapitres précédents, mais à ce que la forme parlée de l'algèbre arabe l'aurait obligé à des circonlocutions et à des tournures compliquées qui auraient nui à la clarté. Il donne donc à ces théorèmes une forme spéciale qui, cependant, permet parfaitement de voir comment le théorème s'applique à un autre cas quelconque.

Dans le xi® chapitre , l'auteur a réuni une suite de théorèmes qui sont plus tard d'un usage fréquent, surtout dans la résolution des problèmes indéterminés, mais quelques-uns aussi dans la discussion des problèmes déterminés. Le plus remarquable de ces théorèmes est sans doute la formule sur laquelle repose la résolution de l'égalité double, selon la manière de Diophante, et que l'auteur a placée en tête de ce chapitre.

Les chapitres xii et xiii contiennent la résolution des équations déterminées des deux premiers degrés et des équations dérivatives du second degré. Outre l'explication que l'auteur donne des deux mots^-!^ et «>olJU, et qui s'éloigne un peu des significations que les algébristes arabes assignent ordinairement à ces deux termes, on remarquera ici que l'auteur, de même qu'Omar Alkhayyâmi , fonde les démonstrations géométriques de la résolution des équations trinômes du second de-

gré sur les propositions connues du second livre des Eléments d'Euclide ; on remarquera aussi la construction géométrique , non pas de la valeur de l'inconnue, mais de son carré, construction qu'on ne trouve dans aucun des autres traités arabes d'algèbre connus jusqu'à présent. Mais je pense que surtout on ne lira pas sans intérêt ce que l'auteur dit au sujet des équations dérivatives. C'est pourquoi j'ai donné presque une traduction textuelle du xiii* chapitre, dans l'extrait du manuscrit entier que j e fais suivre ci-dessous.

Par les mênies raisons, j'ai reproduit de la même manière la théorie de la résolution de l'équation indéterminée aa:»-i-6x-t-c=/, qui forme le sujet du xiv* chapitre. Cette théorie est telle qu'elle devait résulter d'une étude approfondie de l'ouvrage de Diophante. Tout au moins, l'auteur aurait donc le mérite d'avoir présenté sous leur forme générale ces théorèmes que la pratique de Diophante ne donnait qu'implicitement. Mais l'auteur a fait davantage. Tandis que dans ce chapitre théorique il déclare encore comme une condition nécessaire de la solubilité de l'équation ax*-hba!-^c=y^ que a ou c doivent être des carrés positifs, nous le verrons résoudre, dans son recueil de problèmes, des équations de la forme ±(6x — c) — x*=/, et énoncer la condition M :^c=x*-^y,*\ D'ailleurs, l'auteur déclare exprès, à la

* Diophante résout une seule équation de ce genre; c'est Téqualion 3 j:-f-i8 — x*=y, k laquelle il ramène le 33' problème du IV* livre. Mais , de la manière dont il s*y prend, il ne résulte nullement que Diophante ait connu la condition de la solubilité à laquelle les coefficients de Téquation particulière dont il s*agit satisfont par hasard. Les théorèmes relatifs à la solubilité, énoncés formellement par Diophante, ne se rapportent qu'à la forme ax* ±. c = j". Cest d'abord que, si la somme a-f- c est égale à un nombre carré ^Z, on peut trouver une inûnité de valeurs de x satisfaisant à l'équation o x*-+- c =y ( VI , 1 2 , Lemme) .

La solution de Diophante nous donne :

. û ± djr,

d étant un nombre entier quelconque.

Puis, Diophante énonce (VI, i6) que, si Ton a ax,' — c = ji', on trouvera toujours une valeur x >> X| satisfaisant à l'équation ax* — c =j'. Diophante obtient

ax.

rfy,

Enfin , on trouve chez Diophante ( VI , 1 5) , la condition de la solubilité de l'équation ax* — t = y*, connue aussi aux Indiens ( voir ci-dessous , p. 36) , que a doit être égal à la somme de deux carrés.

fin de ce chapitre , qu'il n'avait pas l'intention de donner en cet endroit une théorie complète de l'analyse indéterminée , qu'il réservait à son commentaire des développements ultérieurs concernant les équations indéterminées des degrés supérieurs, et qu'il avait écrit un ouvrage à part qui traitait d'une manière détaillée de l'analyse indéterminée. Les parties de son recueil de problèmes qui se rapportent à cette matière 9 et que je soumettrai plus loin à un examen spécial, doivent faire regretter que les ouvrages auxquels l'auteur fait allusion ne nous soient pas parvenus. ,

Le XV* chapitre, qui termine la partie théorique, a pour objet la recherche d'un facteur qui, multiplié par Une expression donnée de la forme a± v/'^, produise l'unité. Ce problème sert à l'auteur dans la résolution des équations du second degré à coefficients irrationnels et des équations dérivatives , lorsque le terme le plus élevé de l'équation se présente sous la forme aa^ -+- \jTôF\

Passons maintenant à l'examen du recueil de problèmes qui forme la seconde partie de l'ouvrage d'Alkarkhî.

Ce recueil est divisé en cinq sections, contenant respectivement 5i, 5o, 5o, 60 et 43, en tout 264 problèmes. L'auteur ne s'est proposé, dans cet arrangement, que de s'élever graduellement à des problèmes de plus en plus difficiles; mais il a négligé l'ordre des matières*, de sorte qu'à l'exception de la dernière, aucune de ces sections ne contient exclusivement im genre déterminé de problèmes.

Je vais donc commencer par classer ces problèmes suivant le genre d'analyse auquel ils appartiennent, et suivant le degré des équations dont ils dépendent.