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et pour toute rotation barotrope
de Ft do?
CE ET 4 REP BAD A dn + Lo Pen dLè ve
Enfin, M. Dive a montré que pour tone rotation baro revêt la forme Po 44 Ê
de y 5 é Le dJw?
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pression PER au pis Rene Cette tre pe coïncide lus LE
L de
La ue (52) a été indiquée par H. pro dans son n Mé oire é
sance, le seul auteur qui l'ait mentionnée; n1 Tisserand dans son Traité de Mécanique céleste, ni Helmert dans son ouvrage Hühere Geodäsie, ni même l’Æ#ncyclopèdie mathématique ne lindiquent. Son intérêt est cependant immense puisqu'elle joue le même rôle que l’équation de
Lo
Poisson pour la pesanteur. C’est une relation entre €, ?, =) l, 9 EL o qui an
permet de calculer l’une de ces quantités si l’on suppose les autres connues. Elle est entièrement rigoureuse et remplace avantageusement les formules approximatives que l’on donne, par exemple, pour l’accroissement de la pesanteur suivant la verticale.
Admettons que les mesures précises de pesanteur soient praticables dans un sous-marin, qui échappe au balancement que les vagues font subir aux corps flottants à la surface. Deux mesures de la pesanteur à deux profondeurs différentes suffiraient, en théorie, pour déterminer la courbure moyenne de la surface libre des océans.
29. Complément analytique. — La transformation précédente (51) est à recommander dans tout problème de physique mathématique où un laplacien A intervient et où les surfaces ® — const. et la dérivée nor-
db À CR : À : CE male es Ont elles-mêmes une signification physique immédiate, comme ri 2
c'étail le cas au paragraphe précédent. Aussi voulons-nous indiquer r'ap1dement trois méthodes conduisant à la transformation dont nous avons
fait usage.
1° La première consiste à partir d’une expression (!), quilielelaplacien À au paramètre différentiel du second ordre de Beltrami À,. Pour toute fonction ® régulière au sens fort et toute surface À régulière, le A s'exprime en un point de À, au moyen du A,%, du double c de la cour-
bure moyenne de la surface À au point considéré et des dérivées normales
«lp d2 pb
relatives à la surface —— et ——. Ona ni AR
dd db
SN GE PS CRE C CE dn? dn
Ab=A BE
Mais, si la surface È coïncide avec la surface D — const., le paramètre
de Beltrami est identiquement nul et 1l reste
a Ta enr e:
= > —cC— dn? dr
(1) Voir par exemple HADamarD, Leçons sur les ondes, (p. 50, édition 190).
2° Démontrons que l’on a bien, comme nous l'afjirmuions,
dx 93
Pour cela, envisageons une famille de surfaces dépendant d’un paramètre; «, B, y seront les projections d’un segment de longueur unité » porté par les normales aux surfaces de la famille: Le premier membre de (54) n’est autre que la divergence de ces vecteurs normaux. Nous la représenterons
par div 2.
Soient, alors, dS un élément d’une des surfaces et dS' l'élément correspondant d’une surface voisine, détaché sur S' parles normales élevées à S sur le contour de dS. Une relation connue dans le calcul des variauons, en particulier dans la théorie des surfaces minima, permet d'écrire
(55) dS'— dS —— cdS dn,
où dn est la longueur moyenne des normales envisagées allant de S à S°.
Considérons alors le petit volume V limité par dS, dS'et les normales au contour de dS; appliquons au vecteur normal l'identité (3) de Green du flux et de la divergence. On trouve
fais n AN = faux de n aS'— fu de n dS.
e lone des parois normales. le flux est nul. Comme le vecteur x est de Le long des p les, le fl taul. C l te td ongueur unité, le second membre vau - dS. Ouant au premier, 1 long té, 1 d b t dS/ 1S t P Na vaut dS dn div n. On a donc dS dn divn = dS! — dS. En rapprochant
cette formule de (55) on trouve immédiatement
div = 20:
3° Enfin, dans sa thèse, M. Dive déduit cette dernière relation d’une expression de la courbure moyenne donnée par M. de la Vallée Poussin dans son Cours d'analyse infinitésimale, p. 431.
- 30. La stratification et sa représentation paramétrique. — La stratili-
cation sera la répartition des surfaces d’égale densité au point de vue
strictement géométrique. Nous dirons : straüfication ellipsoidale, ou
encore homothétique, si les couches d'égale densité coïncident avec une
famille d’ellipsoïdes, ou encore une famille de surfaces homothétiques: Les surfaces d’égale densité seront caractérisées par un paramètre &. Le choix de cette lettre est certes critiquable, mais le temps ne figurant pas
dans les équations des rotations permanentes, on peut bien employer la lettre & pour cet usage. La notation £ est aussi critiquable mais serait-il plus naturel de désigner la constante de l'attraction par f comme on le fait d'ordinaire ? ù
Nous appellerons « densité transformée », pour l'équilibre relauf, l'expression
f=—4{rie +2?
et
pour les mouvements de genre un. La première n’est qu'un cas particulier de la seconde.
Enfin, nous appellerons avec Liapounoff « loi des densités », la fonction p(£) qui attache à chaque surface £ une densité p. Les fonctions p, et la pression p ne dépendent que de £ pour tout mouvement de genre un; et pour l'équilibre relatif, la densité transformée f ne dépend, elle aussi, que de {..
Envisageons maintenant les trajectoires orthogonales des surfaces d’égale densité. Ce sont les lignes de force du champ de la pesanteur. Quoiqu’elles forment une multiplicité à deux paramètres, nous les représenterons, 101, par un seul 9, pour simplifier. La valeur 0 — o représentera une ligne de force particulière. Un 4 représentera une différentielle relative à un déplacement sur une ligne de force 0, tandis que un 0 marquera une différentielle relative à un déplacement sur une surface d'égale densité; d est donc relatif à 0 constant, 0 à { constant.
Enfin, une parenthèse affectée de l'indice 9 ou des indices 0/, 9" signifiera que la parenthèse doit être prise le long des lignes de force 0, 0", 0”. Posons, dn étant un élément de normale compté positivement dans Île
sens de { croissant, | an
sr = NUE NL La quantité N n’est jamais négative. 5 F0 31. Relations entre la stratification, la densité et la pesanteur. — La’. ÿ 4 pesanteur n’est autre que la dérivée normale du potentiel ® et l'on peut. À écrire | SET pe dŒ dt CRE Éd 00 EEE La dérivée de ® par rapport à { sera désignée par ® et la formule précé- ÿ 4 dente s'écrit, avec N, a Ne = P”. À se Elle traduit une propriété appartenant à à tout champ de force dérivant 1 d’un potentiel : la force varie en raison inverse de la distance des surfaces de niveau. On peut lui donner une forme légèrement différente . à (56) (SN)= (a Ne. 2
9 et 0” étant de nouveau deux ones de is quelconque. La formule de ie
Bio peut s’écrire
(a és = cP'+ FN.
Elle est vraie le long d’une ligne de force quelconque et sur toute : surface t.
Ceci étant, dérivons par rapport atles due membres del équation 66)
pue D CN NP dR ds à dN ÿ à ; (3 ae (5: We = (HN+s de k À
Puis remplaçons la dérivée de g par sa valeur (57) et réunissons dans le premier membre ce qui ne déve que de £{. On trouve facilement pour l'équilibre relatif
d cn Ë ui (eN+ IN) — (en+ GUN), SE ME DEV GR LA ME NME VC NE ALT VCNNRR NP TITRES. L Éd
