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La dernière intégrale du premier membre est à prendre de la sphère de rayon £ à la surface de niveau de paramètre 4. On peut la calculer
R I I R1=2-4R = R2—9 — — 1279 Fi Ve 0 Si g = 2 un logarithme népérien s'introduit | R . R1=9 dR = LR — Li: PE.
: | S19—=1,2,3,4,9,... le second termeest orthogonal à X,et disparaît; . sig——1ets1g—o le secondterme fait disparaître le terme en w? des
seconds membres des équations correspondantes. Cette simplification u s'impose. Nous convenons en outre de représenter par
. R2—9 : Pres l'expression | eo ST LR Sig = 2
En plus, on peut intervertir les intégrales en t et en Q, le tableau s'écrit alors
4° 1 D (oi) = | X amine gi [ bR1-9 AR + 20° a ne | do ©! rs
M Sig = —1
D SI q = O,
a ca) si g =, J a sig —=1, 3,4, 5,..
Maintenant, si Y, représente une fonction sphérique quelconque
he) CHAPITRE IV.
d'ordre n, on a, comme on sait (voir S 11) 0 SIVESE 90
I É de v\ Y EEE Lee ne: \ .
- J Xg(cosy) Y,(0, #°) da ARE b) GR Où
Pl À
ni 2q +1
Le tableau précédent (101) exprime donc la valeur des fonctions sphériques d'ordre g du développement du crochet. Cette remarque donne heu à une simplification. Nous représenterons par
ANT, 0, d) \a
la fonction sphérique d'ordre g du développement en 0 et 4 de À. Cette fonction de Laplace pourra, ainsi que À, dépendre du paramètre £. Dans le cas actuel, nous poserons en plus, pour simplifier
/ < : / s To (102 } Re = DHREIR EI Gai f p RIT R' di + 20? - RE PAR 5 et le tableau fondamental s'écrit M SJ =—1I, , D SLT 0, (103) R ta ñ me à 30° X(c0) situe) 0 SU ED M 0 es d0. Un changement de fonction inconnue. — On sait que la première équation, celle relative à g = — 1 n’est pas essentielle, elle détermine la
masse totale. Ce sont les relations relatives à 9 = 0, 1, 2, 3, ... qui représentent la condition nécessaire et suffisante pour qu’il y ait équilibre relatif. Parmi ces dernières, comme nous le verrons, celles qui correspondent à q—1,2,3,... déterminent la stratification; c’està-dire la forme des surfaces de niveau, tandis que l’équation relative à q = 0 détermine le potentiel ® par une équation différentielle du premier ordre. Il s’introduit alors une constante arbitraire. Cette constante peut être, si on le désire, déterminée à partir de la masse totale par l'équation relative à g = — 1. Nous supprimerons à l’avenir cette équation de rang — 1.
En plus, le théorème de M. Lichtenstein affirme l’existence d’un même plan équatorial de symétrie pour toutes les surfaces de niveau. Pour les corps de révolution, le développement de R ne peut contenir que les fonctions sphériques X2, (c0) d'ordre pair et il en est de même de laccolade du tableau précédent. Les équations relatives à une valeur impaire de 4 sont superflues si l’on tient compte & priort de la symétrie.
‘ . . . T Si la masse comporte trois plans de symétrie droite, 0 = 5 Y=o,
RE
tels seraient les ellipsoïdes homogènes, les équations relatives
LP sont encore satisfaites identiquement, ear il n’y a que
les fonctions sphériques fondamentales \
Rice) cp ÉD SO TS TR ONE 2 0000
qui puissent intervenir dans le développement de {R}.
Il est vraisemblable que l’on peutinversement, pour les stratifications à connexion sphérique, déduire l'existence du plan de symétrie des équations 9 — 1,9,5,7,....
Si l’on fait a rraction de toutes les équations de rang impair, on peut poser qg — 2pet le tabléau s'écrit comme suit :
(D SIDE O, (104) JR hp 0 Xo(c0), sip=i,
0 See de ALU
Lorsque l'indice p augmente. les exposants de R diminuent et sont q P aug ) Î L
négatifs dans {R}:,. Mais il est bien facile de remédier à ce défaut pra-
tique, 1l suflit de poser r — R7?. L'étude des figures ellipsoïdales montrera combien cette substitution est avantageuse. En posant
Lx (x) r or in nil Ts où
le système fondamental s'écrit
/ j | : ®, RER | + ru 5.
