PRÉFACE

Parmi tous les problèmes d'équilibre que se pose la Physique mathématique classique — en langage purement analytique, parmi tous ceux qui sont en relation avec les équations aux dérivées partielles du type elliptique — le plus attachant pour le Mathématicien, par la nature même des difficultés qu'il présente, sans contredit est celui de la figure des planètes. Ce qui caractérise en effet la catégorie des problèmes en question, ce qui ju$tufie Le labeur énorme dont ils ont été chaque jour l’objet, est

l'influence si mystérieuse, d’une nature si cachée, qu’exerce la forme du

- domaine à l’intérieur duquel on opère. En général, ce domaine est

donné. Dans l'étude (!) de la figure d'équilibre d’un fluide en rotation,

c’est lui qui constitue l’inconnue à déterminer.

Un tel sujet devait donc exciter, à un bien plus haut degré, intérêt qu'ont soulevé, depuis Dirichlet, le problème qui porte son nom et les autres problèmes analogues tels que celui de Neumann. S'il n’a pas provoqué, à beaucoup près, le même nombre de travaux, n1 accompli les mêmes progrès, cest que la même raison qui rend le problème si attachant le rend aussi presque inaccessible à nos méthodes classiques de calcul.

Notre conception actuelle de ce problème évoque avant tout le nom de Poincaré, et c’est seulement depuis sa venue qu'on a la sensation d’une marche en avant dans cette étude. Il était impossible que Poincaré ne fût pas aturé par elle, et il est dans la nature des choses que, dans

l’œuvre même de Poincaré, elle occupe une place à part. C’est, à notre

(1) On ne peut la comparer, sous ce point de vue, qu’à certains problèmes dits « inverses » récemment posés sur les fonctions harmoniques par M. Riabouchinsky et M. Demtchenko (C. À. Acad. Sc., 1930) à la suite de recherches hydrodynamiques; et, au reste, c’est à un problème tout analogue que M. Wavre sera éventuellement conduit a la ramener.

vi PRÉFACE.

connaissance, le seul de ses Mémoires où il se place au point de vue du

Calcul fonctionnel, duquel relèvent, incontestablement, les admirables découvertes que chacun connaît et qui sont relatives aux figures de bifurcation et à l'échange des stabilités.

L'influence féconde de l’œuvre de Poincaré ne s’est pas arrêtée avec cette œuvre même et le progrès dont elle a été le signal se poursuit chaque jour dans les travaux contemporains. C’est ainsi qu’on sait établir aujourd’hui, pour toute figure d'équilibre relatif, l'existence d’un

plan de symétrie équatorial, c’est-à-dire perpendiculaire à l'axe de rota=

tion, ce qui permet d'affirmer que, pour le cas du repos, l'axe de rotation.

étant alors de direction indéterminée, la seule figure est la sphère, alors

que du temps de Poincaré, on connaissait uniquement pour cette figure :

la propriété de réaliser le minimum d’énergie potentielle. C’est ainsi que la célèbre inégalité par laquelle Poincaré est parvenu à limiter la vitesse angulaire possible en fonction de la densité moyenne a été, dans les travaux récents, notablement améliorée moyennant des restricuons simples.

Seulement, par une malchance trop fréquente dans nos essais d’explication des phénomènes, le but vers lequel nous semblons ainsi avancer quelque peu au prix de pémibles efforts tend par ailleurs à s'éloigner, et les résultats visés, à s’avérer inopérants au moment même où nous en alteignons quelques-uns. Ün examen plus attentif des faits les montre sous un Jour notablement moins simple que ne le supposent les théories classiques, même celle de Clairaut où 1l est tenu compte de la constituion hétérogène de l’astre considéré. Le cas où celui-ci Lourne d’une seule pièce n'est pas le seul, ni même peut-être Le plus intéressant, comme le montre l'observation du Soleil, voire celle de Jupiter et de Saturne. y a plus : ainsi que le rappelle M. Wavre, des faits comme ceux-là ne sont pas sans rapport avec l'étude de notre Terre elle-même; ils peuvent être confrontés avec les données des géologues, y compris la toute récente idée de la dérive des continents.

D'autre part, le moment arrive peut-être de renoncer à certaines simplifications classiques et qui, en effet, s’imposaient jusqu'ici : telle celle de distinguer entre le mouvement des centres de gravité des corps célestes et l'étude des formes de ces corps, alors que les deux phénomènes réa-

gissent forcément l’un sur l’autre et que la théorie de la Lune, par

exemple, nous conduit d'ores et déjà à tenir compte de cette interaction;