J. = NN

et le second membre, ici encore, ne dépend que de la stratification.

À. Le rapport, en un point, de la densité transformée et de la pesanteur ne dépend que de la stratification au voisinage de ce

point.

Revenons, maintenant, à la formule (35) en remplaçant f par W@':

PP Do EN).

puis remplaçons ® par gN et divisons par ÿ, 14e RE = 7 =cN+WN?.

Intégrons en t le long d’une ligne de force particulière ÿ — o, à parur d’un point quelconque { — 0, et soient £,,, la valeur de £ en ce point et 2, la valeur de z le long de la ligne de force 0 — 0. On trouve facilement

£ (eN + WN2), d/ D die CAO

Enfin, les relations (56) et (62) donnent en un point quelconque

SN UNS (63) J= 80,0 WNo 2

t J Î (CN + WN2), de (64) S —= £&o,o NoN-te (] :

. Dans les seconds membres de ces deux formules g,, représente donc

te,

56 | CHAPITRE Il.

la pesanteur en un point particulier et les autres symboles ne dépendent que de la stratification.

B. La densité transformée et la pesanteur sont déterminées dans toute la masse par la stratification et la pesanteur en un point:

C. Sur une stratification donnée, la répartition de la densité transformée et de la pesanteur n’est possible que d'une seule manière à un facteur multiplicatoire près.

Ce facteur £o,, peut être envisagé, si l’on veut, comme la pesanteur au pôle de la surface libre; il est alors entièrement déterminé par les éléments de Stokes S, w, M. On en conclut :

D. La densité et la pesanteur sont en tous points déterminées d’une manière unique par la stratification, la vitesse angulaire et la masse totale.

32. Le cas exceptionnel des sphères concentriques. -— Les formules

précédentes (63) et (64) deviendraient 1llusoires si le rapport W n’était plus défini d’une manière univoque par la stratification. Mais 1l n'y a ue le cas banal des sphères concentriques qui puisse donner lieu à cette q P 1 qui P imprécision.

Pour que la fonction W cesse d’être déterminée par l'équation (65), il faut qu'il existe un intervalle &« #4 6 sur lequel le second membre [ q

“ O # ÿ se présente constamment sous la forme * On devrait donc avoir No= Nr,

puis Co — Cor,

quelles que soient les lignes de force 4! et À” et les valeurs de £ sur

l'intervalle &, 6, les surfaces de niveau devraient être à courbure moyenne constante, parallèles entre elles, et en plus fermées. Il n’y a que des sphères concentriques qui satisfassent à ces conditions.

En résumé, la fonction W ne cesserait d’être déterminée univoquement

par la stratification que s’1l existait une zone d'épaisseur finie composée

exclusivement de sphères concentriques. Ce cas exceptionnel pouvait

être prévu a priori, puisque des couches sphériques au repos peuvent être chargées arbitrairement sans que cela trouble l'équilibre.

39. Une condition nécessaire purement géométrique. — Pour simpli-

fier, introduisons deux symboles X et Y définis comme suit : (65) X — 4 (66) HU RON EE EN.

L'équation qui servait à définir la fonction W au moyen de Ja stratification s'écrit : . | Yo — Yo” WE) —=— AUS VA n X 0 — X0" S1 l’on considère alors trois lignes de force 0, 0'et 8” on peut éliminer W

et l’on obtient Vo Yo Yo Kg X 0 2 X0 Xp

Cette relation est purement géométrique. Elle exprime une condition nécessaire à laquelle doit satisfaire toute stratification d'une masse fluide en équilibre relatif.

Elle est indépendante, non seulement de la densité et de la pesanteur, mais encore des éléments stokiens : vitesse angulaire et masse totale.

Remarque. — On peut donner du second membre de (66) une autre représentation. En effet, soit « une aire élémentaire quelconque de la surface t; la formule (55) fournit la relauon

canal

Dès lors, à étant une différentielle prise à £ constant, (66) s'écrit :

se d Ve

| et l'équation (62) devient, en multipliant les deux membres par N,

Fe da

Oo ô

ô dn

C’est une nouvelle expression du rapport de la densité transformée à la pesanteur, au moyen de la stratification au voisinage du point considéré.

34. L'impossibilité des stratifications homothétiques. — En 1903, M. Volterra a publié dans les Acta mathematica, t. 27, p. 105, un mémoire « Sur la stratification d’une masse fluide en rotation », où 1l prouve que les surfaces d’égale densité ne peuvent pas être des ellipsoïdes homothétiques.

Plus tard, M. Pizzetti est arrivé au même résultat par une méthode beaucoup plus simple. Je généraliserai la proposition en question en prouvant qu'une stralification en surfaces homothètiques de forme quelconque est impossible pour une masse hétérogène en état d'équilibre relatif.

La surface extérieure sera fermée et régulière, elle contiendra le centre O d’homothétie. Considérons deux rayons vecteurs r! et 7”, la longueur du premier arrêté à la surface libre £ — o sera prise pour unité et 1 — t sera la distance du centre à un point quelconque de ce rayon. Le long du premier rayon r' on aura N — À, le long du second 7° on aura N —1". Cela résulte de l’homothétie, À! et À sont des constantes.

Le rapport W donné par la formule (61) se simplifie beaucoup et s'écrit :

Ar.

DRNHeAE 7

3/9 S Ho AE = né PAU DS

Les courbures moyennes varient en raison inverse de la distance au centre, puisque les surfaces sont homothétiques. S1 €, et c, sont les valeurs de ces courbures sur la surface libre, on aura en tout autre point

des rayons r'etr” Co CR I— { I—

et le rapport W s'écrit : | WE) = (x — 1) 1 Yo).

Nous savons que la fonction W ne peut être indéterminée que si la stratification comporte une sphère au moins. Ja stratification serait maintenant entièrement sphérique. Ge cas ne nous intéresse pas, c’est

le repos absolu. La fonction W ne peut pas être identiquement nulle car

il en serait de même de f en vertu de l’équation / — W®", mais l'inégalité de Poincaré implique f(£) <T 0, tout au moins au voisinage du centre. La foncüon W(t) augmente donc en valeur absolue comme (1 —6) ! lorsque { tend vers l'unité.

Il existe au moins un rayon vecteur qui est une ligne de force, le plus long par exemple, car il est bien normal aux surfaces de niveau. Nous le

renons pour rayon 7° et soit £ à)

£, la pesanteur au point où r' perce la sur-

face libre, on a par (63)

at PA 11 PAU | ch + Wu)]t— 41-141 JU) = go F(o)}(i—t) te )

et, en posant À =+c,+W{o), TE) — SE w(o) (1 — L)TiTE,