B. PROBLÈMES COMPOSES

Il, ax^ -\- bx = V.

OU bien ^ "^ 1 v/ (~ ) "^ ^'^ ! • "*

Pour obtenir directement le carré de l'inconnue, on ramènera d abord 29 v'. l'équation à la forme x^-^hx = c, et Ton aura

-'-'i+'^-sjQ'^'"^-

Démonstration de la résolution lorsque Téquation renferme un seul carré complet. Qu'on ait à résoudre l'équation a^'-H iox = 39'.

C B D A Posons BC = .c, AB= 10, et prenons le

""'""""""'^~"""~""""""""""'""~"" point milieu D de AB. Conformément

à la proposition connue d'Euclide **, on aura AC.CB-f-DB =DC ; mais 3or'. AC.BC= (a;-+- io)x = 39 et DB = 5; conséquemment , 64=DC et y/64 = DC, ou 8 := 5 -4- BC ; il reste donc 3 = BC = x.

Démonstration de la résolution sans réduction préalable des carrés à un seul carré. 1" Que l'équation proposée soit 3«*-H6a?= 24.

A Posons BC = 3a: , AB = 6, prenons le point

milieu S de AB, faisons GD = BG, et divi-

T sons CD en E et H, de sorte que chacune

j des parties soit = a?; enfin menons ET» HI

parallèles à BC. On aura AE = AC . CE = 3ar*

-f- 6« = 24 , donc AD = 72 ; mais AD = AC . CD 3o v*.

* Je fais observer que cette équation se trouve ma traduction) et chez Fibonacci (dans Libri,

aYee les mêmes coefficients dans Talgèbre de Hut, des sciences mathématiques en Italie, t. If,

Mohammed Ben Moûçà (p. 8 et 1 3 de la trad. p. 359). de Bosen) , dans Talgèbre d'Alkayyâmi (p. 1 7 de ** Eléments, 11,6.

= AC . BC ; en même temps SB = 9. Donc AC . BC -♦- SB = 81 . Conséquemment se = y/87 = 9. Mais se = BC -H SB = BC -+- 3. Donc 6 = BC = 3a:, donc x = 2.

ir".

2° Le carré étant incomplet , comme dans Téquation Ja:* -f- aa? = 6, on pose ç g ^ AB = ia:, BD=2, Al = ar. Faisons AS==AB = ^AI, me-

' ' nons ST parallèle à AO , et prenons le point milieu

C de BD. On aura AZ = AD. AI = (iar-+- 2) a? = ia;* -h 2j:

S =6,etSD = ^AZ = 3.MaisSD = AS. AD==AB. AD;donc AB . AD --- 3. Et DA . AB -h- BC == AC ; conséquemment AC =3-4-1=4 et AC = 2 ; mais BC == i , donc AB -- 1

et ir =^ 2 .

Démonstration de la résolution qui donne directement le carré de Tinconnue.

L'équation proposée étant a:*-f- ioa? = 39 , posons CD = a^, DE = 10a?, de sorte que CE = 39. Faisons AD = DE et complétons le carré BD;la mesure de sa surface sera looa;'. Faisons le rectangle CT=BD. On aura, parce que CD == x", DT = 1 00. Donc CI = CE . TD == 3900 , et conséquemment aussi TB == 3900. Mais TB == IB . AB = IB . EB. Prenons le point milieu S de lE. On aura IB . EB -h Es'

= BS' ou 3900 -+- aSoo = BS . Donc BS = y/64oo = 80. Con- 3,v». séquemment DE -f- ES = 80 ; mais ES — 5o, doncDE==3o. Or, on avaitCE = 39, conséquemment CD = 9 , ou a;' = 9.

Résolution à la manière de Diophante

L'équation proposée étant a?»-H ioa:==39, on cherche un nombre qui, ajouté à a:* -4- loar» produit un nombre carré. On n'en trouve d'autre que aS, et l'on aura ar' -h 1 ox -h 25 ou (a: -h 5)* = 39 -4- 25 =- 64 , donc ar -+- 5 = \Jh = 8 et

ax^ -\- c ==bx.

Lorsqu'on ne peut pas retrancher - de ij-j , le problème est absurde; et 3

lorsque -= U-j on a ^ = î--

Sans réduction du nombrç des carrés, on aura

= JU ± t /(-l — ac } :a.

