PA, PE EL PR 7, SE
S: Rd: , f(t) tendrait vers zéro quand # tend vers 1. C’est impossible, en vertu de l'inégalité de Poincaré, car f(t) est inférieur à un nombre négatif au centre de l’astre et dans son voisinage;
Si = +1, la densité serait constante et la masse homogène;
Si Æ>> +1, la densité tendrait vers l'infini quand on se rapproche du centre, ce qui est physiquement exclu. Il n’y a pas d’autre possibilité.
Il n’y a donc que la masse homogène qui puisse être stratifiée en surfaces homothétiques.
Nous verrons plus loin que les surfaces d’égale pression sont bien homothétiques pour les ellipsoïdes homogènes de Maclaurin et de Jacob.
90. Sur la représentation analytique des surfaces équipotentielles. — Partons de l'équation de Poisson pour le champ de la pesanteur, elle
peut s’écrire | AD — f(t)
et envisageons deux représentations des surfaces de niveau :
1°. La famille de ces surfaces peut être représentée au moyen du paramèêtre £ par une équation de la forme
(67) A ÉN TE z)—t—o.
Pour que cette famille représente la stratification de la figure d’ équilibre, 1l faut que l’on ait ® — D (#) et par suite D=Pie(x, y, 3)]
L'équation de Poisson impose donc à la fonction o (x, y, 3) une condition qu'il est facile de dégager. Elle s'écrit :
(68) Ao + P(4) ae (2) +5) |= Q(4) os en jt Gas et QUI
L'équation (68) devra être satisfaite quelles que soient les valeurs des variables x, y, z, t, liées par la relation (65).
2° Envisageons une famille de surfaces données sous la forme la plus
générale (69) F(x, Mes 1 0.
Ün calcul sans grande difficulté montre que la fonction F devra satisfaire,
60 CHAPITRE Ill. | quelles que soient les variables x, y, 3, t, liées par (69), à l'équation
NAN HORS EX (70) AF RER D Se See
où les fonctions P et Q sont les mêmes que plus haut et où R représente
it Le ? [OR ue Lo 5) dy 03
ot
En d’autres termes : pour que la famille de surfaces (69) puisse représenter la stratification d’une figure d'équilibre, il faut qu'il existe deux fonctions du seul paramètre t : P(£) et Q (+) telles que l’équation (50) soit une conséquence de l'équation F — o.
36. L’impossibilité des stratifications ellipsoïdales. — [lamy en 1887 a démontré l'impossibilité pour une masse en équilibre relatif d’être composée de » fluides homogènes séparés par des ellipsoïdes. En 1903, M. Volterra démontrait l'impossibilité des stratifications ellipsoïdales homothétiques même s’il y a une infinité de couches différentes. En 191», M. Véronnet établissait l'impossibilité des couches ellipsoïdales, même si la densité varie constamment. Enfin, en 1925, M. Dive a établi Pim= possibilité des stratifications ellipsoïdales pour toute rotation de genre un. MM. Hamy, Véronnet et Dive emploient dans leurs thèses les expressions classiques du potentiel newtonien des ellipsoïdes homogènes.
Montrons que l'impossibilité des stratifications ellipsoïdales découle très facilement des formules (69) et (50) du paragraphe précédent. Je tiens à dire que M. Pizzetti s'inspire de considérations analogues dans son livre : Principit della teorica meccanica delle figure dei pianeti.
Les surfaces d’égale densité sont données par l'équation
(71) F= ax +by?+cz—1=0, où les coefficients ne dépendent que de £. En formant la condition (50) on trouve facilement une relation (a+ b+c)(a' x?+ by +cr)+...= 0, | ‘eproduis F Te elle est Ï EI que je ne reproduis pas entiérement parce qu elle est assez IoOngue. (a
contient des formes homogènes d'ordre 4 et d'ordre 6 en x, y, z. La
forme d'ordre 6 est Q(t)(a'x?+ b'y2+ c'2?).
Cette expression ne doit dépendre que de #, si x, y, z sont liées par
STRATIFICATION, DENSITÉ ET PESANTEUR. Gt
(riret Q (1) ne peut pas être nul identiquement à cause de l'inégalité de Poincaré. Il faut donc que l’on ait
et la signification du paramètre £ n'étant pas imposée à l’avance, nous pouvons égaler ces rapports à {-!. Cela donne a = at, b—b,t, c—cit Où &\, 0, €, sont des constantes. Les couches seraient homothétiques et par conséquent, la masse serait homogène ou composée de sphères concentriques, en vertu du théorème du paragraphe 34. La démonstration est faite.