105) à D'ArP—1 71 — 9 ; P—? dr — 0»? FPT Mn NS en e0 (105) | 1 7 RL p7 / ne le 12" 5 X2(e0), à 0; pour les mêmes valeurs de p que ci-dessus, tableau (104). BL Cas particulier de la masse homogène et des ellipsoïdes. — Si la
masse est homogène, les surfaces d’égale densité disparaissent à l’intérieur du fluide, mais les surfaces d’égale pression subsistent et en sont la trace. Par stratification d’une masse homogène, il faut entendre la répartition des surfaces d’égale pression. Le système précédent s'écrit alors, débarrassé de l'intégrale en £,
(106) D'ArP—1r lo xio
pee .
: rit +(2rip — w?) ®, SD 0, == FLD X:(c0), SE Det:
0, SD Do Ut
Le système (103) se simplifierait également pour une masse hompbgéne. ; 1
L'indice 1 affecte toujours ce qui a trait à la surface libre. Ges équaons régissent les figures d'équilibre d’une masse homogène à connexion sphérique. |
Pour une stratification ellipsoïdale, on a, &, B, y étant des fonctions de
t seul, ax? + 6y2+yz2= 1.
En passant aux coordonnées polaires r, 9 el 4, on trouve
r=(a cd+$ s24)s20 + y c20,
h = (atc?d + f2s24)s20 + y2c20.
Pour p > 1, {r?P-t},, ne contient que des fonctions sphériques inférieures à 2p, comme nous l’avons vu au paragraphe 12. On a donc
i rP—i j2p= 0 BEST):
Pour avoir de même
il suffira que la stratification soit homothétique. Les équations relatives à p—2,38,4, ... sont alors identiquement satisfaites. Les équations relatives à p— 0 et p—1 donnent ensuite les formules classiques qui
lent le rapport des axes au quotient
: On retrouve ainsi par une noluoO
velle méthode la théorie des ellipsoïdes de Maclaurin et de Jacobi er
22. Remarques sur la stratification d’une masse hétérogène. — En dérivant les équations (105) par rapport à {, on trouve, pour p >1,un crochet ayant même sens qu'une accolade
D'ERrPr IT, PLhre tre + Ori vw)[ 28600,
puis en éliminant ®”, d'et 2710 — w°?, on obtient la nouvelle relation qui exprime une propriété de la stratification
Pan lon à.
Carpet OT hr ir, rer le le 0
ERA TO ea at"
et qui doit avoir lieu pour toutes les valeurs supérieures à l’unité de p, p'. p'. C'est une condition nécessaire et purement géométrique. La surface libre a été supposée de connexion sphérique. La pesan-
(1) Voir P. ArPeLlr, Traité de Mécanique rationnelle, t. IV, Chap. III.
| LE PROCÉDÉ UNIFORME. 81 teur nly serait nulle en un point que si elle était nulle en tous les points de cette surface, ce qui n’est pas possible, car sur l’axe de rotation, la pesanteur n’est pas nulle, cela résulte de l'existence du plan de symétrie,
On a donc dd -<o, et comme ®’ est une fonction continue, on a encore d' 0 pour des valeurs de t allant de 1 à une valeur plus grande £*. La surface libre est donc entourée d’un nimbe dont l’épaisseur est différente de zéro partout, formée par les surfaces fermées et réguhères à ® constant. Quand ces surfaces de niveau se rapprochent de la surface libre, le rayon R et sa dérivée R' restent continus, même au travers de la surface libre { — 1 ; c’est la dérivée seconde R” qui subirait une discontinuité. On ferait les mêmes remarques pour 7, r° d’une part, et» d'autre part. Cette discontinuité est due au fait que la densité fait en général un saut sur la surface libre. Dans le nimbe en question, la densité est nulle et le tableau (105) toujours applicable s'écrit :
