pour ti = i on a trois fonctions R
On a
?/ = AoR.ÎNIoN,,
en posant
3° Pour /? = 2, on a :
d'abord deux polynômes du second degré
et
APPUCATIOX i39
que Ton peiil calculer lacilement ; on sait que 1 on a
a- > Ir > Ir > h'' > c", et ensuite les trois fonctions
Rv = vn?^-^'K?^-
I'^5 = V'i?'— Ol?' — "').
On a
R. =RoR3,
R, = R,R,; le produit RM.N. est à un facteur constant près //c.
Remarquons encore la signification des fonctions R^, R^, R^, qui sont les demi-axes de l'ellipsoïde correspondant à p. Son volume est
Supposons qu'à la surface de l'ellipsoïde, soit répandue une couche de densité constante^ et d'épaisseur
le potentiel à la surface sera
V = 4t:RSSSM,X„=4^..„
les indices inférieurs indiquant le numéro d'ordre de la fonction de Lamé, l'indice supérieur indiquant qu'on y fait z=zz^. A 1 intérieur, le potentiel sera
le potentiel sera constant h l'intérieur; on peut donc considérer la distribution de matière comme la distribution d'une couche électrique en équilibre h la surface de l'ellipsoïde supposé conducteur.
i4o • ATTRACTION DES ELLIPSOÏDES
Le potentiel sera à l'extérieur
Les surfaces équipoteutielles seront donc les surfaces u = C'^, c'est à dire les surfaces p =^ constante; ce seront des ellipsoïdes homofocaux.
La couche correspondante est celle comprise entre deux ellipsoïdes homofocaux comme le montre la valeur de l^.
Attraction d'un ellipsoïde homogène. — Considérons (fig. ij) un ellipsoïde homogène dont le potentiel soit V. Déplaçons l'ellipsoïde parallèlement à l'axe O.r, d'une quantité c; le potentiel en un point (.r, ij, z) va devenir
et l'ellipsoïde prendra la position E'. La différence de potentiel provient de ce qu'il y a en plus la région ombrée à droite, et Fig-. 17. en moins la région ombrée à gauche. On
peut supposer que c'est le potentiel d'une
épaisseur ^ répandue à la surface de l'ellipsoïde, ^ étant positif
à droite et négatif à gauche.
Calculons ^ : si PP" est la normale commune aux deux ellip-
soides, 'Ç = PP"; PP' = t, et le triangle PP'P" est rectangle
en P", on a donc