3/. La stratification au voisinage du centre. — Nous supposerons ici que les surfaces d’égale densité tendent vers un seul point, le centre, lorsque la densité tend vers son maximum et il s'agira de savoir vers quelle forme tendent ces surfaces quand on se rapproche du centre.
Nous supposerons la fonction 9 (x, y, 3) régulière au sens faible au voisinage du centre. La fonction D(x, y, 3) sera, par suite, régulière au sens fort et stationnaire au centre de l’astre. Développons ce potenuel par la formule de Taylor (32 D, Y 2)= D (0; 0, + (et y D 2)
Dans la puissance symbolique (2), les dérivées secondes doivent être prises au point 0x, 0y, 0, le nombre 8 étant compris entre © et 1. Puisque la forme seule de ces surfaces nous intéresse, on peut supposer faites une homothétie et une rotation des axes. En remarquant en plus que les surfaces à ® constant sont à p constant, la forme des surfaces d’égale densité est à la limite la même que celle de la quadrique
a Hope 40.
7 tin der dy? . Oz 2
les dérivées étant prises à l’origine. Cette quadrique, tout entière à distance finie, est un ellipsoïde, mais elle peut être dégénérée; ainsi les surfaces de niveau pourraient tendre, en forme, vers un cercle ou une aiguille. En résumé, st la fonction p (x,y, 3) est régulière au sens faible, les surfaces d’égale densité tendent, en forme, vers un ellipsoïde qui pourrait être dégénéré lorsque la densité tend vers son maximum.
S1 la stratification était homothétique, elle serait ellipsoïdale, on déduit, alors, le théorème du paragraphe 34 de celui du paragraphe 56, mais au paragraphe 34 on supposait simplement que la densité restait bornée.
ve (PUR CORRE 62 CHAPITRE Il, 38. L’équation de Clairaut. — (Quoique la méthode la plus satisfar-
sante pour retrouver les résultats classiques et les généraliser soit le procédé uniforme que nous exposerons dans le chapitre suivant, nous voudrions montrer ici avec quelle rapidité on peut les déduire des” résultats du paragraphe 31. |
Les surfaces d’égale densité seront supposées de révolution. Soient a(t}) et b(t) le rayon polaire et le rayon équatorial de la surface #, (cet ck(€) le double de la courbure moyenne de cette surface au pôle et à l’équateur, et, enfin 9,(4) la pesanteur sur l’axe polaire. L’équation (61) peut s’écrire sous la forme suivante :
a” b" CR0'— cpa' + TACTREES D a b
Les accents représentent ici des dérivées par rapport à £. Gette rela= tion est rigoureuse et convient à toute surface de révolution autour de l’axe de rotation.
Supposons maintenant, avec Clairaut, que.la stratification soit formée d’ellipsoïdes concentriques et que t représente le rayon polaire de ces ellipsoïdes. Posons & — b — a. Pour des ellipsoïdes peu aplatis, c'est-àdire en négligeant les termes de l’ordre de &°?, les courbures sont
2 2 E CE =» CPE SET 2e l l t
et l'équation (74) s'écrit, pour une telle stratifcation,
ï ATio —920?, € 2 (55) ———— 3 = + ie -:".
gr(t) t te 2
S1 w? est très petit, €, €', e” le sont aussi; on peut négliger &'w? dans le €; MALE 8118 premier membre et calculer g% (t) dans l'hypothèse d’une stratificauon
sphérique. Si D (t) désigne la densité moyenne de la matière intérieure à la couche t, on trouve facilement, par un calcul classique,
et l'équation (75) s'écrit sous la forme
. - LL € \ 4 LA Enfin, en introduisant l’aplatissement e =; un calcul tout élémen-
taire donne l'équation de Clairaut qui lie l’aplatissement des couches __ à la densité moyenne
sa Aie MAR Eee € D +'3eD F5 e Dir 7e D = 0
39. Les théorèmes de Clairaut. — Soient : C, le double de la courbure moyenne des surfaces à p constant et C4; la même quantité pour les surfaces à Ü constant, surfaces équipotentielles pour le champ de Newton.
Sur l’axe polaire, la formule de Bruns donne
el l'équation de Poisson s’écrit au même point
de dt
+ Cug = 47ip.
En soustrayant membre à membre, on trouve
Puisque les surfaces sont de révolution, on a plus simplement
ja L ; tu)? I I mn (70) | oo he
Oo o
“ les Rétantles rayons de courbure des méridiennes. Les surfaces équipotentielles varient entre deux répartitions limites qui correspondent
1° au cas d’une concentration de toute la masse au centre et, 2° au cas | d’une répartition homogène. On trouve, pour ces deux circonstances,
