TU, = II=W4--^ J

ne pouvait pas dépasser une certaine limite. On a de plus

dll = d\\ + toidoy -i- — di:

dans une position d'équilibre on a

il en résulte que pour une position d'équilibre on a aussi

dll = oj hho.

Lorsque raplatissement augmente. J augmente indéfiniment : donc w doit diminuer et tendre vers zéro ; or part de zéro, revient h zéro, donc a un maximum dans l'intervalle.

Remarque. — Faisons varier p- de ce h cr. On obtient des ellipsoïdes de plus en plus aplatis : on en rencontrera pour lesquels on aura

i5 6 ATTRACTION DES ELLIPSOÏDES

je dis que la première figure d'équilibre que l'on rencontrera

p est celle d'un ellipsoïde de Jacobi. En effet, si on suppose que -r^

est toujours croissant dans rintervalle considéré, on voit que

est toujours positii.

ô in-\- i

Pour p'^ 20 on a

'6 5 in-\- 1

si 0 décroit, on finira par avoir

p continuant h décroître, on aura alors

mais on voit que l'on rencontre d'abord un ellipsoïde de Jacobi.

Figures dérivées de l'ellipsoïde de Jacobi. — Il reste à étudier les figures d'équilibre qui diflerent peu de l'ellipsoïde de Jacobi. Pour cet ellipsoïde on a

pour une figure peu différen

te.

on aura

la hauteur de la surface au-dessus de l'ellipsoïde étant

On a donc à considérer les deux équations R^S, R,S, liiSi

FiGiREs Di':i{n-/':/:s m-: l'ellipsoïde de jacodi i^-j

On a trois incoiiiuics o" — ci', v — Ir , y — c' ; et on a pour le volume qui est donné

Pour que l'équation

RjS^ R,S,

ait une racine, il ne faut pas que R; soit divisible parRj=Y' p- — a''; pour que Téquation

ait une racine il laudra ([ue — — ne soit pas constamment croissant,

R, a donc comme seules Tormes possibles les formes suivantes, où P désigne un polynôme en p-.

Voyons si ces quatre formes sont possibles et rappelons que

l'on a R.. = \/ (p' — Ù-) (p- — c--).

1" Tijpe. R, est un polynôme ; si a est la plus grande racine de R, on pourra poser

a est compris entre cr et c' et on a

n, croit constamment,

\/ -~ 'r croît constamment,

1/ J^ L croît si a est inférieur à Jr. décroît dans le cas con-

i58 ATTRACTION DES ELLIPSOÏDES

traire; il ne faut pas que i / -4 '- soit décroissant : donc a < b-

et toutes les racines de R, sont par suite comprises entre h' et c^ .

Parmi les lonctions de Lamé d'ordre /?, il y en a une et une seule ayant toutes ses racines comprises entre b' et c' \ c'est cellelà que l'on doit prendre pour R,.

2" Type. Prenons R, = \/ 0- — (r P et appelons a la plus grande racine du polynôme P ; on a

Les trois facteurs sont constamment croissants, donc toutes les fonctions de ce type sont à rejeter.

3^ Type. Posons

n étant un polynôme dont les racines sont inférieures à a; nous avons

v,^?v/ief"'

Pour que l'équation puisse avoir une solution, il est nécessaire que y.<b-. Donc toutes les racines de P sont comprises entre b^ et c^.

4" Type. On voit de même que les fonctions du quatrième type

sont telles que — - soit un polynôme sans racines supérieures a

a^, donc il n'y a pas à considérer de fonctions du 4" type.

Donc pour qu'une figure peu différente d'un ellipsoïde de Jacobi soit une figure d'équilibre, il est nécessaire que R, soit une des lonctions que nous avons appelée Ro„. Je dis que cette condition nécessaire est aussi suffisante : en effet, supposons que b' varie de c' il cr: a chaque valeur de b' correspond une valeur de p- telle que

FIGURES DERIVEES DE L'ELLIPSOÏDE DE JACOISI

considérons alors la lonction,

pour 6" = f^", -—— est constaninient croissant, donc i* est positil ; si /;- = (^r, la valeur correspondante de p' tend vers a-, alors

R,=^ 0 puisque R, ne contient ni y p- — tr ni y y — r", et que toutes ses racines sont comprises entre Ir et c" : donc

et il y a certainement un svstème de racines pour les équations considérées.

Nous voyons donc qu'il v a des figures d'équilibre voisines des ellipsoïdes de Jacobi.

Remarque. — Quelle est la première figure d'équilibre que l'on rencontre ? c'est-à-dire, pour quelle valeur de n la valeur correspondante de p est-elle maximum?

Considérons deux fonctions Ro.,» et R,,,,,

m > n ; je dis que

Ro.. R/.

Ro.. R.

est constamment croissant; nous allons montrer que la dérivée, prise par rapport h ?/, est constamment positive; cette dérivée est à un facteur positif près

R'/tRi — RaR'o

si R, n'est pas divisible par y/p- — a'-, R/ l'est; et réciproquement, ^lais ici R^ et R/^ ne sont divisibles ni pary p' — cr ni par y,/p" — b'\ il en résulte que

s'annule pour p' = cr.

i6o ATTRACTION' DES ELLIPSOÏDES

Si on exprime R; et R/. en fonction de l'argument ?/, on a

et on voit (jiic la dérivée n'a pas de racine supérieure à cr. En effet la dérivée de cette fonction (prise par rapport à u) est

(R;'R,-R,R;') = (cp,-cp,)R,R,

comme on l'a déjà vu ; R, et R;. ne peuvent s'annuler, cp, — cp; ne peut s'annuler deux fois, puisque c'est un polynôme du premier degré en p^. La dérivée ne peut donc s'annuler plus de deux fois pour a'^ ^ 0", c'est-à-dire pour o < u ^ e^.

La dérivée qui s'annule pour u =: o, u = e'j, ne peut donc s'an- '

nuler dans l'intervalle; ~r^ est donc constamment croissant lorsque

p" varie de cr ;» -)- co . Il en résulte que l'on a aussi

in-

lorsque p- varie de oo k a'\ on rencontre donc d'abord une valeur satisfaisant à l'équation

puis ensuite la valeur de p" satisfaisant à l'équation

La première des valeurs de n que l'on trouve est donc n = i , puis 71 = o, : on a déjà examiné ces valeurs; il faut maintenant examiner la surface voisine de l'ellipsoïde de Jacobi et correspondant à R^, .5 ; nous allons étudier d'une façon générale la surface correspondant à Ry,,,.

L'éi^aisseur de la couche sera