III

(b) Du second degré.

II, 22-33, 5o.

III, 1-4, 36-45, 5o.

rV, i-i4, 27-39, 4i-6o.

Je désigne ici par ce nom des probièmes déterminés , mais soumis à la condition d*ètre résolus en nombres rationnels.

En vérité, ce ne sont que les énoncés de ces problèmes qui soient indéterminés ; l'auteur rend ces problèmes tout de suite déterminés, en choisissant arbitrairement la valeur d*une ou de plusieurs inconnues.

Cependant il fait ressortir, dans la plupart des cas , ce qu'il y a d*arbitraire dans la solution donnée. Comme Diophaiile, auquel plusieurs de ces problèmes sont empruntés , Tauteur n'exclut pas des valeurs fractionnaires. Il ne s'agit donc pas ici d'une méthode semblable à celle des Indiens ou des modernes, pour la résolution des équahons indéterminées du i^degr»*.

Aussi bien que Diophante , Alkarkbî résout des problèmes renfermant plusieurs et jusqu'à six inconnues; une grande partie de ces problèmes sont même tirés de l'ouvrage de Diophante, ainsi que je le montrerai plus loin. Mais Diophante n'a qu'un seul symbole pour désigner Tinconnue, ce qui l'oblige à suppléer par le choix ingénieux des inconnues, par une séparation habile des différentes parties du problème, et surtout par la supériorité de son génie, à la défectuosité de son algorithme qui, à cet égard, est resté non-seulement au-dessous de celui des modernes, mais aussi de celui des Lidiens.

Or, c'est ici que je dois signaler un fait extrêmement curieux , à savoir qu' Alkarkhi , dans deux de ses problèmes , fait usage d'un terme spécial pour désigner une seconde inconnue, dont il se sert dans la résolution du problème, absolument comme nous calculons avec x et y\ Cependant, l'auteur ne se sert pas du même terme dans les deux problèmes pour désigner la seconde inconnue, et n'emploie ce procédé que cette seule fois. Cela nous prouve que nous avons ici affaire à un de ces premiers pas dans le chemin d'une découverte importante, que malheureusement il n'a pas été permis à la science arabe de poursuivre jusqu'au bout. Mais cela nous prouve aussi que ce n'était ni la profondeur, ni l'esprit d'invention, mais uniquement le temps qui manquait aux géomètres arabes pour mériter toute l'admiration de la postérité.

Cojnme tous les algébristes arabes, Alkarkhi n'admet pas des valeurs négatives ** de l'inconnue. C'est ainsi qu'il déclare absurdes les problèmes I, 38; II, 38, 46, dont les énoncés conduisent à une valeur négative de l'inconnue, et dont il modifie ensuite les constantes pour rendre ces problèmes résolubles. De même la détermination que , d'après Diophante, il ajoute au problème III, 2 5, n'a d'autre but que d'empêcher un résultat négatif. Ce qui est plus remarquable, c'est que l'auteur exclut aussi la valeur zéro, ainsi qu'on peut le voir dans les problèmes 1 , 33, 34.

J'ai donné, dans Taddition I,le texle ** Ni, à plus forte raison, des valeurs

el la traduction de ces deux problèmes. imaginaires.

Dans les problèmes indéterminés, l'auteur admet, comme Diophante, des solutions fractionnaires, et n'exclut que les solutions irrationnelles.

La théorie de la résolution des équations déterminées, tant du second degré que des équations dérivatives, est traitée par l'auteur dans la première partie de son ouvrage, aussi complètement qu'on peut le 1 désirer. Il n'en est pas de même pour les équations indéterminées; je I vais donc suppléer à ce défaut par un examen détaillé de tous les problèmes indéterminés de son recueil qui ne sont pas tirés de l'ouvrage de Diophante. Cet examen formera en même temps un aperçu de l'état de l'analyse indéterminée chez les Arabes au commencement du XI* siècle.

Voici d'abord l'analyse des problèmes, n'appartenant pas à Diophante , qui se trouvent dans les sections II , III et IV.

(i) Les problèmes II, 32-27 et 33 n'offrent rien de remarquable. L'auteur fait simplement usage, pour leur résolution , de la méthode qu'il a exposée dans le xiv® chapitre de la première partie.

(2) ttipj;=/, a'zfx=z\ (II, 29, 3i ; IV, 29, 3i.)

On a f-^(a—a)=z\

et en posant z =y ± m.

on obtient

a — a — nr ^ dz 2 m

Le problème II, 3o , qui est d'une forme un peu différente , à savoir :

conduit également à l'équation

(3) a-t-x==/, a'—x==z\ {IV, 3o.)

Ce problème se ramène immédiatement à l'équation

Comparer d*ailleurs, relativement à rorigînalité de ce procédé, ci-dessous, p. ao, ]. 5-10; et p 4a 1 1- 9-

(/i) a^-f-fcx=/, ± x« H- 6'x = .-«. (II, 28, 32; IV, 27, 28.)

L'auteur résout d'abord

ar,* -t- 6j, = v\ ± Ti* -4- t'^, = w* ;

il pose, pour cet effet, by^ = zniXy-\-m\

ce qui donne v' = (^1 -h m)",

w' = =fc a;» -+- "ï" 2mj:, -f- — m*.

Cette dernière équation peut toujours être résolue lorsque x^* est affecté du signe positif. Dans les exemples où .r,* est affecté du signe négatif,

on a j = w',

et, dans ce cas, l'équation se laisse également résoudre. Ayant ainsi trouvé des valeurs ar, , y^ qui satisfont aux équations

on multiplie celles-ci par

et l'on obtient fîL)Viîi^=^\

donc

a;,* v'jTi* ^

/a:. Y ^ ^,ar,* u;»x,*

\7. / yi yi*

L'auteur pose y = x-{-i, z = nx — 1,

cequidonne .^'-^^^ , y = {l±2llZl, .^iJL±±±l.