Pour obtenir directement le carré de l'inconnue , Téquation proposée étant Sav" x--hc = hx ^ on a

--tT^©'--'-

Suivent quatre démonstrations absolument analogues à celles proposées ci- 32 v'-

dessus pour l'équation ax^-^- bx = c^ et qui n'offrent rien de remarquable, si ce n'est que l'auteur ne démontre jamais que l'un des deux cas de la formule , à savoir, le second. J'analyserai ces démonstrations ci-dessous.

Note, Dans le recueil de problèmes, les problèmes qui dépendent d'une équation du second degré, appartiennent en majeure partie à cette espèce. Il n'y a que trois problèmes , à savoir, III , 8 , i o , 1 8 , où l'auteur énonce formellement les deux solutions. Si cependant, dans tous les autres problèmes de cette espèce , l'auteiir ne donne qu'une seule des deux solutions , ce n'est pas toujours qu'il ait simplement négligé l'autre. Dans les problèmes II, 4o, 49-, III, 11, i4, i5, 16, 19; IV, i5, 25, il s'agit de trouver les valeurs de deux inconnues, et la seconde solution de l'équation du second degré aurait conduit à une valeur négative pour l'une de ces inconnues. Dans les problèmes II, 19, 3A; III, 21, on part d'une relation algébrique renfermant un radical , et la seconde solution de l'équation du second degré correspond au cas du problème qu'on aurait obtenu en donnant à ce radical le signe opposé. Au contraire , dans les problèmes II , 1 1 , 4A ; III, 12, 1 3 ; IV, 20, la seconde solution négligée aurait également bien satisfait à la question proposée.

Résolution à la manière de Diophante. 34 r".

Pour résoudre l'équation a?'-*- 21 = io«*, on cherche un nombre carré tel

' Comparer, relativement à ces coefficients, Talgèbre de Mohammed Ben Moûçâ, p. 1 1 et 16 de la traduction de Rosen.

que si on retranche de [x* plus] ce nombre i ox, il résulte un nombre carré. Posons ce carré égal à (jr — 5)' ou égal à (5 — x)\ ce qui donne a?' -+-25 — loa == a?' -+- 25 — ( j?* -H 2 •) = 4 ; donc 5 — xouar — 5 = y/4 = 2,et conséquemment

x = 3, ou j?=^7.

34 v". 6. bx-h c = ax^^

Pour obtenir directement le carré de Tinconnue , l'équation proposée étant

«*= fcj7-f-C,

on a

35^0. Suivent quatre démonstrations analogues à celles proposées relativement

^^'''* aux deux espèces précédentes.

Note. Je n ai pas reproduit ci-dessus les démonstrations relatives aux deux dernières espèces des équations du second degré. L'auteur y procède d'une manière spéciale qui, rendue avec exactitude, aurait empêché de voir quelle est proprement la marche suivie par lui. C'est pourquoi je vais proposer ces démonstrations sous une forme plus générale qui permettra de reconnaître la méthode de l'auteur, en faisant ressortir le parallélisme de ces constructions.

donc

x^ -^bx== c, AC . BC -+- BD* = CD*,

(ax

ax* -H bx = c.

AC.BC-f-BD =CD,

donc *^|Y/"-''"^(â) ""ip"*-

\(ur

Seulement, au lieu de dire directement que

AC . BC= (ax -h- h) , ax= \(ax-\~b) , x\ , a = c , a,

1 auteur arrive à ce résultat par une considération géométrique , en construisant d'abord un rectangle AN = (aa?-Hfc) .a? = c, puis un rectangle AM égal à a fois AN et égal aussi à AC . BC , de sorte que AC . BC = ac.

L auteur distingue, pour chacune des trois espèces, le cas de a fractionnaire, par une démonstration particulière; mais cela ne change, en effet, que la figure, en ce que AM sera une partie de AN, tandis que dans la figure actuelle, AN est une partie de AM.

Posons FE = X*, EB = fc X , .

EG = carré EC = 6 V.

On aura FB = c , FG = b\

et AC . BC = AH = AF = fc» . c.

Mais AC . BC -H Bd' = CD ;

bx{

donc y^'^-^-(7)' = CD =

BD-+-BC = BD-i-(BF — FE)==:--i-c — a;";

conséquemment

fc'