CHAPITRE VU

xVïTRACTION DES ELLIPSOÏDES FIGURES d'Équilibre

Problème de Dlrîchlet sur l'ellipsoïde. — AIjoicIods maintenant le problème de Dirichlet pour un ellipsoïde, dans lequel on se donne, sur un ellipsoïde déterminé par le paramètre p^, les valeurs d'une lonction V, en proposant de trouver la (onction V satisfaisant ii rccjuation de Laplace et prenant sur Tellipsoïde la série des valeurs données.

Soit sur l'ellipsoïde

on peut poser

R- étant la valeur pour p = p^ de la fonction R associée ;i M et N, et S" » » S; » K,-

On a alors

cD=^a,R?S«M,N,.

Ceci posé, considérons la fonction définie par l'expression

aS'RMN

il l'intérieur de l'ellipsoïde, et

VaR^SMN

Là

il l'extérieur du même ellipsoïde.

PROBLEME DE DIRICIII.ET SUR L'ELLIPSOÏDE i J-

(les deux séries sont convergentes dans les espaces indi(jués, la fonction est donc bien déterminée.

Calculons les ([uanlités

OV V^ ^„ ^, ,, ,- du

VII, ' ' an

On a de nirnie

Y est une fonction continue quand on traverse la surface, mais ses dérivées ne le sont pas. V est donc le potentiel d'une masse superficielle, dont la densité o est déterminée par la relation

OV ^ r^ d/i, 0/?,-

Au lieu de supposer la densité varialde, on peut supposer une distribution de densité égale ii i, mais d'une épaisseur "C, telle ([ue l'on ait

oy ^__,^^

équation qui détermine 'C, car on a

/i^=-l^.Y\^Sr- R'?S°)M,N,

Si l'épaisseur de la coucbe est déterminée par une fonction de la forme

/.^MX ,

ATTRACTIO.X DES ELLIPSOÏDES

on en déduira réciproquement le potentiel sur la surface par la formule

d'où Ton déduit simplement le potentiel à l'intérieur et a l'extérieur de la surface.

Application. — Voyons maintenant les plus simples des fonctions de Lamé.

1° pour « = o on a